第三講離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差1.[改編題]下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()(1)數(shù)學(xué)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無(wú)關(guān).(2)離散型隨機(jī)變量的分布列中,隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.(3)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的.(4)隨機(jī)變量的均值是常數(shù),樣本的均值是隨機(jī)變量.(5)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小.(6)均值與方差都是從整體上刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量的情況,因此它們是一回事.A.2 B.3 C.4 D.52.[2020菏澤聯(lián)考]一盒中有12個(gè)乒乓球,其中9個(gè)新球、3個(gè)舊球,從盒中任取3個(gè)球來(lái)用,用完后裝回(用過(guò)一次的球就是舊球),此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,則P(X=4)的值為()A.1220 B.2755C.273.[2019浙江,7,4分]設(shè)0<a<1.隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P111則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí),()A.D(X)增大 B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小 D.D(X)先減小后增大4.[2020湖北宜昌模擬]設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率為失敗率的2倍,用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù),則P(X=0)的值為()A.1 B.12 C.135.[2020浙江重點(diǎn)高中聯(lián)考]已知0<a<1,隨機(jī)變量X的分布列如下:X-101P(1-a)22a(1-a)a2若E(X)=D(X),則實(shí)數(shù)a的值為()A.13 B.14 C.16.[雙空題]已知離散型隨機(jī)變量ξ~B(5,p),且E(ξ)=2,則D(ξ)=;若η=12ξ+1,則D(η)=7.[交匯題]已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,且14,p,q成等差數(shù)列,則E(X)=,D(X)=X-101P1pq8.[2019北京延慶區(qū)調(diào)研]甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y,其分布列分別為:X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等,則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是.

考法1求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差1[2019遼寧五校聯(lián)考]某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種品牌的空調(diào),每周周初購(gòu)進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào),商場(chǎng)每銷(xiāo)售一臺(tái)空調(diào)可獲利500元,若供大于求,則多余的每臺(tái)空調(diào)需交保管費(fèi)100元;若供不應(yīng)求,則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每臺(tái)空調(diào)僅獲利200元.(1)若該商場(chǎng)周初購(gòu)進(jìn)20臺(tái)空調(diào),求當(dāng)周的利潤(rùn)(單位:元)關(guān)于當(dāng)周需求量n(單位:臺(tái),n∈N)的函數(shù)解析式f(n);(2)該商場(chǎng)記錄了去年夏天(共10周)空調(diào)需求量n(單位:臺(tái)),整理得下表:周需求量n1819202122頻數(shù)12331以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,若商場(chǎng)周初購(gòu)進(jìn)20臺(tái)空調(diào),X表示當(dāng)周的利潤(rùn)(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(1)根據(jù)每周銷(xiāo)量,以20臺(tái)為分界點(diǎn),列出分段函數(shù)解析式.(2)分別求出當(dāng)周的利潤(rùn)X取各個(gè)值時(shí)的概率,即可寫(xiě)出X的分布列,再利用數(shù)學(xué)期望的定義,即可求X的數(shù)學(xué)期望.(1)當(dāng)n≥20時(shí),f(n)=500×20+200×(n-20)=200n+6000;當(dāng)n≤19時(shí),f(n)=500×n-100×(20-n)=600n-2000.∴f(n)=200n+6000(n≥20(2)由(1)得f(18)=8800,f(19)=9400,f(20)=10000,f(21)=10200,f(22)=10400,∴P(X=8800)=0.1,P(X=9400)=0.2,P(X=10000)=0.3,P(X=10200)=0.3,P(X=10400)=0.1,X的分布列為X88009400100001020010400P0.10.20.30.30.1(注意檢驗(yàn)概率和是否為1)∴E(X)=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860.(利用數(shù)學(xué)期望的定義求解)1.[2019北京,17,13分][理]改革開(kāi)放以來(lái),人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái),移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下:支付金額/元支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率.(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中,隨機(jī)抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說(shuō)明理由.考法2超幾何分布的求解2[2018天津,16,13分][理]已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.(1)先求出三個(gè)部門(mén)的人數(shù)之比,然后利用分層抽樣的定義求出應(yīng)抽取三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù);(2)(i)先根據(jù)超幾何分布的定義列出X的分布列,然后求其數(shù)學(xué)期望;(ii)先將“既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”分解為簡(jiǎn)單互斥事件的和,然后結(jié)合(i)求其概率值.(1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人,2人,2人.(2)(i)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=C4k·C33-kC73所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P112184解法一隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3解法二因?yàn)殡S機(jī)變量X服從超幾何分布H(7,4,3),所以E(X)=3×(ii)設(shè)事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=B∪C,且B與C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67所以事件A發(fā)生的概率為672.[2020湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬]為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象能力(指標(biāo)x)、推理能力(指標(biāo)y)、建模能力(指標(biāo)z)的相關(guān)性,將它們各自量化為1,2,3三個(gè)等級(jí),再用綜合指標(biāo)w=x+y+z的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),若w≥7,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí);若5≤w≤6,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí);若3≤w≤4,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí).為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),調(diào)查人員隨機(jī)訪問(wèn)了某校10名學(xué)生,得到如下數(shù)據(jù):學(xué)生編號(hào)A1A2A3A4A5(x,y,z)(2,2,3)(3,2,3)(3,3,3)(1,2,2)(2,3,2)學(xué)生編號(hào)A6A7A8A9A10(x,y,z)(2,3,3)(2,2,2)(2,3,3)(2,1,1)(2,2,2)(1)從這10名學(xué)生中任取2人,求這2人的建模能力指標(biāo)相同條件下綜合指標(biāo)值也相同的概率;(2)從這10名學(xué)生中任取3人,其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生人數(shù)記為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.考法3利用期望與方差進(jìn)行決策3[2016全國(guó)卷Ⅰ,19,12分][理]某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得如圖12-3-1所示的柱狀圖:圖12-3-1以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;(3)以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?(1)由柱狀圖得頻率,分別求出隨機(jī)變量每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率,進(jìn)而可得分布列;(2)由(1)即可求解n的最小值;(3)分別求解n=19與n=20時(shí)購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值,再比較選擇哪一個(gè)較好.(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,1臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元).當(dāng)n=19時(shí),E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.當(dāng)n=20時(shí),E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于當(dāng)n=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)選n=19.3.[2020惠州高三第一次調(diào)研]某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商,對(duì)一次性購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的客戶(hù),推出兩種超過(guò)質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案.方案一:交納延保金7000元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次,超過(guò)2次每次收取維修費(fèi)2000元;方案二:交納延保金10000元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次,超過(guò)4次每次收取維修費(fèi)1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)這種機(jī)器.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)哪種延保方案,為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù),得下表:維修次數(shù)0123臺(tái)數(shù)5102015以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率.記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過(guò)質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù).(1)求X的分布列;(2)以所需延保金與維修費(fèi)用的和的期望值為決策依據(jù),醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算?3811.B由數(shù)學(xué)期望的公式可知(1)錯(cuò)誤;在離散型隨機(jī)變量的分布列中,隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和為1,故(2)錯(cuò)誤;由離散型隨機(jī)變量的分布列的特點(diǎn)可知(3)正確;由均值和方差的含義可知(4)(5)正確;均值反映的是一組數(shù)據(jù)的整體水平,而方差反映的是一組數(shù)據(jù)的離散程度,故(6)錯(cuò)誤.故選B.2.C當(dāng)X=4時(shí),表示從盒中取出的3個(gè)球中有2個(gè)舊球,1個(gè)新球,故P(X=4)=C32C3.D由分布列得E(X)=1+a解法一D(X)=(1+a3-0)2×13+(1+a3-a)2×13+(1+a3-1)2×13所以當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí),D(X)先減小后增大.故選D.解法二D(X)=E(X2)-[E(X)]2=0+a23+13-(a+1所以當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí),D(X)先減小后增大.故選D.【方法總結(jié)】先求期望,將方差表示為關(guān)于a的二次函數(shù),再利用二次函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性,判斷方差取值的增減性.4.C設(shè)該項(xiàng)試驗(yàn)失敗的概率為p,則成功的概率為2p,所以X的分布列為X01Pp2p由p+2p=1,得p=13,即P(X=0)=13.故選5.D解法一由隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算公式知,E(X)=-(1-a)2+a2=2a-1,D(X)=(-1-2a+1)2(1-a)2+(-2a+1)2×2a(1-a)+(1-2a+1)2a2=2a(1-a).因?yàn)镋(X)=D(X),所以2a-1=2a(1-a),得a=22,故選D解法二令Y=X+1,則X=Y-1,隨機(jī)變量Y的分布列為Y012P(1-a)22a(1-a)a2由二項(xiàng)分布的有關(guān)知識(shí)知,Y~B(2,a),所以E(Y)=2a,D(Y)=2a(1-a),所以E(X)=E(Y-1)=E(Y)-1=2a-1,D(X)=D(Y-1)=D(Y)=2a(1-a).又E(X)=D(X),所以2a-1=2a(1-a),得a=22,故選6.65310因?yàn)棣蝵B(5,p),E(ξ)=2,所以5p=2,解得p=25,所以D(ξ)=5p(1-p)=5×25×(1-25)=65.又η=12ξ+1,所以D(η)=D(12ξ+1)=7.162336由分布列的性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)知,14+p+q=1,2p=14+q,解得p=13,q=512,所以E(X)=-14+512=16,D(X8.乙E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9,所以E(Y)<E(X),故乙的技術(shù)較好.1.(1)由題意知,樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30(人),僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25(人),A,B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40(人).所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為40100=0.4(2)X的所有可能值為0,1,2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”,事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”.由題設(shè)知,事件C,D相互獨(dú)立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CD∪CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52,P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人,他們本月的支付金額都大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中,本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒(méi)有變化,則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)=1C答案示例1:可以認(rèn)為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2:無(wú)法確定有沒(méi)有變化.理由如下:事件E是隨機(jī)事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的,所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化.2.(1)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A