第二章1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解圓錐曲線的實際背景,感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.3.會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

橢圓的定義1.定義平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之

等于

(大于|F1F2|)的點的集合(或軌跡)叫作橢圓.

這兩個定點F1,F2叫作橢圓的焦點,兩個焦點間的距離|F1F2|叫作橢圓的焦距.2.定義的集合語言表述集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.和常數(shù)名師點睛在橢圓定義中,要求常數(shù)必須大于兩定點F1,F2之間的距離,這是橢圓定義中非常重要的一個條件.思考辨析若平面內(nèi)一動點M到兩定點F1,F2距離之和為常數(shù)2a,試探索點M的軌跡圖形.提示

根據(jù)題意,得|MF1|+|MF2|=2a,①當(dāng)2a>|F1F2|時,滿足橢圓的定義,可得點M的軌跡為以F1,F2為焦點的橢圓;②當(dāng)2a=|F1F2|時,|MF1|+|MF2|=|F1F2|,點M在線段F1F2上,點M的軌跡為線段F1F2;③當(dāng)2a<|F1F2|時,|MF1|+|MF2|<|F1F2|,不存在滿足條件的點M.綜上所述,點M的軌跡為橢圓或線段或不存在.自主診斷判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到F1,F2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓.(

)(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到F1,F2兩點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓.(

)(3)平面內(nèi)到點F1(-4,0),F2(4,0)兩點的距離之和等于點M(5,3)到F1,F2兩點的距離之和的點的軌跡是橢圓.(

)(4)平面內(nèi)到點F1(-4,0),F2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓.(

)××√×知識點2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程一定是分式且分母大的在前

焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形

焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上焦點坐標(biāo)

a,b,c的關(guān)系

F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a2=b2+c2名師點睛1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是指當(dāng)橢圓在標(biāo)準(zhǔn)位置時的方程,所謂標(biāo)準(zhǔn)位置,就是指橢圓的中心在坐標(biāo)原點,橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸.2.兩種橢圓

(a>b>0)的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;不同點是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點坐標(biāo)也不同.3.給出橢圓方程

(m>0,n>0,m≠n),判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法是:橢圓的焦點在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項的分母較大;橢圓的焦點在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標(biāo)軸的重要方法.可簡記作:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.思考辨析請?zhí)剿鰽x2+By2=1表示橢圓的條件.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)××√√2.[人教B版教材習(xí)題]設(shè)橢圓

+y2=1的兩個焦點分別為F1,F2,且P為橢圓上一點,求|PF1|+|PF2|的值.3.[人教B版教材習(xí)題]分別根據(jù)下列條件,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)a=,b=1,焦點在x軸上;(2)b=3,經(jīng)過點(0,-4),焦點在y軸上.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)焦點在y軸上,且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0);規(guī)律方法

求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法:根據(jù)橢圓定義,確定a2,b2的值,結(jié)合焦點位置寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法:先判斷焦點位置,設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程形式,最后由條件確定待定系數(shù)即可.即“先定位,后定量”.當(dāng)所求橢圓的焦點位置不能確定時,應(yīng)按焦點在x軸上和焦點在y軸上進行分類討論,但要注意a>b>0這一條件.(3)當(dāng)已知橢圓經(jīng)過兩點,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時,把橢圓的方程設(shè)成mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式有兩個優(yōu)點:①列出的方程組中分母不含字母;②不用討論焦點所在的位置,從而簡化求解過程.變式訓(xùn)練1[人教B版教材習(xí)題]分別求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)兩個焦點分別是F1(-3,0),F2(3,0),橢圓上的點P到兩焦點的距離之和等于8;(2)兩個焦點分別是F1(0,-4),F2(0,4),并且橢圓經(jīng)過點探究點二橢圓定義的應(yīng)用【例2】

(1)已知F1,F2為橢圓

的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓于A,B兩點.若|F2A|+|F2B|=12,則|AB|=

.

8解析

由直線AB過橢圓的焦點F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4×5=20,又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.★(2)如圖所示,已知動圓P過定點A(-3,0),并且在定圓B:(x-3)2+y2=64的內(nèi)部與其內(nèi)切,求動圓圓心P的軌跡方程.解

設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)切于點M,動圓圓心P到兩定點A(-3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以動圓圓心P的軌跡是以A,B為左、右焦點的橢圓,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,其軌跡方程為規(guī)律方法

1.利用橢圓定義求動點軌跡方程的三個步驟

2.橢圓定義的應(yīng)用要注意其適用條件,涉及與幾何圖形有關(guān)的軌跡問題要注意特殊點的位置.C(2)如圖所示,在圓C:(x+1)2+y2=25內(nèi)有一點A(1,0).Q為圓C上任意一點,線段AQ的垂直平分線與點C,Q的連線交于點M,當(dāng)點Q在圓C上運動時,求點M的軌跡方程.解

如圖所示,連接MA.由題意知點M在線段CQ上,從而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又點M在AQ的垂直平分線上,則|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>2c=2.又A(1,0),C(-1,0),故點M的軌跡是以(1,0),(-1,0)為焦點的橢圓,探究點三橢圓中的焦點三角形問題【例3】

已知P為橢圓

上一點,F1,F2是橢圓的焦點,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.變式探究若將本例中“∠F1PF2=60°”變?yōu)椤啊螾F1F2=90°”,求△F1PF2的面積.規(guī)律方法

1.橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點三角形.解關(guān)于橢圓的焦點三角形的問題,通常要利用橢圓的定義,再結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識求解.2.焦點三角形的常用公式(1)焦點三角形的周長L=2a+2c.(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2.(3)設(shè)P(xP,yP),焦點三角形的面積

變式訓(xùn)練3設(shè)點P為橢圓C:上一點,F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點,且△PF1F2的重心為點G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面積為(

)A.24 B.12C.8 D.6C學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)1234561.已知橢圓的焦點為(-1,0)和(1,0),點P(2,0)在橢圓上,則橢圓的方程為(

)A1234562.已知△ABC的周長為20,且頂點B(0,-4),C(0,4),則頂點A的軌跡方程是(

)B