2024學(xué)年上海市彭浦三中中考考前信心卷一.選擇題（共24分）1.下列是無(wú)理數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查無(wú)理數(shù)的定義，無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，由此即可判斷選項(xiàng)．其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：，等；開不盡方的數(shù)；以及像0.101001000100001…等有這樣規(guī)律的數(shù)．【詳解】解：A、是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故不符合題意；B、，是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故不符合題意；C、，是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故不符合題意；D、是無(wú)理數(shù)，故符合題意；故選：D．2.下列可以更好提現(xiàn)一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的統(tǒng)計(jì)圖是（）A.柱狀圖 B.條形圖 C.餅圖 D.折線圖【答案】D【解析】【分析】本題考查了折線圖，根據(jù)折線圖主要反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況即可得出答案．【詳解】解：可以更好提現(xiàn)一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的統(tǒng)計(jì)圖是折線圖，故選：D．3.如右圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且邊FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)EH=3x，則EF=2x，△AEH的邊EH上的高為AM=AD-EF，再由三角形AEH與三角形ABC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比求出x的值，進(jìn)而求得EH的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH//BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴設(shè)EH=3x，則有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，∴解得：x=，則EH=3x=．故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4.已知四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，下列判斷中錯(cuò)誤的是（）A.如果，，那么四邊形是矩形B.如果，，那么四邊形是矩形C.如果，，那么四邊形是菱形D.如果，，那么四邊形是菱形【答案】A【解析】【分析】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定，根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐項(xiàng)進(jìn)行分析判定即可得答案．【詳解】解：A、如果，，那么四邊形是梯形，不是平行四邊形也就不是矩形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、如果，，則四邊形是平行四邊形，則，，因?yàn)樗?，那么平行四邊形是矩形，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；C、如果，，則四邊形是平行四邊形，又，那么平行四邊形是菱形，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；D、如果，，則可以證得四邊形是平行四邊形，又，那么平行四邊形是菱形，故D選項(xiàng)正確，不符合題意，故選A．5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC與△EFB全等，那么點(diǎn)F的坐標(biāo)可以是（）A.（6，0） B.（4，0） C.（4．﹣2） D.（4，﹣3）【答案】D【解析】【分析】畫出平面直角坐標(biāo)系，利用全等三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案．【詳解】解：如圖所示：△ABC與△EFB全等，點(diǎn)F的坐標(biāo)可以是：(4，﹣3)．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確掌握全等圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6.某同學(xué)對(duì)“對(duì)角線垂直的四邊形”進(jìn)行了探究：如圖，在四邊形中，，，，，由上述條件，得到了兩個(gè)結(jié)論：①，②．對(duì)于結(jié)論①、②下列說(shuō)法正確的是（）A.①正確、②錯(cuò)誤 B.①錯(cuò)誤、②正確 C.①、②正確 D.①、②都錯(cuò)誤【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，如圖，過(guò)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，可證出，在中可得出，進(jìn)而可得出，據(jù)此即可得①錯(cuò)誤，如圖，設(shè)，交于點(diǎn)O，利用勾股定理可得，故②正確，即可得出正確選項(xiàng)，熟練掌握其性質(zhì)，正確的作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，過(guò)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵，∴即，當(dāng)時(shí)，∴，則，如圖，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)F，∴四形為平行四邊形，∴，如圖，在中，∵∴即，∴，∴，故①錯(cuò)誤；如圖，設(shè)，交于點(diǎn)O，∵，∴，，，，∵，，，∴，，∴，∴，故②正確，故選：B．二.填空題（共48分）7.2的平方根是_________.【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)平方根的定義求解即可（需注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根）．【詳解】解：2的平方根是故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的定義．注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．8._____（選填“”或“”或“”）．【答案】【解析】【分析】本題考查了互余兩角的余弦與正弦的關(guān)系．熟練掌握互余兩角的余弦與正弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由，可知．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．9.方程的解為____________【答案】【解析】【分析】本題考查了解無(wú)理方程，將方程兩邊同時(shí)平方，再解方程得出的值，檢驗(yàn)即可得出答案．【詳解】解：兩邊平方得：，移項(xiàng)得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，故答案為：．10.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解．熟練掌握在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解是解題的關(guān)鍵．利用公式法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：由題意知，，故答案為：．11.函數(shù)的定義域?yàn)開_______．【答案】且【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的定義域，二次根式有意義的條件，分式有意義的條件等知識(shí)．熟練掌握函數(shù)的定義域，二次根式有意義的條件，分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．由題意知，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，解得，且，故答案為：且．12.若正比例函數(shù)過(guò)第二象限，則反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限，隨x的增大而_________（選填“增大”或“減小”）【答案】減小【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，由題意得出，從而推出，最后由反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵正比例函數(shù)過(guò)第二象限，∴，∴，∴則反比例函數(shù)的圖象在每個(gè)象限，隨x的增大而減小，故答案為：減小．13.如圖，、分別是的兩條中線，設(shè)，那么向量用向量，表示為________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)、分別是的兩條中線得出，，再根據(jù)平面向量的減法運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：如圖，連接∵、分別是的兩條中線，∴，是的中位線∴，∴∴∴∴，∵，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，平面向量的的減法運(yùn)算法則，熟練掌握三角形重心的性質(zhì)，平面向量的的減法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．14.數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的數(shù)是和，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是_________．【答案】【解析】【分析】利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)C所表示的數(shù)是x，由題意得：，解得：，所以：點(diǎn)C所表示的數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸以及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離是解題的關(guān)鍵．15.正十邊形的中心角的余弦值為____________【答案】【解析】【分析】本題考查了正多邊形的中心角、余弦的定義，根據(jù)正多邊形的中心角的定義即可得出中心角的度數(shù)，再根據(jù)余弦的定義即可得出答案．【詳解】解：正十邊形的中心角度數(shù)為：，∴正十邊形的中心角的余弦值為，故答案為：．16.已知矩形紙片的邊，（如圖），將它折疊后，點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，那么折痕的長(zhǎng)為________．【答案】【解析】【分析】通過(guò)作出折疊后的圖形，作，先證，得到，再求出，，，代入求解即可．【詳解】解：作出折疊后的圖形，作，垂足為點(diǎn)M，連接PD．∵矩形紙片，將它折疊后，點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，與點(diǎn)P重合∴,∵四邊形矩形，∴∴∴∵∴∴∵四邊形是矩形，，，點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)P處，∴，，，在中，，∴則．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，能找到相似三角形得到邊與邊的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．17.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，將矩形ABCD沿著直線BC翻折，點(diǎn)A、點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、D′，如果直線A′D′與⊙O相切，那么的值為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，翻折找出AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，過(guò)O作OH⊥CD，連接OC，OG交BC于E，根據(jù)已知條件設(shè)出AB＝CD＝CD′＝A′B＝x，則OC＝OG＝x，再由勾股定理求出CE，即可求出BC，代入求比值即可．【詳解】設(shè)直線A′D′與⊙O相切于G，連接OC，OG交BC于E，∵將矩形ABCD沿著直線BC翻折，∴AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，過(guò)O作OH⊥CD，∴CH＝CD，∵直線A′D′與⊙O相切，∴OG⊥A′D′，∵BC∥A′D′，∴OG⊥BC，∴則四邊形OECH是矩形，CE＝BE＝BC，∴CH＝OE，設(shè)AB＝CD＝CD′＝A′B＝x，∴OE＝x，∴OC＝OG＝x，∴CE＝＝，∴BC＝2CE＝，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查圓的切線的判定和性質(zhì)，及矩形的性質(zhì)，需要用到勾股定理求相關(guān)量．18.在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝4cm，AD＝8cm．Q為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，如果以5cm為半徑的⊙Q與矩形ABCD的各邊有4個(gè)公共點(diǎn)，那么線段OQ長(zhǎng)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，當(dāng)Q在Q1Q2上移動(dòng)時(shí)⊙Q與AB有一個(gè)交點(diǎn)，與AD有2個(gè)交點(diǎn)，與CD有1個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)勾股定理得到AQ1的長(zhǎng)，當(dāng)OQ⊥BC時(shí)，OQ取最小值，當(dāng)Q在Q1或Q2時(shí)，OQ取最大值，由此可得答案．【詳解】解：臨界情況，如圖所示，⊙Q1與CD切于點(diǎn)C，⊙Q2與AB切于點(diǎn)B，當(dāng)Q在Q1Q2上移動(dòng)時(shí)⊙Q與AB有一個(gè)交點(diǎn)，與AD有2個(gè)交點(diǎn)，與CD有1個(gè)交點(diǎn)，∴CQ1＝5，BQ1＝BC﹣CQ1＝3，AB＝4，∴AQ1＝＝5，即A在⊙Q1上，同理，D在Q2上，臨界條件下，圓與矩形存在三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)OQ⊥BC時(shí)，OQ取最小值，OQ＝2，當(dāng)Q在Q1或Q2時(shí)，OQ取最大值，OQ1＝OQ2＝，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓位置關(guān)系，勾股定理，矩形的性質(zhì)，線段的最值，熟練掌握最值的臨界情形是解題的關(guān)鍵．三.解答題（共78分）19.計(jì)算：【答案】【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、立方根、絕對(duì)值、零指數(shù)冪，再進(jìn)行加減計(jì)算即可．【詳解】解：20.解不等式組：并把它的解集表示在數(shù)軸上【答案】，數(shù)軸見解析【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．分別求出每一個(gè)不等式的解集，再表示在數(shù)軸上即可，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，將解集表示在數(shù)軸上如圖所示：，∴原不等式組的解集為21.如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)方向出發(fā)，沿著方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的與、的另一個(gè)交點(diǎn)分別為、，連接、．（1）若是等腰三角形，求的值；（2）若與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．【答案】（1）2或或（2）或【解析】【分析】（1）由題意知，，，則，，由是等腰三角形，可知分當(dāng)，，三種情況求解即可；（2）當(dāng)與相切時(shí)，，即，則，即，可求，即當(dāng)時(shí)，與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)重合，則，即，可求，由題意知，，即，可求，即當(dāng)時(shí)，與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)．【小問(wèn)1詳解】解：由題意知，，，∴，，∵是等腰三角形，∴分當(dāng)，，三種情況求解；當(dāng)時(shí)，依題意得，，解得，；當(dāng)時(shí)，∵為直徑，∴，即，∴，由勾股定理得，，∴，即，解得，，∴，解得，；當(dāng)時(shí)，如圖1，連接，則，∴，即，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解；綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值為2或或；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)與相切時(shí)，，即，∴，即，解得，，∴當(dāng)時(shí)，與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)重合，∴，即，解得，，由題意知，，即，解得，∴當(dāng)時(shí)，與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)或時(shí)，與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角為直角，等腰三角形的性質(zhì)，余弦，切線的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角為直角，等腰三角形的性質(zhì)，余弦，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.小張同學(xué)在探究作角問(wèn)題如果我們身旁沒(méi)有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如圖1的方法：（1）對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平．（2）再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到折痕，同時(shí)，得到了線段．【證明】請(qǐng)根據(jù)上述過(guò)程完成下列問(wèn)題：（1）連接，如圖2.請(qǐng)直接寫出：______；（2）請(qǐng)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）小張?jiān)谔骄炕顒?dòng)的第（2）步基礎(chǔ)上再次動(dòng)手操作（如圖3），將延長(zhǎng)交于點(diǎn)．將沿折疊，點(diǎn)剛好落在邊上點(diǎn)處，連接，把紙片再次展平，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】（1）；（2）；（3）見解析【解析】【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由折疊的性質(zhì)可得：垂直平分、垂直平分，得出，推出為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）結(jié)合矩形性質(zhì)求出，即可得解；（3）證明是等邊三角形，，得出，，由折疊的性質(zhì)得出，推出，即可得證．【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)可得：垂直平分、垂直平分，∴，，∴，∴為等邊三角形，∴；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∴；（3）證明：由（1）可得，∴，，由折疊的性質(zhì)得出，∴，，∴是等邊三角形，，∴，，由折疊的性質(zhì)得出，∴，∴四邊形是平行四邊形．23.如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，點(diǎn)G在底邊BC上，連接DG交對(duì)角線AC于F，∠DGB＝∠DAB．（1）求證：四邊形ABGD是菱形；（2）連接EG，求證：BG?EG＝BC?EF．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】【分析】（1）先證四邊形ABGD是平行四邊形，再由菱形的判定可得結(jié)論；（2）由“SAS”可證△ABE≌△GBE，可得EG=AE，由相似三角形的性質(zhì)可得，即可得結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵AD//BC，∴∠DAB+∠ABG＝180°，∠DGB+∠ADG＝180°，∵∠DGB＝∠DAB，∴∠ABG＝∠ADG，∴四邊形ABGD是平行四邊形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠GBD，∵AD//BG，∴∠ADB＝∠ABD＝∠GBD，∴AB＝AD，∴四邊形ABGD是菱形；（2）如圖，連接EG，∵四邊形ABGD是菱形，∴AB＝BG＝AD，∠ABE＝∠GBE，在△ABE和△GBE中，，∴△ABE≌△GBE（SAS），∴EG＝AE，∵AD//BC，∴△ADE∽△CBE，∴，∵DF//AB，∴，∴，∵AD＝BG，AE＝EG，∴，∴BG?EG＝BC?EF．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把以拋物線上的動(dòng)點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線叫做這條拋物線的“子拋物線”．如圖，已知某條“子拋物線”的二次項(xiàng)系數(shù)為，且與y軸交于點(diǎn)C．設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m＞0），過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)B．（1）當(dāng)m=1時(shí)，求這條“子拋物線”解析式；（2）用含m的代數(shù)式表示∠ACB的余切值；（3）如果∠OAC=135°，求m的值．【答案】（1）；（2）；（3）m的值為2【解析】【分析】（1）先求出m=1時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到這條“子拋物線”的解析式；（2）先根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)求出“子拋物線”的解析式和AB,OB的長(zhǎng)度，然后令x=0求出y值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出BC的長(zhǎng)度，最后利用即可求解；（3）過(guò)O點(diǎn)作OD⊥CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線分別交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F,首先證明△AED≌△DFO，則有AE=DF，DE=OF，設(shè)AE=n，那么DF=n，BE=m+n=OF=ED，通過(guò)OB=EF得到，然后再通過(guò)得到，將兩個(gè)關(guān)于m,n的方程聯(lián)立即可求出m的值．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A在上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，∴A（m，m2），當(dāng)m=1時(shí)，，∴A（1，1），∴這條“子拋物線”的解析式為．（2）由A（m，m2），且AB⊥y軸，可得AB=m，OB=m2．∴“子拋物線”的解析式為．令x=0，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，），，∴．在Rt△ABC中，．（3）如圖，過(guò)O點(diǎn)作OD⊥CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線分別交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．∵∠OAC=135°，∴∠OAD=45°．又∵OD⊥CA，∴∠AOD=∠OAD=45°，∴AD=OD，，．，∴△AED≌△DFO，∴AE=DF，DE=OF．設(shè)AE=n，那么DF=n，BE=