2025年教師資格之中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力通關(guān)考試題庫帶答案解析選擇題部分1.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$，則其定義域為（）A.$(-\infty,1)$B.$(1,+\infty)$C.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$D.$R$答案：C。解析：要使分式有意義，則分母不能為零，即$x-1\neq0$，解得$x\neq1$，所以函數(shù)$f(x)$的定義域為$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。2.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(3,m)$，若$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$，則$m$的值為（）A.6B.-6C.$\frac{3}{2}$D.$-\frac{3}{2}$答案：A。解析：若兩個向量$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$平行，則$x_1y_2-x_2y_1=0$。已知$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(3,m)$，且$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$，那么$1\timesm-3\times2=0$，即$m-6=0$，解得$m=6$。3.設(shè)等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_2=3$，$S_4=16$，則$a_7$等于（）A.11B.13C.15D.17答案：B。解析：設(shè)等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，根據(jù)等差數(shù)列通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$和前$n$項和公式$S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$。已知$a_2=3$，則$a_1+d=3$；$S_4=16$，即$4a_1+\frac{4\times3}{2}d=16$，化簡得$4a_1+6d=16$。由$a_1+d=3$可得$a_1=3-d$，將其代入$4a_1+6d=16$中，得到$4(3-d)+6d=16$，$12-4d+6d=16$，$2d=4$，解得$d=2$，那么$a_1=3-2=1$。所以$a_7=a_1+6d=1+6\times2=13$。簡答題部分1.簡述數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力可以從以下幾個方面入手：-重視概念和原理的教學(xué)。數(shù)學(xué)概念和原理是邏輯思維的基礎(chǔ)，教師要引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解和掌握概念的內(nèi)涵和外延，深入剖析原理的推導(dǎo)過程。例如在講解函數(shù)概念時，通過具體的實例，如一次函數(shù)、二次函數(shù)等，讓學(xué)生明確函數(shù)的三要素，即定義域、值域和對應(yīng)法則，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。-加強推理訓(xùn)練。推理是邏輯思維的核心，包括演繹推理、歸納推理和類比推理等。在教學(xué)中，教師要通過典型的例題和習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進行推理。例如在證明幾何定理時，讓學(xué)生運用演繹推理，從已知條件出發(fā)，依據(jù)定理和公理，逐步推導(dǎo)出結(jié)論；在學(xué)習(xí)數(shù)列時，通過對一些具體數(shù)列的觀察和分析，引導(dǎo)學(xué)生進行歸納推理，總結(jié)出數(shù)列的通項公式和求和公式；在學(xué)習(xí)立體幾何時，通過類比平面幾何的知識和方法，引導(dǎo)學(xué)生探索立體幾何中的問題。-鼓勵學(xué)生提出問題和質(zhì)疑。培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和質(zhì)疑精神是培養(yǎng)邏輯思維能力的重要途徑。教師要營造寬松的教學(xué)氛圍，鼓勵學(xué)生積極思考，大膽提出問題和質(zhì)疑。例如在講解數(shù)學(xué)證明題時，鼓勵學(xué)生對證明方法和過程提出不同的見解，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和批判性思維。-組織數(shù)學(xué)活動和競賽。通過組織數(shù)學(xué)活動和競賽，如數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)競賽等，讓學(xué)生在實踐中鍛煉邏輯思維能力。在數(shù)學(xué)建?；顒又校瑢W(xué)生需要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運用數(shù)學(xué)知識和方法進行求解，這需要學(xué)生具備較強的邏輯思維能力和綜合運用知識的能力。2.簡述數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“四基”的內(nèi)容及其意義。“四基”是指基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗。-基礎(chǔ)知識是指數(shù)學(xué)中的概念、定理、公式、法則等。它是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是學(xué)生進一步學(xué)習(xí)和解決問題的前提。例如，代數(shù)中的方程、函數(shù)，幾何中的三角形、四邊形等知識，都是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識。-基本技能是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)具備的運算能力、推理能力、空間想象能力、數(shù)據(jù)處理能力等。基本技能的培養(yǎng)有助于學(xué)生提高解題效率和準(zhǔn)確性，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定基礎(chǔ)。例如，學(xué)生通過大量的計算練習(xí)，提高運算能力；通過證明幾何命題，提高推理能力。-基本思想是指數(shù)學(xué)中所蘊含的抽象思想、推理思想、模型思想等?；舅枷胧菙?shù)學(xué)的靈魂，它貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時，運用了抽象思想，將實際問題中的數(shù)量關(guān)系抽象為函數(shù)關(guān)系；在證明數(shù)學(xué)定理時，運用了推理思想；在建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題時，運用了模型思想。-基本活動經(jīng)驗是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所積累的觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等活動的經(jīng)驗?；净顒咏?jīng)驗的積累有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識，提高解決問題的能力。例如，學(xué)生通過動手操作，如制作幾何模型、進行數(shù)學(xué)實驗等，積累活動經(jīng)驗，加深對幾何知識的理解?！八幕钡奶岢鼍哂兄匾囊饬x。它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)和目標(biāo)，強調(diào)了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的全面發(fā)展?；A(chǔ)知識和基本技能是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，基本思想和基本活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的升華。“四基”的落實有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。解答題部分1.已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象經(jīng)過點$(0,1)$，$(1,0)$，$(-1,4)$。（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）求該二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)和對稱軸。解：（1）因為二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象經(jīng)過點$(0,1)$，$(1,0)$，$(-1,4)$，將這三個點的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式中，可得：$\begin{cases}c=1\\a+b+c=0\\a-b+c=4\end{cases}$將$c=1$代入$a+b+c=0$和$a-b+c=4$中，得到：$\begin{cases}a+b+1=0\\a-b+1=4\end{cases}$將兩式相加，可得$2a+2=4$，$2a=2$，解得$a=1$。將$a=1$代入$a+b+1=0$中，可得$1+b+1=0$，$b=-2$。所以二次函數(shù)的解析式為$f(x)=x^2-2x+1$。（2）對于二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），其頂點坐標(biāo)公式為$(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，對稱軸為直線$x=-\frac{2a}$。在二次函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$。$-\frac{2a}=-\frac{-2}{2\times1}=1$，$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times1\times1-(-2)^2}{4\times1}=\frac{4-4}{4}=0$。所以頂點坐標(biāo)為$(1,0)$，對稱軸為直線$x=1$。2.設(shè)函數(shù)$f(x)=\lnx-ax$（$a\inR$）。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若$f(x)$有兩個零點，求$a$的取值范圍。解：（1）函數(shù)$f(x)=\lnx-ax$的定義域為$(0,+\infty)$，對$f(x)$求導(dǎo)得$f^\prime(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$。當(dāng)$a\leq0$時，因為$x\gt0$，所以$1-ax\gt0$，即$f^\prime(x)\gt0$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增。當(dāng)$a\gt0$時，令$f^\prime(x)=0$，即$\frac{1-ax}{x}=0$，解得$x=\frac{1}{a}$。當(dāng)$0\ltx\lt\frac{1}{a}$時，$1-ax\gt0$，$f^\prime(x)\gt0$，$f(x)$單調(diào)遞增；當(dāng)$x\gt\frac{1}{a}$時，$1-ax\lt0$，$f^\prime(x)\lt0$，$f(x)$單調(diào)遞減。（2）由（1）可知，當(dāng)$a\leq0$時，$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，$f(x)$不可能有兩個零點。當(dāng)$a\gt0$時，$f(x)$在$(0,\frac{1}{a})$上單調(diào)遞增，在$(\frac{1}{a},+\infty)$上單調(diào)遞減，所以$f(x)$在$x=\frac{1}{a}$處取得極大值，也是最大值，$f(\frac{1}{a})=\ln\frac{1}{a}-a\times\frac{1}{a}=-\lna-1$。若$f(x)$有兩個零點，則$f(\frac{1}{a})\gt0$，即$-\lna-1\gt0$，$\lna\lt-1=\ln\frac{1}{e}$，因為對數(shù)函數(shù)$y=\lnx$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，所以$0\lta\lt\frac{1}{e}$。當(dāng)$0\lta\lt\frac{1}{e}$時，因為$f(1)=\ln1