2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何幾何體構(gòu)造與計(jì)算模擬試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面π：x-2y+z=1的距離是（）A.2B.√3C.√2D.12.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，則其側(cè)面與底面所成的二面角大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°3.一個圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為30°，則該圓錐的側(cè)面積為（）A.4πB.8πC.2πD.π4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面AA1B1B垂直于底面ABC，且AA1=2，則點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離是（）A.1B.√2C.√3D.25.已知一個球的球面上有三點(diǎn)A、B、C，且AB=BC=CA=1，球的半徑為1，則球心到平面ABC的距離是（）A.0B.1/2C.√3/2D.√36.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=3，則點(diǎn)A1到直線BC的距離是（）A.1B.√2C.√3D.27.已知一個正三棱錐的底面邊長為3，高為2，則其側(cè)面積是（）A.3√3B.6√3C.9√3D.12√38.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，則點(diǎn)P到平面ABCD的距離是（）A.1B.√2C.√3D.29.已知一個圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為（）A.120°B.180°C.240°D.300°10.在三棱錐O-ABC中，OA=OB=OC=1，且∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°，則點(diǎn)O到平面ABC的距離是（）A.1/2B.1/√2C.1/√3D.1二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。請將答案填寫在答題卡對應(yīng)位置。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，平面α：2x-y+z=0與平面β：x+y+2z=1的夾角大小是_______.2.已知正方體的棱長為2，則其外接球的表面積是_______.3.在圓錐內(nèi)作一內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為圓錐高的一半，且圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為1:2，則圓柱的底面半徑是圓錐底面半徑的_______倍.4.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，則點(diǎn)P到對角線BD的距離是_______.5.已知一個球的球面上有三點(diǎn)A、B、C，且AB=BC=CA=1，球的半徑為1，則球心到平面ABC的距離是_______.三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，PD=√5，E是PC的中點(diǎn)。求：（1）異面直線AE與BD所成的角的大小；（2）點(diǎn)E到平面PBD的距離。解：首先，我們以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，使得DA在x軸上，DC在y軸上，DP在z軸上。由題意知，D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2）。因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以E的坐標(biāo)為（1，1，1）。（1）向量AE=（-1，1，1），向量BD=（0，1，-2）。所以，向量AE與向量BD的夾角的余弦值為：cosθ=|AE·BD|/（|AE|·|BD|）=|-1×0+1×1+1×（-2）|/（√（-12+12+12）×√（02+12+（-2）2））=|-1|/（√3×√5）=1/（√15）。因此，異面直線AE與BD所成的角的大小為：θ=arccos（1/（√15））。（2）設(shè)平面PBD的一個法向量為n=（x，y，z）。因?yàn)閚⊥平面PBD，所以n·PD=0，即0×x+1×y+（-2）×z=0，得到y(tǒng)-2z=0。又因?yàn)閚⊥BD，所以n·BD=0，即0×x+1×y+（-2）×z=0，得到y(tǒng)-2z=0。取z=1，則y=2，x可以取任意值，令x=1，則n=（1，2，1）。點(diǎn)E到平面PBD的距離d=|n·E|/|n|=-1×1+2×1+1×1/√（12+22+12）=2/√6=√6/3。所以，點(diǎn)E到平面PBD的距離是√6/3。2.（本小題滿分15分）已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為2，高為√3，點(diǎn)P在棱SC上運(yùn)動。求點(diǎn)P到平面SAB的距離的最小值。解：首先，我們以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，使得AB在x軸上，AC在y軸上，AS在z軸上。由題意知，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），S（0，0，√3）。因?yàn)镻在棱SC上運(yùn)動，所以P的坐標(biāo)可以表示為（0，2t，√3t），其中0≤t≤1。設(shè)平面SAB的一個法向量為n=（x，y，z）。因?yàn)閚⊥平面SAB，所以n·SA=0，即0×x+0×y+√3×z=0，得到√3z=0，即z=0。又因?yàn)閚⊥AB，所以n·AB=0，即2×x+0×y+0×z=0，得到2x=0，即x=0。取y=1，則n=（0，1，0）。點(diǎn)P到平面SAB的距離d=|n·P|/|n|=1×2t/1=2t。當(dāng)t=0時，d取得最小值0。所以，點(diǎn)P到平面SAB的距離的最小值是0。3.（本小題滿分15分）在圓錐P-ABC中，底面ABC是半徑為1的圓，PA⊥底面ABC，PA=2，D是弧BC上異于B、C的兩點(diǎn)，且∠BDC=120°。求：（1）異面直線AD與PC所成的角的大??；（2）三棱錐D-ABC的體積。解：首先，我們以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，使得AB在x軸上，AC在y軸上，AP在z軸上。由題意知，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）。因?yàn)镈是弧BC上異于B、C的兩點(diǎn)，且∠BDC=120°，所以D的坐標(biāo)為（cos120°，sin120°，0）=（-1/2，√3/2，0）。（1）向量AD=（-1/2，√3/2，0），向量PC=（-1，1，-2）。所以，向量AD與向量PC的夾角的余弦值為：cosθ=|AD·PC|/（|AD|·|PC|）=|-1/2×（-1）+√3/2×1+0×（-2）|/（√（（-1/2）2+（√3/2）2+02）×√（（-1）2+12+（-2）2））=|1/2+√3/2|/（1×√6）=（√3+1）/（2√6）。因此，異面直線AD與PC所成的角的大小為：θ=arccos（（√3+1）/（2√6））。（2）三棱錐D-ABC的體積V=1/3×S△ABC×h_D，其中S△ABC=1/2×AB×AC×sin∠BAC=1/2×1×1×√3/2=√3/4，h_D為點(diǎn)D到平面ABC的距離，即D的z坐標(biāo)為0，所以h_D=0。因此，三棱錐D-ABC的體積V=1/3×√3/4×0=0。所以，三棱錐D-ABC的體積是0。4.（本小題滿分20分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1和棱CC1的中點(diǎn)。求：（1）異面直線AE與B1C所成的角的大??；（2）三棱錐E-FBC的體積。解：首先，我們以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，使得DA在x軸上，DC在y軸上，DP在z軸上。由題意知，D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，0，1），F(xiàn)（0，2，1）。（1）向量AE=（0，0，1），向量B1C=（-2，0，0）。所以，向量AE與向量B1C的夾角的余弦值為：cosθ=|AE·B1C|/（|AE|·|B1C|）=|0×（-2）+0×0+1×0|/（1×2）=0。因此，異面直線AE與B1C所成的角的大小為：θ=arccos（0）=90°。（2）三棱錐E-FBC的體積V=1/3×S△FBC×h_E，其中S△FBC=1/2×FB×FC=1/2×2×2=2，h_E為點(diǎn)E到平面FBC的距離，即E的z坐標(biāo)為1，所以h_E=2-1=1。因此，三棱錐E-FBC的體積V=1/3×2×1=2/3。所以，三棱錐E-FBC的體積是2/3。5.（本小題滿分20分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，PD=√5，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)。求：（1）異面直線AE與PF所成的角的大??；（2）三棱錐E-FBC的體積。解：首先，我們以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，使得DA在x軸上，DC在y軸上，DP在z軸上。由題意知，D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），P（0，0，2），E（1，1，1），F(xiàn)（1，1/2，0）。（1）向量AE=（-1，1，1），向量PF=（2，-1/2，-2）。所以，向量AE與向量PF的夾角的余弦值為：cosθ=|AE·PF|/（|AE|·|PF|）=|-1×2+1×（-1/2）+1×（-2）|/（√（-12+12+12）×√（22+（-1/2）2+（-2）2））=|-2-1/2-2|/（√3×√（4+1/4+4））=|-4.5|/（√3×√9.25）=4.5/（√3×√9.25）。因此，異面直線AE與PF所成的角的大小為：θ=arccos（4.5/（√3×√9.25））。（2）三棱錐E-FBC的體積V=1/3×S△FBC×h_E，其中S△FBC=1/2×FB×FC=1/2×√5×1=√5/2，h_E為點(diǎn)E到平面FBC的距離，即E的z坐標(biāo)為1，所以h_E=2-1=1。因此，三棱錐E-FBC的體積V=1/3×√5/2×1=√5/6。所以，三棱錐E-FBC的體積是√5/6。本次試卷答案如下一、選擇題1.A解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面π：x-2y+z=1的距離公式為d=|1×1-2×2+3×1-1|/√（12+（-2）2+12）=|-2|/√6=√6/3，選項(xiàng)中沒有正確答案，可能是題目或選項(xiàng)有誤。2.C解析：正四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面所成的二面角即為側(cè)面三角形SAB與底面三角形ABC所成的角，設(shè)該角為θ，則tanθ=SAO/AB=√3/2，所以θ=60°。3.A解析：圓錐的側(cè)面積公式為πrl，其中r為底面半徑，l為母線長，母線與底面所成的角為30°，所以l=2r，側(cè)面積為πr√3r=√3πr2，底面半徑為2，所以側(cè)面積為4π。4.B解析：點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離即為點(diǎn)A1到直線BC的距離，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面AA1B1B垂直于底面ABC，且AA1=2，所以A1到平面BCC1B1的距離為√2。5.B解析：球心到平面ABC的距離即為球的半徑在平面ABC上的投影長度，由題意知球的半徑為1，A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一個邊長為1的正三角形，其中心到任一頂點(diǎn)的距離為正三角形邊長的一半，即1/2。6.A解析：點(diǎn)A1到直線BC的距離即為A1到B、C兩點(diǎn)連線的垂直距離，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=3，所以A1到直線BC的距離為1。7.B解析：正三棱錐的側(cè)面積公式為3/2×底面邊長×斜高，底面邊長為3，高為2，所以斜高為√（22+（3/2）2）=√（4+9/4）=√（16/4+9/4）=√25/2=5/2，側(cè)面積為3/2×3×5/2=6√3。8.D解析：點(diǎn)P到平面ABCD的距離即為點(diǎn)P到底面ABCD的垂直距離，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=1，所以點(diǎn)P到平面ABCD的距離是2。9.C解析：圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角公式為360°-2arcsin（r/l），其中r為底面半徑，l為母線長，底面半徑為3，母線長為5，所以圓心角為360°-2arcsin（3/5）≈360°-109.47°=250.53°，四舍五入為240°。10.A解析：點(diǎn)O到平面ABC的距離即為球的半徑在平面ABC上的投影長度，由題意知OA=OB=OC=1，且∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°，所以球的半徑為1，A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一個邊長為1的正三角形，其中心到任一頂點(diǎn)的距離為正三角形邊長的一半，即1/2。二、填空題1.π/3解析：平面α：2x-y+z=0與平面β：x+y+2z=1的夾角θ滿足cosθ=|2×1-1×1+1×2|/（√（22+（-1）2+12）×√（12+12+22））=|3|/（√6×√6）=1/2，所以θ=π/3。2.16π解析：正方體的外接球半徑R=√（（2/2）2+（2/2）2+（2/2）2）=√3，外接球表面積公式為4πR2=4π（√3）2=12π，選項(xiàng)中沒有正確答案，可能是題目或選項(xiàng)有誤。3.1/2解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，圓錐的底面半徑為R，高為H，由題意知圓柱的高為圓錐高的一半，即h=H/2，且圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為1:2，即πrl:πRl=1:2，所以r/R=1/2，即圓柱的底面半徑是圓錐底面半徑的1/2倍。4.√2解析：點(diǎn)P到對角線BD的距離即為點(diǎn)P到B、D兩點(diǎn)連線的垂直距離，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，所以點(diǎn)P到對角線BD的距離為√2。5.1/√3解析：球心到平面ABC的距離即為球的半徑在平面ABC上的投影長度，由題意知球的半徑為1，A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一個邊長為1的正三角形，其中心到任一頂點(diǎn)的距離為正三角形邊長的一半，即1/2，球心到平面ABC的距離為√（12-（1/2）2）=√3/2，選項(xiàng)中沒有正確答案，可能是題目或選項(xiàng)有誤。三、解答題1.（1）arctan（√2）解析：異面直線AE與BD所成的角即為向量AE與向量BD的夾角，向量AE=（-1，1，1），向量BD=（0，1，-2），所以cosθ=|AE·BD|/（|AE|·|BD|）=|-1×0+1×1+1×（-2）|/（√（-12+12+12）×√（02+12+（-2）2））=|-1|/（√3×√5）=1/（√15），所以θ=arctan（√2）。（2）√6/3解析：平面PBD的一個法向量為n=（x，y，z），由n⊥平面PBD，得n·PD=0，即0×x+1×y+（-2）×z=0，得y-2z=0，由n⊥BD，得n·BD=0，即0×x+1×y+（-2）×z=0，得y-2z=0，取z=1，得y=2，x可以取任意值，令x=1，得n=（1，2，1），點(diǎn)E到平面PBD的距離d=|n·E|/|n|=|-1×1+2×1+1×1|/√（12+22+12）=2/√6=√6/3。2.0解析：點(diǎn)P到平面SAB的距離即為點(diǎn)P到直線SA的垂直距離，正三棱錐S-ABC的底面邊長為2，高為√3，點(diǎn)P在棱SC上運(yùn)動，所以點(diǎn)P到平面SAB的距離的最小值為0。3.（1）arccos（（√3+1）/（2√6））解析：異面直線AD與PC所成的角即為向量AD與向量PC的夾角，向量AD=（-1/2，√3/2，0），向量PC=（-1，1，-2），所以cosθ=|AD·PC|/（|AD|·|PC|）=|-1/2×（-1）+√3/2×1+0×（-2）|/（√（（-1/