第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年甘肅省酒泉市普通高中高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列條件中能得到a=b的是(

)A.a=b B.a與b的方向相同

C.a=b，且a→2.從裝有3個(gè)紅球和5個(gè)黃球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么“至少有1個(gè)紅球”的對(duì)立事件是(

)A.至少有2個(gè)紅球 B.至少有2個(gè)黃球 C.都是黃球 D.至多1個(gè)紅球3.設(shè)a為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z1=a?2i，z2=?1+aiA.1+3i B.?1 C.?6+6i 4.下列命題是真命題的是(

)A.已知數(shù)據(jù)x1,x2,???,x10，2的平均值為2，方差為1，則數(shù)據(jù)x1,x2,???,x10相對(duì)于原數(shù)據(jù)一樣穩(wěn)定

B.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)的方差為7，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙

C.數(shù)據(jù)1，2，3，4，4，5的平均數(shù)、中位數(shù)相同

D.數(shù)據(jù)1，2，2，2，3，45.給出下列4個(gè)命題，其中正確的命題是(????)．①垂直于同一直線的兩條直線平行；

②垂直于同一平面的兩條直線平行；③垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；

④垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行．A.①② B.③④ C.②③ D.①④6.在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若(a+c)(a?c)+b(a+b)=0，則C等于(

)A.90° B.60° C.120° D.150°7.已知sin(45°+α)=55，則sin

2αA.?45 B.?35 C.8.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°A.32π3 B.4π3 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.一個(gè)袋子中裝有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件產(chǎn)品，其中結(jié)論正確的是(

)A.任取2件，則取出的2件中恰有1件次品的概率是12

B.每次抽取1件，不放回抽取兩次，樣本點(diǎn)總數(shù)為16

C.每次抽取1件，不放回抽取兩次，則取出的2件中恰有1件次品的概率是12

D.每次抽取110.已知向量a與b的夾角為30°，且a=1，2a?A.b=3 B.a?b=32

11.下列選項(xiàng)中，與cos(?25π3A.2cos15°cos75° B.sin86三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(3,1)，b=(?6,k)，若a→/\!/b→13.已知向量OA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=?1+i，復(fù)數(shù)zi可以將向量OA按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

得到(填最小正角14.在四面體S?ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=5，AC=3，則該四面體體積的最大值為

，此時(shí)該四面體外接球的表面積為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知等腰三角形頂角的余弦值為35，求這個(gè)三角形底角的正弦、余弦以及正切值．16.(本小題15分已知M、N分別是四邊形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)．(1)求證：MN=(2)若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，求證：AN⊥(3)若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求BE?BC17.(本小題15分)在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b+c=(1)若?ABC外接圓的面積為π，B=30°，求(2)若sinA+3cos18.(本小題17分)“數(shù)學(xué)好玩”是國(guó)際著名數(shù)學(xué)家陳省身贈(zèng)送給少年數(shù)學(xué)愛(ài)好者們的一句話.某校為了更好地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，激發(fā)學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)的興趣和熱情，特舉辦數(shù)學(xué)節(jié)活動(dòng).在活動(dòng)中，共有20道數(shù)學(xué)問(wèn)題，滿分100分在所有的答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)分成六段：40,50,50,60，……，

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該校全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；(2)活動(dòng)中，甲、乙、丙三位同學(xué)獨(dú)立參加競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)了12道，乙同學(xué)答對(duì)了8道，丙同學(xué)答對(duì)了n道，假設(shè)每道數(shù)學(xué)問(wèn)題難度相當(dāng)，被答對(duì)的可能性都相同．(i)任選一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)的概率；(ii)任選一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，若甲、乙、丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人答對(duì)的概率為2225，求n的值．19.(本小題17分)如圖，在四面體ABCD中，AB=AD，BC=CD=2，E為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)．(1)求證：平面ACE⊥平面BDF(2)若M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：DF/\!/平面EMN；(3)若∠BCD=90°，∠BAD=60①求二面角A?BD?C的余弦值；②求直線BF與平面ACD所成角的正弦值的最大值．

答案解析1.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)相等向量的定義即可逐一判斷各選項(xiàng)．【詳解】因a=b等價(jià)于對(duì)于A，由a=b不能確定a,對(duì)于B，a與b的方向相同，但長(zhǎng)度不確定是否相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)a=b，且a→/\!/b→時(shí)，若對(duì)于D，當(dāng)a=0且b=0時(shí)，故選：D．2.【答案】C

【解析】【分析】先對(duì)至少有1個(gè)紅球進(jìn)行情況分析，再結(jié)合對(duì)立事件的定義求解即可．【詳解】由題意得若發(fā)生“至少有1個(gè)紅球”，則取出紅球的數(shù)量為1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，由對(duì)立事件的性質(zhì)得“至少有1個(gè)紅球”的對(duì)立事件為取不到紅球，即取到的都是黃球，故C正確．故選：C3.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)求得a=1，代入z1,z【詳解】因?yàn)閦1可得a?1=0a?2≠0，解得a=1則z1=1?2i，z故選：A．4.【答案】D

【解析】【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)的平均值，方差計(jì)算公式，以及中位數(shù)，眾數(shù)定義即可逐一判斷．【詳解】對(duì)于A，依題意數(shù)據(jù)x1,x2,???,由題意111則(x而數(shù)據(jù)x1,x2,???,對(duì)于B，因s甲2<對(duì)于C，數(shù)據(jù)1，2，3，4，4，5的平均數(shù)為x=16(1+2+3+4+4+5)=19對(duì)于D，因數(shù)據(jù)1，2，2，2，3，4，4，4，5，5，6中，數(shù)字“2”和“4”都出現(xiàn)了最多的3次，故眾數(shù)是2和4，即D正確．故選：D．5.【答案】C

【解析】【分析】由線線的位置關(guān)系可判斷①；由線面垂直的性質(zhì)定理可判斷②；由線面垂直的性質(zhì)和面面平行的判定可判斷③；由面面的位置關(guān)系可判斷④．【詳解】解：對(duì)于①，垂直于同一直線的兩條直線平行、相交或異面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，垂直于同一平面的兩條直線平行，故②正確；對(duì)于③，垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，故③正確；對(duì)于④，垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行或相交，故④錯(cuò)誤．故選：C．6.【答案】C

【解析】【分析】整理化簡(jiǎn)等式，利用余弦定理求出cosC的值，再根據(jù)角的范圍即可求得角C【詳解】因(a+c)(a?c)+b(a+b)=0，整理得：a2由余弦定理，cosC=a2+b故選：C．7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查二倍角公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．

先根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，得到sinα+cosα的值，然后兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)后，即可求出sin2α的值．【解答】

解：∵sin(α+45°)=sinαcos45°+cosαsin45°=22(sinα+cosα)=55，

∴sinα+cosα=1058.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)分別取BC,B1C1的中點(diǎn)D,D1，連接DD1，判斷直三棱柱【詳解】如圖，AB=AC=1，∠BAC=90°，分別取BC,B1C則點(diǎn)D,D1分別是?ABC,△A1B1連接OB1，則OD故直三棱柱ABC?A1B1C故選：B．9.【答案】ACD

【解析】【分析】本題主要考查古典概型的相關(guān)計(jì)算，熟記古典概型的概率計(jì)算公式，以及列舉法確定基本事件個(gè)數(shù)即可，屬于基礎(chǔ)題．先記4件產(chǎn)品分別為1，2，3，a，其中a表示次品，用列舉法，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：記4件產(chǎn)品分別為1，2，3，a，其中a表示次品．A選項(xiàng)，樣本空間ΩA“恰有一件次品”的樣本點(diǎn)為1,a，2,a，3,a，因此其概率P=36=B選項(xiàng)，每次抽取1件，不放回抽取兩次，

樣本空間ΩB={1,2因此nΩB=12C選項(xiàng)，“取出的兩件中恰有一件次品”的樣本點(diǎn)數(shù)為6，其概率為12，C正確D選項(xiàng)，每次抽取1件，有放回抽取兩次，

樣本空間ΩD={1,1,1,2,1,3,1,a,2,1故選：ACD．10.【答案】AC

【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的定義得到a?b=32b，再對(duì)2a?b=1左右兩側(cè)同時(shí)平方，建立方程求解b判斷A【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?a?b因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為30°，且a=1，所以代入4a2?4a?b+對(duì)于B，由已知得a?b=32b對(duì)于C，由題意得b?則b⊥2a對(duì)于D，由投影公式得a在b方向上的投影是acos30°=故選：AC11.【答案】ABC

【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式與和、差角公式化簡(jiǎn)計(jì)算再逐一判斷即得．【詳解】因cos(?對(duì)于A，2cos15°cos對(duì)于B，sin86°cos56對(duì)于C，因tan45°=故11+tan3對(duì)于D，cos=cos(45°?故選：ABC．12.【答案】?2

【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示式求解即得．【詳解】由a→/\!/b→可得故答案為：?2．13.【答案】π2【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的三角形式的幾何意義，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為θ，根據(jù)復(fù)數(shù)相等列出方程，求解即得．【詳解】因z=?1+i設(shè)將向量OA按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角，可得到復(fù)數(shù)zi則由?1?i=(?1+i故有?cosθ?sinθ=?依題意求最小正角，則θ=π故答案為：π214.【答案】30【解析】【分析】考查四面體的體積最大時(shí)的情況，及外接球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題．

由題意可得當(dāng)四面體的體積最大時(shí)即面SAB⊥面ABC，求出四面體的高，進(jìn)而求出體積，由數(shù)值可得H為外接球的球心，球的半徑為SH=CH，進(jìn)而求出外接球的表面積．【解答】

解：四面體的體積最大時(shí)即面SAB⊥面ABC，

SA=SB=2，且SA⊥SB，則AB=22，

又BC=5，AC=3，

則BC2+AC2=8=AB2，所以∠ACB=90°，

取AB的中點(diǎn)H，連接CH，SH，則SH⊥AB，

又面SAB∩面ABC=AB，SH在面SAB內(nèi)，而SH=122SA=2，

所以SH⊥面ABC，所以VS?ABC=13?S△ABC?SH=13?12?15.【答案】解：設(shè)等腰三角形的頂角為α，底角為β，依題意，cosα=因?yàn)棣?2β=π，所以β∈(0,由cos2β=2cos2β?1=?所以tanβ=

【解析】根據(jù)等腰三角形的頂角與底角之間的數(shù)量關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式與同角的三角函數(shù)關(guān)系式計(jì)算即得．16.【答案】解：(1)如圖(1)，MN=AD(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖(2)所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意，有A(0,0)，D(2,0)，N(2,1)，B(0,2)，C(2,2)，E(1,0)，則AN=(2,1)，BE=(1,?2)，由(3)由(2)，設(shè)AE=x，x∈[0,2]，則E(x,0)，BC=(2,0)，BE因?yàn)閤∈[0,2]，所以當(dāng)x=2時(shí)，BE?

【解析】(1)結(jié)合圖形，利用向量的加減數(shù)乘等運(yùn)算和題設(shè)條件即可證得；(2)通過(guò)建系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件即可證明；(3)設(shè)AE=x，則得E(x,0)，利用向量的坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積，再根據(jù)x∈[0,2]，即可確定17.【答案】解：(1)設(shè)?ABC外接圓的半徑為R，依題意，πR2由正弦定理可得bsinB=2R又因?yàn)閎+c=2+1，b=1，所以c=由C∈0,π且c>b，得C=π(2)由sinA+3因A∈0,π，故A+π3因?yàn)閎+c=2+1，所以S所以?ABC面積的最大值為3+2

【解析】(1)由正弦定理求出邊b，繼而求出邊c，再由正弦定理求得sinC=2(2)先由輔助角公式化簡(jiǎn)等式求得A=π6，利用基本不等式結(jié)合條件求出bc的最大值，即可求得18.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖有10a=1?10×0.005+0.010×2+0.020+0.025解得a=0.030，因?yàn)?0×0.005+0.010+0.020=0.35<0.5，所以中位數(shù)在區(qū)間70,80內(nèi)，設(shè)為x，則有10×0.005+0.010+0.020+0.03×x?70所以估計(jì)該校全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為75；(2)設(shè)A=“任選一道題，甲答對(duì)”，B=“任選一道題，乙答對(duì)”，C=“任選一道題，丙答對(duì)”，則由古典概型概率計(jì)算公式得：PA=1220=所以有PA=25，(i)記D=“甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)”，則有D=AB∪AB，且有因?yàn)槊课煌瑢W(xué)獨(dú)立作答，所以A，B互相獨(dú)立，則A與B，A與B，A與B均相互獨(dú)立，所以P=3所以任選一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對(duì)的概率1325(ii)記E=“甲、乙、丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人答對(duì)”，則E=所以P=1?2解得：n=10．

【解析】本題考查頻率分布直方圖，古典概型及其計(jì)算，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．

(1)根據(jù)頻率之和為1即可求出a，根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)的求法求中位數(shù)即可；(2)(i)根據(jù)古典概型結(jié)合相互獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；(ii)根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式及對(duì)立事件的概率公式求解即可．19.【答案】解：(1)在四面體ABCD中，AB=AD，BC=CD，