第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年合肥市百花中學(xué)等四校聯(lián)考高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，共40分。1.下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是(

)A.i(1+i) B.(1+i)2 C.i2(1+i)2.已知籃球運(yùn)動(dòng)員甲、乙的罰球命中率分別為0.9，0.8，且兩人罰球是否命中相互獨(dú)立.若甲、乙各罰球一次，則恰有一人命中的概率為(

)A.0.26 B.0.28 C.0.72 D.0.983.已知m,n表示兩條不同直線，a表示平面，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A.若，，則 B.若，m⊥α，則n⊥α

C.若m⊥α，m⊥n，則 D.若m⊥4.在?ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若bcosA=acosB，則A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形5.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱CA.22 B.32 C.6.從長(zhǎng)度分別為3，4，5，6的4條線段中任取3條，能構(gòu)成鈍角三角形的概率為(

)A.14 B.13 C.127.已知a,b,c分別為?ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，?ABC的面積S=a2+A.90° B.60° C.45°8.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.若A.3 B.22 C.二、多選題：本大題共3小題，共18分。9.有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,???,x6，其中A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,???,x6的平均數(shù)

10.已知向量a=(1,3)，b=(2,?4)A.a,b=3π4

B.2a?+b?11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E是棱DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)A.平面A1BE截正方體ABCD?A1B2C1D1所得截面面積為92

B.點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為π4

C.三、填空題：本大題共3小題，共15分。12.已知平面內(nèi)有O、A、B、C四點(diǎn)，其中A，B，C三點(diǎn)共線，且OC=xOA+yOB，則x+y=13.已知三棱錐S?ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S?ABC的體積為9，則球O的表面積為

．14.?ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinBcosC+csinBcosA=3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.已知復(fù)數(shù)z滿足2+i(1)求復(fù)數(shù)z(2)若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程2x2+ax+b=0a,b∈R的一個(gè)根，求16.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a>c，已知BA?BC=2，cosB=13，b=3，求：

(Ⅰ)a和c的值；

(17.某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對(duì)高考改革方案的關(guān)注程度，隨機(jī)選取了200名年齡在[20,45]內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(第一～五組區(qū)間分別為[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45])．(1)求選取的市民年齡在[40,45]內(nèi)的人數(shù);(2)利用頻率分布直方圖，估計(jì)200名市民的年齡的平均數(shù)和第80百分位數(shù);(3)若從第3，4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談，再?gòu)闹羞x取2人在座談會(huì)中作重點(diǎn)發(fā)言，求作重點(diǎn)發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在[35,40)內(nèi)的概率．18.如圖，在梯形ABCD中，AB=2DC，∠BAD=90°，AB=AD=2，E為線段BC的中點(diǎn)，記AB(1)用a，b表示向量AE；(2)求AE的值；(3)求AE與BD夾角的余弦值．19.圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2．(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖2中的二面角B?CG?A的大?。?/p>

答案解析1.【答案】B

【解析】【詳解】分析：首先將選項(xiàng)當(dāng)中的每個(gè)復(fù)數(shù)都算一遍，求得結(jié)果，根據(jù)純虛數(shù)的定義，找到結(jié)果．詳解：i(1+i)=?1+i，(1+i)2=2i，通過(guò)比較可以知道，只有2i為純虛數(shù)，故選B．點(diǎn)睛：該題所考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義即可判斷結(jié)論．2.【答案】A

【解析】【分析】利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式求解即可．【詳解】設(shè)“籃球運(yùn)動(dòng)員甲、乙的罰球命中”分別為事件A，B，“恰有一人命中”為事件C，則P(C)=P=0.9×故選：A．3.【答案】BD

【解析】【分析】根據(jù)空間中直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解．【詳解】對(duì)于A，若m/\!/α，n/\!/α，則m/\!/n或者m,n異面，或者m,n相交，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若m/\!/n，m⊥α，則n⊥對(duì)于C，若m⊥α，m⊥n，則n/\!/α或者對(duì)于D，若m⊥α，n?α，則故選：BD4.【答案】B

【解析】【分析】將已知等式兩邊利用正弦定理化邊為角，運(yùn)用差角的正弦公式整理分析即得．【詳解】因bcosA=acosB，由正弦定理，因0<A,B<π，則?π<A?B<π，故，故選：B．5.【答案】C

【解析】【分析】本題考查異面直線所成角，是較易題．

由題有異面直線AE與CD所成角為∠EAB，進(jìn)而求解．【解答】解：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2a，則由E為棱CC1的中點(diǎn)，可得CE=a，所以則tan∠EAB=BEAB6.【答案】C

【解析】【分析】列出4條線段中取3條的組合情況，分別討論是否滿足三角形成立條件和鈍角成立條件，鈍角三角形成立數(shù)比上三角形成立數(shù)即為構(gòu)成鈍角三角形的概率．【詳解】從4條線段中取3條的組合數(shù)為：C43，具體為：①3，4，5；②3，4，6；③3，5，6；④4，5，設(shè)三角形邊長(zhǎng)為a，b，c，c為最大邊，則：鈍角三角形的滿足條件為：a+b>組合①：3+4組合②：3+4組合③:組合④:綜上，滿足鈍角三角形的組合數(shù)為2，概率P=2故選：C．7.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式得到方程，求出tanC=1【詳解】由余弦定理得a2又三角形面積公式得S=1故12又a>0,b>0，故又C∈0,π故選：C8.【答案】C

【解析】【分析】設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)均為l，底面半徑分別為r1,r2，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得r1=2r【詳解】設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)均為l，底面半徑分別為r1則S甲S乙因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2π所以2πr1由①②解得r1所以甲圓錐的高?1=所以V甲故選：C．9.【答案】BD

【解析】【分析】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念，屬于中檔題．

根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)

x2,x3,x4,x5

的平均數(shù)為

m則

n?m=x1因?yàn)闆](méi)有確定

2x1+x6,例如：

1,2,3,4,5,6

，可得

m=n=3.5

；例如

1,1,1,1,1,7

，可得

m=1,n=2

；例如

1,2,2,2,2,2

，可得

m=2,n=116

，故對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)

x1≤可知

x2,x3,x4,x5

的中位數(shù)等于對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?/p>

x1

是最小值，

x6則

x2,x3,x4,x5

的波動(dòng)性不大于

x例如：

2,4,6,8,10,12

，則平均數(shù)

n=16標(biāo)準(zhǔn)差

s1=4,6,8,10

，則平均數(shù)

m=14標(biāo)準(zhǔn)差

s2=顯然

1053>5

，即

對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)

x1≤則

x6?x1≥x5?故選：BD．10.【答案】ACD

【解析】【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算、平行和垂直的判定，以及投影向量公式逐項(xiàng)進(jìn)行分析判斷．【詳解】選項(xiàng)A:已知向量a=(1,3)，b所以cosa,b=a選項(xiàng)B:因?yàn)?a+b=(4,2)，而選項(xiàng)C:因?yàn)閍+b=(3,?1)選項(xiàng)D:根據(jù)投影向量公式：a??b故選：ACD．11.【答案】AC

【解析】【分析】取CD的中點(diǎn)G，連接BG、EG，則等腰梯形A1EGB為截面，求面積判斷選項(xiàng)A；取C1D1中點(diǎn)M，CC1中點(diǎn)N，連接B1M，B1N，MN，推導(dǎo)出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN，判斷選項(xiàng)B；取MN中點(diǎn)F，推導(dǎo)出B1F⊥MN，又因?yàn)镸N//CD1，所以B1F⊥CD1，判斷選項(xiàng)C；取F是MN的中點(diǎn)，因?yàn)?B1MN是等腰三角形，則B1F⊥【詳解】已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，且滿足B1F1//平面A1BE，取CD則等腰梯形A1EGB(BG//面積為2+2取C1D1中點(diǎn)M，CC1中點(diǎn)N，連接B由題可得B1N//A1E，所以B1N//平面A1BE又B1N與MN是平面

所以平面B1MN//平面A1BE，所以點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN取MN中點(diǎn)F，因?yàn)?B1MN又因?yàn)镸N//CD1，所以因?yàn)锽1C1⊥平面CDD1C所以sin∠B因?yàn)锽1C1=2，且所以sin∠B1FC1故選：AC．12.【答案】1

【解析】【分析】利用平面向量的基本定理計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在m使得AC由OC所以x=1?m,y=m即x+y=1故答案為：113.【答案】36π

【解析】【分析】本題考查球的表面積公式、棱錐的體積公式，面面垂直的性質(zhì)定理，屬于中檔題．

設(shè)SC=2r，取SC的中點(diǎn)O，連接AO，OB.根據(jù)三棱錐S?ABC的體積為9，計(jì)算出球的半徑再計(jì)算球的體積即可．【解答】解：如圖所示，

設(shè)SC=2r，取SC的中點(diǎn)O，連接AO，OB．

因?yàn)镾A=AC，SB=BC，所以O(shè)A⊥SC，OB⊥SC．

所以S△SBC=12SC?OB=12×2r?r=r2．

又因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC=SC，OA⊥SC，OA?平面SAC，

所以O(shè)A⊥平面SBC．

所以VS?ABC=14.【答案】2【解析】【分析】本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，掌握正弦定理和正弦函數(shù)的值域是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)sinAsinBcosC+【解答】

解：由已知sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=32sinB，

∴sinAcosC+sinCcosA=32，即sin(A+C)=32，

∵A+B+C=π，

∴sinB=15.【答案】【詳解】(1)因?yàn)?+i所以z=4+7(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程2x所以23+2所以10+3a+b=02a+24=0，解得a

【解析】【分析】(1)利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)模長(zhǎng)運(yùn)算即可；(2)把z=3+2i代入方程化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)相等條件列方程組求實(shí)數(shù)a，b16.【答案】解：(Ⅰ)∵BA·BC=2，cosB=13，

∴c·acosB=2，即ac=6①，

∵b=3，

∴由余弦定理得：b2=a2+c2?2accosB，即9=a2+c2?4，

∴a2+c2=13②，

聯(lián)立①②得：a=3，c=2；

(Ⅱ)【解析】本題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．

(Ⅰ)利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)BA?BC=2，將cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，聯(lián)立即可求出a，c的值；

(Ⅱ)由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinB的值，由c，17.【答案】解：(1)由題意可知，年齡在[40,45]內(nèi)的頻率為P=0.02×故年齡在[40,45]內(nèi)的市民人數(shù)為200×(2)平均數(shù)為22.5×前三組的頻率和為0.01×第四組的頻率為0.04×5=0.2，所以第第80百分位數(shù)為35+0.1(3)易知，第3組的人數(shù)，第4組頻率之比為3:若用分層抽樣的方法在第3、4兩組市民抽取5名參加座談，則應(yīng)從第3，4組中分別抽取3人，2人，記第3組的3名分別為A1，A2，A3，第4組的2名分別為B1，B2，

則從5名中選取2名作重點(diǎn)發(fā)言的所有情況為A1,A2，A1,A3，A1,B1其中第4組的2名B1，B2至少有一名被選中的有：A1,B1，A1,B2，A2所以至少有一人的年齡在[35,40)內(nèi)的概率為710

【解析】詳細(xì)解答和解析過(guò)程見(jiàn)【答案】18.【答案】【詳解】(1)如圖，連接AC，因?yàn)镋為線段BC的中點(diǎn)，AB=a所以AE=12AB+由向量的加法法則得AC=故12AB+(2)由于∠BAD=90°，可得a所以AE2=916×(3)由向量的減法法則得BD=由于∠BAD=90°，可得a得到BD2=b則AE?由上問(wèn)得AE=13

【解析】【分析】(1)利用向量加減法的三角形法則，結(jié)合向量的線性運(yùn)算得到結(jié)果即可．(2)由向量的數(shù)量積定義和向量模的求法求解即可．(3)由向量的數(shù)量積和向量的夾角公式計(jì)算即可．19.【答案】

【詳解】(1)證：∵AD/?/BE，BF//CG，又因?yàn)镋和F粘在一起．∴AD//CG，A，C，G，D四點(diǎn)共面.又∵AB⊥BE，AB⊥BC．∴AB⊥平面BCGE，∵AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE，得證.(2)過(guò)B作BH⊥GC延長(zhǎng)線于H，連結(jié)AH，因?yàn)锳B⊥平面BCGE，所以AB⊥GC而又BH⊥GC，故GC⊥平面HAB，所以AH⊥GC.又因?yàn)锽H⊥GC所以∠BHA是二面角B?CG?A的平面角，而在△BHC中∠BHC=90°，