數(shù)學(xué)第第頁《一元二次方程》因式分解法A卷（基礎(chǔ)）一、選擇題1.一元二次方程x2=x的解為（）A.x1=0，x2=-1 B.x1=x2=1C.x1=0，x2=1 D.x1=x2=0【答案】C【解析】∵x2=x，∴x2-x=0，∴x(x-1)=0，∴x1=0，x2=1，故答案為：C．【知識點】因式分解法.【難度】★【題型】選擇題2.方程4x2-25=0的根是（）A.x=254 B.x=C.x=52 D.x1=-52，x【答案】D【解析】∵4x2-25=0，∴(2x+5)(2x-5)=0，∴x1=-52，x2=故答案為：D．【知識點】因式分解法.【難度】★【題型】選擇題3.若代數(shù)式x（x-1）和3（1-x）的值互為相反數(shù)，則x的值為（）A.1或3 B.-1或-3C.1或-1 D.3或-3【答案】A【解析】∵代數(shù)式x（x-1）和3（1-x）的值互為相反數(shù)，∴x（x-1）+3（1-x）=0，即x（x-1）-3（x-1）=0，∴(x-1)(x-3)=0,∴x1=1，x2=3，故答案為：A．【知識點】因式分解法；相反數(shù).【難度】★【題型】選擇題4.方程2x2=8x的根為（）A.x=4 B.x=0C.x1=0，x2=-4 D.x1=0，x2=4【答案】D【解析】∵2x2=8x，∴2x2-8x=0，∴2x(x-4)=0,∴x1=0，x2=4，故答案為：D．【知識點】因式分解法.【難度】★【題型】選擇題5.解方程3（3x-1）2=2（3x-1）的最適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢.開平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法【答案】D【解析】∵3（3x-1）2=2（3x-1），∴3（3x-1）2-2（3x-1）=0，∴此時選擇因式分解法中的提公因式法來求解最簡便，故答案為：D．【知識點】因式分解法.【難度】★【題型】選擇題二、填空題（x+7）=0的根是___________.【答案】x1=2，x2=-7【解析】∵（x+7）=0，∴=0，=0，∴x1=2，x2=-7，故答案為：x1=2，x2=-7．【知識點】因式分解法.【難度】★【題型】填空題7.一元二次方程2x2-4x=-2的解是____________.【答案】x1=x2=1【解析】∵2x2-4x=-2，∴2x2-4x+2=0，∴2（x2-2x+1）=0，∴x2-2x+1=0，∴（x-1）2=0，∴x1=x2=1，故答案為：x1=x2=1．【知識點】因式分解法.【難度】★【題型】填空題8.若用因式分解法解方程（x+3）（x-2）-x+2=0，則因式分解后的方程為___________.【答案】（x-2）（x+2）=0【解析】∵（x+3）（x-2）-x+2=0，∴（x+3）（x-2）-（x-2）=0.∴（x-2）（x+2）=0.故答案為：（x-2）（x+2）=0．【知識點】因式分解法.【難度】★【題型】填空題三、解答題9.用因式分解法解方程：（1）（2x+3）2-4=0.（2）（x-1）2+2x（x-1）=0.【答案】（1）x1=-52，x2=-1（2）x1=1，x2=13【解析】（1）∵（2x+3）2-4=0，∴（2x+3+2）（2x+3-2）=0，即（2x+5）（2x+1）=0，∴2x+5=0或2x+1=0.∴x1=-52，x2=-1（2）∵（x-1）2+2x（x-1）=0，∴（x-1）（3x-1）=0.∴x-1=0或3x-1=0.∴x1=1，x2=13【知識點】因式分解法.【難度】★【題型】解答題10.小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x-3）=（x-3）2的過程如下：小敏：兩邊同除以（x-3），得3=x-3.∴x=6.小霞：移項，得3（x-3）-（x-3）2=0.提取公因式，得（x-3）（3-x-3）=0．∴x-3=0或3-x-3=0.解得x1=3，x2=0．你認(rèn)為她們的解法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請在框內(nèi)打“×”.并寫出你的解答過程.【答案】小敏和小霞的解法都錯誤.解答過程見解析.【解析】小敏和小霞的解法都錯誤.正確的解答過程如下：移項，得3（x-3）-（x-3）2=0.因式分解，得（x-3）（3-x+3）=0.∴x-3=0或3-x+3=0.解得x1=3，x2=6.【知識點】因式分解法.【難度】★【題型】解答題B卷（鞏固）一、選擇題1.（天津）方程x2+4x+3=0的兩個根為（）A.x1=1，x2=3 B.x1=-1，x2=3C.x1=1，x2=-3 D.x1=-1，x2=-3【答案】D【解析】∵x2+4x+3=0，∴（x+1）（x+3）=0，∴x+1=0或x+3=0.解得x1=-1，x2=-3.故答案為：D.【知識點】因式分解法.【難度】★★【題型】選擇題2.用因式分解法解方程9x2＝（x﹣2）2時，因式分解結(jié)果正確的是（）A．4（2x﹣1）（x﹣1）＝0 B．4（2x+1）（x﹣1）＝0 C．4（2x﹣1）（x+1）＝0 D．4（2x+1）（x+1）＝0【答案】C【解析】∵9x2＝（x﹣2）2，∴9x2﹣（x﹣2）2＝0，∴（3x+x﹣2）（3x﹣x+2）＝0，∴（4x﹣2）（2x+2）＝0，∴4（2x﹣1）（x+1）＝0，故答案為：C.【知識點】因式分解法.【難度】★★【題型】選擇題3.解下列一元二次方程時，最適合用因式分解法的是（）A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2﹣7x＝﹣1 C．（x﹣1）2﹣4x＝2 D．（x﹣3）2﹣16＝0【答案】D【解析】A、x2﹣x﹣1＝0適合用公式法解方程，故本選項不符合題意；B、x2﹣7x＝﹣1適合用公式法解方程，故本選項不符合題意；C、由原方程得到x2﹣6x﹣1＝0，適合用配方法解方程，故本選項不符合題意；D、（x﹣3）2﹣16＝0即為（x﹣3）2﹣42＝0，適合用因式分解法解方程，故本選項符合題意，故答案為：D.【知識點】因式分解法.【難度】★★【題型】選擇題4.將（2x﹣1）2＝10x﹣5轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這兩個方程是（）A．2x﹣1＝0，2x+1＝﹣5 B．2x+1＝5，2x﹣1＝0 C．2x﹣1＝0，2x﹣1＝5 D．2x+1＝0，2x﹣1＝﹣5【答案】C【解析】∵（2x﹣1）2＝10x﹣5，∴（2x﹣1）2﹣5（2x﹣1）＝0，∴（2x﹣1）（2x﹣1﹣5）＝0，∴2x﹣1＝0或2x﹣1﹣5＝0，即2x﹣1＝0或2x﹣1＝5，故答案為：C.【知識點】因式分解法.【難度】★★【題型】選擇題5.已知一個等腰三角形的兩邊長分別是方程x2﹣6x+8＝0的兩個根，則該三角形的周長是（）A．10 B．8 C．8或10 D．6或10【答案】A【解析】∵x2﹣6x+8＝0，∴（x﹣4）（x﹣2）＝0，解得x1＝4，x2＝2，當(dāng)腰是2時，三邊長分別為2，2，4，不能組成三角形；當(dāng)腰是4時，三邊長分別為4，4，2，能組成等腰三角形.∴此等腰三角形的周長是4+4+2＝10．故答案為：A.【知識點】因式分解法；三角形的三邊關(guān)系；等腰三角形.【難度】★★【題型】選擇題二、填空題6.方程（2x+1）2-（x-4）2=0的根為_____________.【答案】x1=1，x2=-5【解析】∵（2x+1）2-（x-4）2=0，∴（2x+1+x-4）（2x+1-x+4）＝0，即（3x-3）（x+5）＝0，解得x1＝1，x2＝-5，故答案為：x1=1，x2=-5.【知識點】因式分解法.【難度】★★【題型】填空題7.類比因式分解法，寫出一個以x為未知數(shù)，以﹣2和4為根的一元二次方程________________．【答案】x2﹣2x﹣8＝0【解析】根據(jù)題意得：（x+2）（x﹣4）＝0，即x2﹣2x﹣8＝0，故答案為：x2﹣2x﹣8＝0.【知識點】因式分解法.【難度】★★【題型】填空題8.一元二次方程-2x2+8x-8=0的根為_________.【答案】x1=x2=2【解析】方程兩邊同除以-2，得x2-4x+4=0.因式分解，得（x-2）2=0.∴x1=x2=2.故答案為：x1=x2=2.【知識點】因式分解法.【難度】★★【題型】填空題9.已知實數(shù)a，b，c，d滿足abcd=ad-bc，若m3【答案】4或-1【解析】∵實數(shù)a，b，c，d滿足abcd=ad-bc，且∴2m2-6m=8，∴2m2-6m-8=0，∴m2-3m-4=0，∴（m-4）（m+1）=0，解得m=4或-1故答案為：4或-1.【知識點】因式分解法；新定義.【難度】★★【題型】填空題10.若三角形的兩邊長分別為5和8，第三邊的長是方程x2-9x+18=0的根，則這個三角形的周長是______.【答案】19【解析】6.∵三角形的兩邊長分別為5和8，∴第三邊的長m的取值范圍為3＜m＜13.∴第三邊的長為6.∴三角形的周長為5+8+6=19.故答案為：19.【知識點】因式分解法；三角形的三邊關(guān)系.【難度】★★【題型】填空題11.已知實數(shù)a≠b，且a，b滿足a2-6a+8=0，b2-6b+8=0.（1）兩根為a，b且關(guān)于x的一元二次方程為_____________.（2）代數(shù)式a2+2【答案】（1）x2-6x+8=0（2）25或【解析】（1）∵a，b滿足a2-6a+8=0，b2-6b+8=0，∴兩根為a，b且關(guān)于x的一元二次方程為x2-6x+8=0.（2）解方程x2-6x+8=0，得x1=2，x2=4.分兩種情況討論：當(dāng)a=2，b=4時，a2+2ab22+2a2+2ab42+2綜上所述，a2+2ab的值為2故答案為：（1）x2-6x+8=0（2）25或4【知識點】因式分解法；二次根式.【難度】★★【題型】填空題12.已知實數(shù)a、b是方程2x2﹣5x﹣3＝0的兩根，a＜b，則點P（a，b）關(guān)于x軸對稱的點Q的坐標(biāo)是_______________．【答案】（-，﹣3）【解析】∵2x2﹣5x﹣3＝0，∴（2x+1）（x﹣3）＝0，∴2x+1＝0，x﹣3＝0，∴x1＝，x2＝3，∵實數(shù)a、b是方程2x2﹣5x﹣3＝0的兩根，a＜b，∴a=-，b=3，∴P（，3），又∵點P（a，b）關(guān)于x軸對稱的點為Q，∴Q（-，﹣3）．故答案為：（-，﹣3）．【知識點】因式分解法；關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)．【難度】★★【題型】填空題三、解答題13.用因式分解法解下列方程：（1）（x-3）2+3-x=0.（2）（x+1）2+4=4（x+1）.【答案】（1）x1=3，x2=4.（2）x1=x2=1.【解析】（1）原方程可化為（x-3）2-（x-3）=0.因式分解，得（x-3）［（x-3）-1］=0，即（x-3）（x-4）=0.∴x-3=0或x-4=0.∴x1=3，x2=4.（2）原方程可化為（x+1）2-4（x+1）+4=0.因式分解，得［（x+1）-2］2=0，即（x-1）2=0.∴x1=x2=1.【知識點】因式分解法．【難度】★★【題型】解答題14.已知關(guān)于x的一元二次方程（a+b）x2-2cx+（a-b）=0，其中a，b，c分別為△ABC的三邊長.（1）如果x=1是方程的一個根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由（2）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.【答案】（1）△ABC是等腰三角形.理由見解析.（2）x1=0，x2=1.【解析】（1）△ABC是等腰三角形.理由如下：∵x=1是方程的一個根，∴（a+b）-2c+（a-b）=0.整理，得a-c=0，即a=c.∴△ABC是等腰三角形.（2）若△ABC是等邊三角形，則a=b=c.∴原方程可化為2ax2-2ax=0.∵a≠0，∴x2-x=0.∴x（x-1）=0.解得x1=0，x2=1.【知識點】因式分解法；等腰三角形的判定．【難度】★★【題型】解答題15.【探究題】為解方程x4-5x2+4=0，我們可以將x2視為一個整體，然后設(shè)x2=y，則x4=y2.原方程可化為y2-5y+4=0.①解得y1=1，y2=4.當(dāng)y=1時，x2=1.∴x=±1.當(dāng)y=4時，x2=4.∴x=±2.∴原方程的解為x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2.根據(jù)上述材料，解答下列問題.（1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，利用_________法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了________的數(shù)學(xué)思想.（2）如果（a2+b2-1）（a2+b2+3）=5，求a2+b2的值.【答案】（1）換元；轉(zhuǎn)化.（2）2.【解析】（1）換元；轉(zhuǎn)化.（2）設(shè)a2+b2=y，則原方程可化為（y-1）（y+3）=5.整理，得y2+2y-8=0.∴（y-2）（y+4）=0.解得y1=-4，y2=2.∵a2+b2不能是負(fù)數(shù)，∴a2+b2=2.【知識點】因式分解法；換元法．【難度】★★【題型】解答題C卷（拓展）一、選擇題1.若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常數(shù)項為0，則兩個根為（）A．﹣1，0 B．﹣1，1 C．﹣1，﹣1 D．0，1【答案】D【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+（m2﹣1）＝0的常數(shù)項為0，二次項系數(shù)不能為0，∴m﹣1≠0且m2﹣1＝0，解得：m＝﹣1，∴原方程可化為﹣2x2+2x＝0，∴x2-x＝0，∴x（x-1）=0，解得：x＝0或1，故答案為：D.【知識點】因式分解法；一元二次方程的概念.【難度】★★★【題型】選擇題2.定義運算：m☆n＝m2+mn﹣n．例如：3☆2＝32+3×2﹣2＝13．則方程x☆2022＝1的根為（）A．x1＝1，x2＝2023 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2023 C．x1＝1，x2＝﹣2023 D．x1＝﹣1，x2＝2023【答案】C【解析】根據(jù)題中的新定義得：x2+2022x﹣2022＝1，∴x2+2022x﹣2023＝0，∴（x﹣1）（x+2023）＝0，∴x﹣1＝0或x+2023＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2023．故答案為：C.【知識點】因式分解法；新定義.【難度】★★★【題型】選擇題二、填空題3.如圖，已知A，B，C是數(shù)軸上異于原點O的三個點，且點O為AB的中點，點B為AC的中點．若點B對應(yīng)的數(shù)是x，點C對應(yīng)的數(shù)是x2﹣3x，則x=____________．【答案】6【解析】∵O是原點，且是AB的中點，∴OA＝OB，∵B點表示的數(shù)是x，∴A點表示的數(shù)是﹣x．∵B是AC的中點，∴AB＝BC，∴（x2﹣3x）﹣x＝x﹣（﹣x），∴x2-6x＝0，∴x（x-6）=0，解得：x1＝0，x2＝6．∵B異于原點，∴x≠0，∴x＝6．故答案為：6．【知識點】因式分解法；數(shù)軸；一元二次方程的運用.【難度】★★★【題型】填空題三、解答題4.閱讀下面的例題：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．解：①當(dāng)x≥0時，原方程可化