河池高三二模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x≤0或x≥2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<3}

B.{x|x≤0}

C.{x|x≥2}

D.{x|0<x≤2}

2.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+1)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[0,2]

C.(-∞,1]∪[1,+∞)

D.R

3.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且z2不為實(shí)數(shù)，則z可能是（）

A.1+i

B.-1+i

C.i

D.-i

4.已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?=5，a?=13，則S??等于（）

A.30

B.40

C.50

D.60

5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且BC=2，則AC的長(zhǎng)度為（）

A.√2

B.√3

C.2√2

D.2√3

6.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的可能值為（）

A.kπ+π/2(k∈Z)

B.kπ-π/2(k∈Z)

C.kπ(k∈Z)

D.kπ+π/4(k∈Z)

7.若函數(shù)f(x)=x3-3x+1在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值分別為M和m，則M-m等于（）

A.4

B.8

C.12

D.16

8.已知圓O的半徑為1，點(diǎn)P在圓外，且|OP|=2，則點(diǎn)P到圓O上的最長(zhǎng)距離為（）

A.1

B.√2

C.3

D.√5

9.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的連線的傾斜角為（）

A.arctan(1/2)

B.arctan(2)

C.π/4

D.π/3

10.已知拋物線y2=2px的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則p的值為（）

A.1

B.2

C.4

D.8

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的是（）

A.y=-2x+1

B.y=x2

C.y=1/x

D.y=sin(x)

2.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=162，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?等于（）

A.2×3^(n-1)

B.3×2^(n-1)

C.2×3^(n+1)

D.3×2^(n+1)

3.已知函數(shù)f(x)=cos(2x+φ)的圖像向右平移π/4個(gè)單位后與原圖像重合，則φ的可能值為（）

A.kπ/2(k∈Z)

B.kπ/4(k∈Z)

C.kπ(k∈Z)

D.kπ/8(k∈Z)

4.在△ABC中，若角A=60°，角C=45°，且AC=√3，則△ABC的面積等于（）

A.1/2

B.√2/2

C.√3/2

D.√3

5.已知直線l?:ax+y-1=0與直線l?:x+by+2=0互相垂直，則ab的值等于（）

A.-1

B.1

C.2

D.-2

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x2-ax+3在x=1時(shí)取得最小值，則a的值為________。

2.已知向量a=(1,2)，b=(-3,4)，則向量a+b的坐標(biāo)為________。

3.不等式|2x-1|<3的解集為________。

4.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)為________。

5.某校高三年級(jí)有1000名學(xué)生，為了解學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中視力不良的有20人，則該年級(jí)視力不良的估計(jì)人數(shù)為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：lim(x→∞)[(3x2-2x+1)/(x2+4x-5)]

2.解方程：2^(x+1)+2^(x-1)=8

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，且BC=10，求AC的長(zhǎng)度。

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。求函數(shù)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

5.計(jì)算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.D{x|0<x≤2}。解析：A∩B即同時(shí)滿足1<x<3和x≤0或x≥2，顯然只有0<x≤2符合。

2.C{x|x≥2或x≤0}。解析：x2-2x+1=(x-1)2≥0，定義域?yàn)镽。由x2-2x+1>0得(x-1)2>0，即x≠1，故定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞)。

3.B-1+i。解析：|z|=1表示z在復(fù)平面單位圓上。z2為實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)z為純虛數(shù)或z=±1。排除A(1+i,z2=2i),C(i,z2=-1),D(-i,z2=-1)。B(-1+i,z2=(-1+i)2=-1-2i+1=-2i)不為實(shí)數(shù)。

4.C50。解析：設(shè)首項(xiàng)a?，公差d。a?=a?+2d=5,a?=a?+6d=13。解得a?=1,d=2。S??=10/2(a?+a??)=5(1+1+9d)=5(1+1+18)=50。

5.A√2。解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC。設(shè)AC=b。b/sin60°=2/sin45°。b=2√2*(√3/2)=√6。由余弦定理b2=a2+c2-2ac*cosB。(√6)2=a2+22-2*a*2*cos45°。6=a2+4-4a*√2/2。6=a2+4-2√2a。a2-2√2a-2=0。a=(2√2±√((2√2)2-4*1*(-2)))/2=√2±√(8+8)/2=√2±4/2=√2±2。若AC=√2+2，則BC=2，AB=√6，滿足。若AC=√2-2，則BC=2，AB=√6，滿足。故AC=√2。

6.Akπ+π/2(k∈Z)。解析：f(x)=sin(2x+φ)。圖像關(guān)于y軸對(duì)稱即f(-x)=f(x)。sin(-2x+φ)=sin(2x+φ)。-sin(2x-φ)=sin(2x+φ)。2x-φ=2x+φ+2kπ或2x-φ=π-(2x+φ)+2kπ。第一個(gè)等式化簡(jiǎn)得-2φ=2kπ，φ=-kπ。第二個(gè)等式化簡(jiǎn)得4x=π-2kπ，x=(π-2kπ)/4。此等式對(duì)任意x不成立。故需φ=-kπ+π/2，即φ=kπ+π/2(k∈Z)。

7.D16。解析：f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，x=±1。f(-2)=-1,f(-1)=1,f(0)=1,f(1)=-1,f(2)=3。最大值M=f(2)=3，最小值m=f(-1)=-1。M-m=3-(-1)=4。(修正：根據(jù)f(1)=-1,f(2)=3，最大值M=f(2)=3，最小值m=f(1)=-1。M-m=3-(-1)=4。原參考答案計(jì)算有誤，此處按正確過程計(jì)算)。重新計(jì)算：f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得x=±1。f(-2)=-1+6+1=6。f(-1)=-1-3+1=-3。f(0)=-1+0+1=0。f(1)=-1-3+1=-3。f(2)=-1+12+1=12。最大值M=f(2)=12，最小值m=f(-1)=-3。M-m=12-(-3)=15。再次核對(duì)：f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。駐點(diǎn)x=-1,x=1。端點(diǎn)x=-2,x=2。f(-2)=(-2)3-3(-2)+1=-8+6+1=-1。f(-1)=(-1)3-3(-1)+1=-1+3+1=3。f(0)=03-3(0)+1=1。f(1)=13-3(1)+1=1-3+1=-1。f(2)=23-3(2)+1=8-6+1=3。最大值M=f(2)=3，最小值m=f(-1)=3。M-m=3-3=0。重新審視題目和過程：題目問的是最大值與最小值之差M-m。根據(jù)計(jì)算，M=3，m=3。所以M-m=3-3=0。原參考答案的M=12,m=-3,M-m=15也是通過取錯(cuò)端點(diǎn)或駐點(diǎn)值得到的。題目S?的描述可能不清晰，但基于f(x)=x3-3x+1直接計(jì)算極值和端點(diǎn)值，最大最小值均為3，差為0。這與參考答案D=16矛盾?？赡茴}目本身或其標(biāo)準(zhǔn)答案有誤。若按題目描述計(jì)算，最差情況答案應(yīng)為0。)

8.C3。解析：圓心O到點(diǎn)P的距離為|OP|=2，圓半徑為1。點(diǎn)P到圓上任意一點(diǎn)A的距離的最小值為|OP|-半徑=2-1=1。最大值為|OP|+半徑=2+1=3。

9.Barctan(2)。解析：直線斜率k=Δy/Δx=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。傾斜角α是直線斜率的反正切值，即α=arctan(-1)。由于斜率為負(fù)，傾斜角在第二象限，α=π-π/4=3π/4。但通常指銳角部分或主值范圍[0,π)，則α=π-π/4=3π/4。若題目允許π到2π范圍，則α=3π/4。若指銳角，則α=π/4。若指主值范圍[0,π)，則α=3π/4。題目未明確范圍，按常用定義α=3π/4。但arctan(2)約等于63.4°，與-1的絕對(duì)值45°(arctan(1))不同。若理解為求斜率的絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的角，則傾斜角為arctan(|k|)=arctan(1)=π/4。這與B選項(xiàng)不符。題目可能有歧義。若理解為直線l_AB的斜率，k=-1，傾斜角α=3π/4。若理解為直線斜率的絕對(duì)值，傾斜角α=π/4。若理解為l_AB的傾斜角，α=3π/4。選項(xiàng)Barctan(2)對(duì)應(yīng)斜率2。)

10.B2。解析：拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(F,0)=(p/2,0)。準(zhǔn)線方程為x=-p/2。焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為|(p/2)-(-p/2)|=|p|=p/2。題目說距離為2，所以p/2=2，解得p=4。(修正：標(biāo)準(zhǔn)拋物線y2=2px焦點(diǎn)F(p/2,0)，準(zhǔn)線x=-p/2。焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為|(p/2)-(-p/2)|=|p|=p。題目說距離為2，所以p=2。)

(注：第7題計(jì)算結(jié)果與選項(xiàng)D矛盾，第9題題目表述可能不清晰，第10題解析修正為p=2。)

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,C。解析：A.y=-2x+1，斜率k=-2<0，在(0,1)上單調(diào)遞減。B.y=x2，導(dǎo)數(shù)y'=2x，在(0,1)上y'>0，單調(diào)遞增。C.y=1/x，導(dǎo)數(shù)y'=-1/x2<0，在(0,1)上單調(diào)遞減。D.y=sin(x)，導(dǎo)數(shù)y'=cos(x)，在(0,1)上cos(x)可能為正也可能為負(fù)，不單調(diào)。

2.A,C。解析：設(shè)首項(xiàng)a?，公差q。a?=a?q=6。a?=a?q3=162。q3=162/6=27。q=3。a?=6/q=6/3=2。a?=a?q??1=2*3??1=2*3^(n-1)。所以A和C正確。

3.A,B,C。解析：f(x)=cos(2x+φ)向右平移π/4個(gè)單位得f(x-π/4)=cos(2(x-π/4)+φ)=cos(2x-π/2+φ)。圖像重合即f(x-π/4)=f(x)。cos(2x-π/2+φ)=cos(2x+φ)。利用cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ。cos(2x)cos(-π/2+φ)-sin(2x)sin(-π/2+φ)=cos(2x)cos(φ)+sin(2x)sin(φ)。0*cos(φ)+1*sin(φ)=cos(φ)*cos(2x)+sin(φ)*sin(2x)。sin(φ)=cos(φ)*cos(2x)+sin(φ)*sin(2x)。sin(φ)=cos(φ)*cos(2x)+sin(φ)*cos(2x)。sin(φ)=cos(2x)(cos(φ)+sin(φ))。由于此等式對(duì)任意x成立，必須cos(φ)+sin(φ)=0。sin(φ)=-cos(φ)。tan(φ)=-1。φ=kπ+3π/4(k∈Z)。也可以通過平移變換直接判斷：若f(x-π/4)=f(x)，則2(x-π/4)+φ=2x+φ+2kπ。2x-π/2+φ=2x+φ+2kπ。-π/2=2kπ。k=0。φ=kπ+π/2。φ=0(k=0)或φ=π/2(k=0)?；颚?kπ+3π/4(k∈Z)。φ=3π/4(k=0)?；颚?kπ+7π/4(k∈Z)。檢查選項(xiàng)：A.kπ+π/2。當(dāng)k=0時(shí)，φ=π/2。B.kπ/4。當(dāng)k=2時(shí)，φ=π/2。C.kπ。當(dāng)k=0時(shí)，φ=0。D.kπ/8。無整數(shù)k使得φ=π/2或0。所以φ=kπ+π/2(k∈Z)或φ=kπ+3π/4(k∈Z)。選項(xiàng)A(π/2)和C(0)都在此范圍內(nèi)。選項(xiàng)B(π/2)也在范圍內(nèi)。選項(xiàng)D不在。故正確選項(xiàng)為A,B,C。

4.A或B。解析：設(shè)BC=a=10,CA=b,AB=c。A=60°,B=45°,C=180°-60°-45°=75°。由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC。10/sin60°=b/sin45°=c/sin75°。b=10*(√2/2)/(√3/2)=10√2/√3=10√6/3。c=10*(√6+√2)/4/(√3/2)=10(√6+√2)/4*2/√3=5(√6+√2)/√3=5√2+5√3。面積S=1/2*a*b*sinC=1/2*10*(10√6/3)*sin75°=50√6/3*(√6+√2)/4=(50/12)*(6+√12)=(50/12)*(6+2√3)=(25/6)*(3+√3)=75/6+25√3/6=25/2+25√3/6。選項(xiàng)中無此值?？赡茴}目或選項(xiàng)有誤。若題目意為求邊長(zhǎng)比，b/a=(10√6/3)/10=√6/3。c/a=(5√2+5√3)/10=√2/2+√3/2。若題目意為求某角余弦，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)。(10√6/3)2+(5√2+5√3)2-102/2*(10√6/3)*(5√2+5√3)。計(jì)算復(fù)雜。檢查題目條件是否有誤。題目條件A=60°,B=45°,BC=10?？汕驛C=√6或√2+√6。若求△ABC面積，S=1/2*BC*AC*sinB。S=1/2*10*(√6)*(√2/2)=5√3。S=1/2*10*(√2+√6)*(√2/2)=5*(√2+√6)*√2/4=5*(2+√12)/4=5*(2+2√3)/4=5*(1+√3)/2=5/2+5√3/2。選項(xiàng)中無此值。若題目意圖是求面積S的值，則題目或選項(xiàng)有誤。若題目意圖是求AC的長(zhǎng)度，AC=√6或√2+√6。選項(xiàng)中無此值。題目可能存在表述或選項(xiàng)設(shè)置問題。若必須選擇，根據(jù)計(jì)算過程，涉及到的值有AC=√6,AC=√2+√6,S=5√3,S=5/2+5√3/2。)

5.ab=-1。解析：兩直線垂直即斜率乘積為-1。l?:ax+y-1=0，斜率k?=-a。l?:x+by+2=0，斜率k?=-1/b。k?*k?=(-a)*(-1/b)=a/b。a/b=-1。ab=-1。(若b=0，l?垂直于x軸，l?斜率k?=-a，需k?垂直x軸即-a=0，a=0。此時(shí)ab=0*0=0。但題目通常假設(shè)系數(shù)不全為0。)

三、填空題答案及解析

1.a=4。解析：f(x)=x2-ax+3。頂點(diǎn)x=-b/2a=-(-a)/2=1/2。由題意x=1時(shí)取得最小值，說明頂點(diǎn)在x=1處，即1=1/2，解得a=4。驗(yàn)證：f(1)=12-4*1+3=0。f'(x)=2x-a，f'(1)=2*1-4=-2<0，在x=1處確為極小值點(diǎn)。

2.(-2,6)。解析：a+b=(1+(-3),2+4)=(-2,6)。

3.(-1,2)。解析：|2x-1|<3。-3<2x-1<3。-3+1<2x<3+1。-2<2x<4。-1<x<2。

4.(2,-3)。解析：圓方程x2+y2-4x+6y-3=0。配方：(x2-4x+4)+(y2+6y+9)=3+4+9。(x-2)2+(y+3)2=16。圓心為(2,-3)，半徑r=√16=4。

5.200。解析：抽樣比=100/1000=1/10。估計(jì)總體的數(shù)量=樣本數(shù)量*抽樣比=100*(1/10)=10。視力不良的估計(jì)人數(shù)=視力不良的樣本數(shù)*抽樣比=20*(1/10)=2。該年級(jí)視力不良的估計(jì)人數(shù)=總?cè)藬?shù)*視力不良的估計(jì)比例=1000*(20/100)=1000*0.2=200。(修正：更簡(jiǎn)潔的理解是，樣本中視力不良的比例是20/100=1/5，因此估計(jì)總體中視力不良的比例也是1/5。估計(jì)人數(shù)=總?cè)藬?shù)*比例=1000*(1/5)=200。)

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：lim(x→∞)[(3x2-2x+1)/(x2+4x-5)]=lim(x→∞)[3-2/x+1/x2/1+4/x-5/x2]=3/1=3。

2.解：2^(x+1)+2^(x-1)=8。2*2^x+1/2*2^x=8。2^(x+1)+2^(x-1)=2^x*2+2^x/2=8。2^(x+1)+2^(x-1)=2^x*(2+1/2)=8。2^x*5/2=8。2^x=8*2/5=16/5。2^x=16/5。x=log?(16/5)=log?(16)-log?(5)=4-log?(5)。

3.解：由正弦定理a/sinA=c/sinC。設(shè)BC=a=10,CA=b,AB=c。A=60°,B=45°,C=75°。b/sin45°=10/sin60°。b=10*(√2/2)/(√3/2)=10√2/√3=10√6/3。AC的長(zhǎng)度為10√6/3。

4.解：f(x)=x3-3x2+2。f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0，3x(x-2)=0。駐點(diǎn)x=0,x=2。f(0)=2。f(2)=8-12+2=-2。端點(diǎn)x=-2,x=3。f(-2)=-8-12+2=-18。f(3)=27-27+2=2。比較各函數(shù)值：f(-2)=-18,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2。最大