PAGEPAGE１競賽試題1一、填空：1．若是上的連續(xù)函數(shù)，則a=。2．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為。3．4．由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點處的指向外側(cè)的單位法向量為5．設(shè)函數(shù)由方程所確定，則二、選擇題：設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，并且，則當(dāng)時，該函數(shù)在點處微分dy是的（）（A）等價無窮??；（B）同階但不等價的無窮?。唬–）高階無窮?。唬―）低階無窮小。設(shè)函數(shù)f(x)在點x=a處可導(dǎo)，則在點x=a處不可導(dǎo)的充要條件是（）（A）f(a)=0，且；（B）f(a)≠0，但；（C）f(a)=0，且；（D）f(a)≠0，且。曲線（）（A）沒有漸近線；（B）有一條水平漸近線和一條斜漸近線；（C）有一條鉛直漸近線；（D）有兩條水平漸近線。4．設(shè)均為可微函數(shù)，且。已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項中的正確者為（）（A）若，則；（B）若，則；（C）若，則；（D）若，則。5．設(shè)曲面的上側(cè)，則下述曲面積分不為零的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。三、設(shè)函數(shù)f(x)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，，求。四、設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，求。五、設(shè)n為自然數(shù)，計算積分。六、設(shè)f(x)是除x=0點外處處連續(xù)的奇函數(shù)，x=0為其第一類跳躍間斷點，證明是連續(xù)的偶函數(shù)，但在x=0點處不可導(dǎo)。證明：七、設(shè)f(u,v)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，，證明：。八、設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，在點u=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，求：。九、計算，其中L為正向一周。十、⑴證明：當(dāng)充分小時，不等式成立。 ⑵設(shè)，求。十一、設(shè)常數(shù)，證明：當(dāng)x>0且x≠1時，。證明：十二、設(shè)勻質(zhì)半球殼的半徑為R，密度為μ，在球殼的對稱軸上，有一條長為l的均勻細棒，其密度為ρ。若棒的近殼一端與球心的距離為a，a>R，求此半球殼對棒的引力。競賽試題2一、選擇題1.下列命題中正確的命題有幾個？（）（1）無界變量必為無窮大量；(2)有限多個無窮大量之和仍為無窮大量；（3）無窮大量必為無界變量；(4)無窮大量與有界變量之積仍為無窮大量.(A)1個；(B)2個；(C)3個；(D)4個.2.設(shè)，則是間斷點的函數(shù)是（）(A)；(B)；(C)；(D)..3.設(shè)為在上應(yīng)用拉格朗日中值定理的“中值”，則（）(A)1；(B)；(C)；(D).4.設(shè)連續(xù)，當(dāng)時，與為等價無窮小，令，,則當(dāng)時，的（）(A)高階無窮?。?(B)低階無窮小； (C)同階無窮小但非等價無窮??；(D)等價無窮小.5.設(shè)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足則在點處（）(A)取極大值； (B)取極小值；(C)無極值； (D)不能確定是否有極值.6.設(shè)在連續(xù)，且導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則有（）(A)1個極小值點與2個極大值點，無拐點；(B)2個極小值點與1個極大值點，1個拐點； (C)2個極小值點與2個極大值點,無拐點；(D)2個極小值點與2個極大值點，1個拐點.7.設(shè)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則（）(A)； (B)；(C)； (D)0.8.設(shè)任意項級數(shù)條件收斂，將其中的正項保留負(fù)項改為0所組成的級數(shù)記為,將其中的負(fù)項保留正項改為0所組成的級數(shù)記為，則與（）(A)兩者都收斂；(B)兩者都發(fā)散； (C)一個收斂一個發(fā)散； (D)以上三種情況都可能發(fā)生.二、設(shè)在區(qū)間連續(xù)，,試解答下列問題：（1）用表示；（2）求；（3）求證：；（4）設(shè)在內(nèi)的最大值和最小值分別是,求證：.三、求曲線所圍成的平面圖形的面積.四、設(shè)曲面為曲線()繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的下側(cè)，計算曲面積分五、設(shè)冪級數(shù),當(dāng)時，且;（1）求冪級數(shù)的和函數(shù)；（2）求和函數(shù)的極值..六、設(shè)函數(shù)可微，,且滿足求.七、如圖所示，設(shè)河寬為，一條船從岸邊一點出發(fā)駛向?qū)Π?，船頭總是指向?qū)Π杜c點相對的一點。假設(shè)在靜水中船速為常數(shù)，河流中水的流速為常數(shù)，試求船過河所走的路線(曲線方程)；并討論在什么條件下（1）船能到達對岸；（2）船能到達點.競賽試題3一、選擇題1. 設(shè)，且，則（）(A)存在且等于零; (B)存在但不一定等于零；(C)不一定存在； (D)一定不存在.2. 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，的原函數(shù)，則（）(A)當(dāng)為奇函數(shù)時,必為偶函數(shù)；(B)當(dāng)為偶函數(shù)時,必為奇函數(shù)；(C)當(dāng)為周期函數(shù)時,必為周期函數(shù)；(D)當(dāng)為單調(diào)增函數(shù)時,必為單調(diào)增函數(shù).3. 設(shè)，在內(nèi)恒有，記，則有（）(A); (B); (C); (D)不確定.4. 設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，，當(dāng)時，是同階無窮小，則（B）(A)4； (B)3； (C)2； (D)1.5. 設(shè)，則在點（）(A)不連續(xù)； (B)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在； (C)可微； (D)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微.6. 設(shè)，則以向量、為邊的平行四邊形的對角線的長度為（）(A)； (B)3,11； (C)； (D).7. 設(shè)是包含原點在內(nèi)的兩條同向閉曲線，的內(nèi)部，若已知（k為常數(shù)），則有（）(A)等于k； (B)等于；(C)大于k； (D)不一定等于k，與L2的形狀有關(guān).8. 設(shè)在處收斂，則在處（）二、設(shè)，試確定、的值，使都存在.三、設(shè)的一個原函數(shù)，且，求.四、設(shè)，S為的邊界曲面外側(cè)，計算五、已知，，，…，，….求證：（1）數(shù)列收斂；（2）的極限值a是方程的唯一正根.六、設(shè)在單位圓上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上取值為零，求證：,其中D為圓環(huán)域：七、有一圓錐形的塔，底半徑為R，高為，現(xiàn)沿塔身建一登上塔頂?shù)臉翘?，要求樓梯曲線在每一點的切線與過該點垂直于平面的直線的夾角為，樓梯入口在點,試求樓梯曲線的方程.競賽試題4一．設(shè)函數(shù)由方程確定，試求（10分）二．若，試確定常數(shù)的值。（10分）三．（10分）四．設(shè)一階連續(xù)可導(dǎo)，且=0，求證：至少存在一個，使．（10分）五．設(shè)利用導(dǎo)數(shù)證明：（15分）六．設(shè)，且，當(dāng)時，有，試求。（15分）七．假設(shè)曲線：（0）、軸和所圍成的平面區(qū)域被曲線：分為面積相等的的兩部分，其中是大于零的常數(shù)，試確定的值。（15分）八．已知函數(shù)在[0,1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得；(7分)存在兩個不同的點，，使得(8分)解答提示:一.x=0,時y=1兩邊對x求導(dǎo),再將x=0,y=1代入即可.二.,且，故必有：.再用洛必達法則推出a=1,c=1/2三.作變換即可四.構(gòu)造輔助函數(shù),在區(qū)間[0，1]應(yīng)用羅爾中值定理.五.構(gòu)造輔助函數(shù),證明其在(0,+∞)內(nèi)只有一個極小值點,故對一切都有：=＞0六.由，知即解出代入初始條件即得（）七.先求出兩條曲線交點的橫坐標(biāo)積分=又,由知,八.(1)構(gòu)造輔助函數(shù)，在[0，1]上應(yīng)用零點存在定理即可.（2）利用(1)的結(jié)果,分別在[0,]和上對應(yīng)用拉格朗日中值定理即可.競賽試題5一、計算題1．求2．求3．求p的值，使4．設(shè)，，且，求的表達式5．計算，其中S為圓柱面，（0z1）二、設(shè)求（1）（2）三、有一張邊長為的正方形紙（如圖），、分別為、的中點，為的中點，現(xiàn)將紙卷成圓柱形，使與重合，與重合，并將圓柱垂直放在xoy平面上，且B與原點重合，D落在軸正向上，此時，求：（1）通過，兩點的直線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程；（2）此旋轉(zhuǎn)曲面、xoy平面和過點垂直于軸的平面所圍成的立體體積。四、求函數(shù)在的最大值、最小值。ACBACBDE六、（滿分15分）證明：，競賽試題61．計算，（a>0，b>0）2.設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)滿足，，n=1，2，3…，求此冪級數(shù)的和函數(shù)。解方程由3.已知二階可導(dǎo)，且，，（1）證明，（2）若，證明4．求5．設(shè)，求6．，（）設(shè)函數(shù)滿足方程，，，求的極值。8.證明當(dāng)時，9.求10．設(shè)，求a，b的值。11.設(shè)，求12.某水庫的泄洪口為圓形，半徑為1米，現(xiàn)有一半徑為2米的閘門懸于泄洪口的正上方（如圖）問閘門下降多少米時，泄洪口被蓋住一半？13.已知是[0，1]上二階可導(dǎo)函數(shù)，且，，證明：使得。2米1米2米1米競賽試題7一．選擇1．函數(shù)在點處連續(xù)是它在該點偏導(dǎo)數(shù)存在的：A、必要而非充分條件；B、充分而非必要條件；C、充分必要條件；D、既非充分又非必要條件。2．設(shè)，則=A、B、C、D、3．曲線弧上的曲線積分和上的曲線積分有關(guān)系：A、B、C、D、4．設(shè)其中D是由x=0,y=0,,x+y=1所圍成的區(qū)域，則I1，I2，I3的大小順序是A、I1＜I2＜I3;B、I3＜I2＜I1;C、I1＜I3＜I2;D、I3＜I1＜I2.二、填空題5．設(shè)，則=__________。6．函數(shù)在點(0，)處沿軸負(fù)向的方向?qū)?shù)是__________。7．設(shè)C表示橢圓，其方向為逆時針方向，則曲線積分_________。8．設(shè)，則I=________________。三、計算9．求極限。函數(shù)由方程所確定，求。求函數(shù)的極大值點或極小值點。12．設(shè)閉區(qū)域為D上的連續(xù)函數(shù)，且求計算二重積分，其中D是由拋物線及直線y=x+4所圍成的區(qū)域。計算I=2yzdv,其中Ω是由x2+z2=1,y=0,y=1所圍的位于z≥0部分的立體。已知L是由所確定的平面域的邊界線，求。計算曲線積分，式中L是正向圓周四、證明題17．試證曲面的切平面與三個坐標(biāo)面所圍四面體的體積為常數(shù)。證明：曲面上點處的切平面法向量競賽試題8一．填空題1若，試確定常數(shù)2．設(shè)，且，當(dāng)時，有，則——3．設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，，當(dāng)時，是同階無窮小，則——4．設(shè)的一個原函數(shù)，且，則=——5．已知當(dāng)時，的導(dǎo)數(shù)與為等價無窮小，則=——6．設(shè)是微分方程的滿足，的解，則=——7．設(shè)為在上應(yīng)用拉格朗日中值定理的“中值”，則——8．曲線所圍成的平面圖形的面積是——9.求的導(dǎo)數(shù)。10.求極限。二．計算題1.求2.設(shè)f(x)在x0處連續(xù)。證明：在x0的某鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)，f(x)有界。3.設(shè)y=ln(secx+tgx),求4．設(shè)在區(qū)間連續(xù)，,試解答下列問題：（1）用表示；（2）求；（3）求證：；（4）設(shè)在內(nèi)的最大值和最小值分別是,求證：.5．如圖所示，設(shè)河寬為，一條船從岸邊一點出發(fā)駛向?qū)Π?，船頭總是指向?qū)Π杜c點相對的一點。假設(shè)在靜水中船速為常數(shù)，河流中水的流速為常數(shù)，試求船過河所走的路線(曲線方程)；并討論在什么條件下（1）船能到達對岸；（2）船能到達點.答案一．填空題1.a=1,c=1/22（）3．k=3