燕山大學(xué)本科生畢業(yè)論文-PAGEII--PAGEIII-拉格朗日插值法的應(yīng)用研究摘要本文的主要內(nèi)容是拉格朗日插值法的一些簡單應(yīng)用，重點問題是在[a，b]中存在一個連續(xù)的函數(shù)f（x），但其表達(dá)式過于復(fù)雜。目前我們想用已知的信息得到一個相對簡易的函數(shù)p（x）用它來近似f（x），本文簡要介紹了拉格朗日插值法在實際生產(chǎn)中的應(yīng)用，采用拉格朗日插值法解決了蓄水存儲和軌道測量等問題。本文說明了如何用拉格朗日插值法求解不規(guī)則表面的面積、不規(guī)則圖形的體積問題。本文從介紹拉格朗日插值公式入手，介紹了拉格朗日插值公式的證明思路，其中包括給讀者演示的方法，對于運用層面的具體步驟，計算高次函數(shù)的表達(dá)式的具體過程。最后介紹了牛頓插值法和分段線性插值法，改善了拉格朗日插值法的不足。關(guān)鍵詞：插值方法；表面面積；圖形體積；拉格朗日插值法證明思路目錄第一章緒論 1第二章拉格朗日插值法 22.1關(guān)于拉格朗日插值法的發(fā)展歷程 22.2拉格朗日插值公式的證明思路 2第三章拉格朗日插值法在不同領(lǐng)域的應(yīng)用 43.1在實際領(lǐng)域中的應(yīng)用 43.2在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用 63.3在工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用 12第四章使用拉格朗日插值法求解平面圖形面積 154.1關(guān)于平面圖形的面積問題 154.2關(guān)于立體圖形的體積問題 19第五章其他插值法 215.1牛頓插值 215.2分段線性插值 21結(jié)論 23參考文獻(xiàn) 25-PAGE26--PAGE16-第一章緒論伴隨著人類文明、科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，拉格朗日插入法在現(xiàn)實的工業(yè)、生活和高級領(lǐng)域體現(xiàn)的越來越重要。特別是隨著其在天文領(lǐng)域、防衛(wèi)領(lǐng)域、能源消耗、大數(shù)據(jù)、人工智能等領(lǐng)域的切實應(yīng)用越來越多，拉格朗代插入法作為一種高效、準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)處理方法備受關(guān)注。在十八世紀(jì)，著名法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗代發(fā)明了一種針對多項式的插值方法，即為今日我們使用的拉格朗日插值法。重點解決的難題為:一個函數(shù)f(x)存在，并且在區(qū)間[a,b]連續(xù)，其表達(dá)式查找困難，亦或是只能以非常繁瑣的方式表達(dá)。此時，我們想用已知的信息得到一個相對簡易的函數(shù)p（x）用它來近似f（x）。這就是拉格朗日插值法所解決的主要問題。它作為一種比較陳舊但簡單而實用的解決這些問題的方法。諸如，能量的最小化問題等。在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法被用作專門解決多項式的插值方法。在大量的具體問題中，函數(shù)可以顯用來示特定的內(nèi)部關(guān)系和規(guī)則，而許多函數(shù)只有在大量的探索或者細(xì)致的觀察和計算之后才能得出。比如，現(xiàn)在需要測量一個實際生活中的具體變量，假設(shè)我們從不同的角度，可以得到與之對應(yīng)的函數(shù)大小。此時可以利用拉格朗日插值，求得一個與我們得到的函數(shù)大小完全對應(yīng)的多項式，它就是由各觀測點所觀察的值所組成的。這個特殊的多項式被叫做拉格朗日多項式，又叫拉格朗日插值多項式。從數(shù)學(xué)上講，拉格朗日插值法能夠使用一個唯一的多項式來描述一個在二維平面上給出通過若干已知點的圖像。英國數(shù)學(xué)家愛德華·沃林最先發(fā)現(xiàn)這種特殊的方法，過了短暫的一段時間之后，在1783年，也發(fā)現(xiàn)了這種神奇的方法。自此之后，直到1795年，拉格朗日在他的著作《》中提到了這種特殊的插值方法，他的說法最被大眾接受和認(rèn)可，所以我們將這種方法命名為拉格朗日插值法。作為一種非常典型的、被用作求解于多項式、應(yīng)用范圍最廣的插值方法，拉格朗日插值法無疑是非常優(yōu)秀的插值方法?，F(xiàn)實中會遇到很多情況：表達(dá)式找不準(zhǔn)，有的數(shù)據(jù)表現(xiàn)的非常分散。因此我們需要對應(yīng)的近似表達(dá)式以此來優(yōu)化數(shù)據(jù)，插值法的作用也就是在此。我將從具體的例子出發(fā)，簡要闡述它的基本原理，才能讓讀者對拉格朗日插值法及其應(yīng)用有更清晰的理解。第二章拉格朗日插值法2.1關(guān)于拉格朗日插值法的發(fā)展歷程最先發(fā)現(xiàn)拉格朗日插值法的其實是數(shù)學(xué)家(2-4)2.2拉格朗日插值公式的證明思路如何證明拉格朗日插值公式？在觀察(2-1)之后很容易聯(lián)想到一個方法：對于一個拉格朗日插值公式，我們能否通過求方程組的解的方法去證明它？顯而易見，這種方法是可行的。第一步，先將的表達(dá)式設(shè)出來，我們只需保證它的次數(shù)小于等于n即可。的表達(dá)式為 （2-5）通過的表達(dá)式可求出一個關(guān)于的方程組： c0+計算出此方程組的系數(shù)行列式為 （2-7）所以有 （2-8）已知互不相同，即，易得,以此可以求出方程組的解的個數(shù)：有唯一解，且不都為零，接下來去求解方程組，得到的具體數(shù)值之后，可以以此來證明公式。具體的推導(dǎo)過程本文不加以闡述。除了上述的常規(guī)方法，還有已知更簡便的方法：利用一次函數(shù)，從二次函數(shù)的角度解決問題，這種方法算是慢慢的逼近求解。這種方法本文未詳細(xì)展開說明，這種方法更直接、計算也沒有那么的復(fù)雜，不失為一種更好的證明思路。這一章重點介紹了拉格朗日插值公式的發(fā)展歷程，除此之外對于這個公式的具體證明思路我們也展開了探討：主要說了兩種思路，其中對于常規(guī)的方法我們做了詳細(xì)的闡述。其實并不只有本文探討了證明思路，很多文章中都有很詳細(xì)的說明，在這里推薦楊軍和房亞姿老師發(fā)表的文獻(xiàn)，他兩的文章比較適合新接觸拉格朗日插值公式的同學(xué)。他們的文字簡單易懂，寫的非常有水平。關(guān)于拉格朗日插值法的定義本文不再多贅述，相關(guān)部分可以拜讀蘇正君老師的第三章拉格朗日插值法的應(yīng)用3.1在實際領(lǐng)域中的應(yīng)用在實際領(lǐng)域中，對于不同的實際問題，有時候需要我們對具體問題進(jìn)行計算，來達(dá)到預(yù)知結(jié)果或者解決問題的目的。眾所周知，生活中絕大部分的數(shù)量關(guān)系都可以用y=fx這樣的函數(shù)關(guān)系式來說明?？墒怯袝r我們沒有精確的函數(shù)關(guān)系式,如果函數(shù)的表達(dá)式特別長，實際的利用價值也不大。所以構(gòu)造一個計算更加簡便的函數(shù)是非常有必要的。同時這個多項式又能夠在一定程度上實現(xiàn)替代fx的效果，最終幫助處理實際領(lǐng)域中的相關(guān)問題例1：設(shè)fx為一工程的相關(guān)模型，觀測數(shù)值記錄在表3-1表3-1工程觀察值列表x12345y459712現(xiàn)在需求。解：首先構(gòu)造一個簡單的多項式函數(shù)，用來近似替代，主要原因是題中未明確給出的具體函數(shù)關(guān)系式根據(jù)拉格朗日插值法可構(gòu)造一個次數(shù)為四的多項式：此多項式的基函數(shù)如下， （3-1） （3-2） （3-3） （3-4） （3-5）將上述式子代入拉格朗日插值公式，可得QUOTEfx， （3-6）在x=0時取得，所以有所以答案為137。由此可見，對于比較離散的數(shù)據(jù)，拉格朗日插值法是一種數(shù)據(jù)利用率極高的方法，尤其在不明確關(guān)系式的時候，這種方法往往有非常顯著的作用。運用拉格朗日插值法計算時需要按以下方式來計算：將對應(yīng)的代入對應(yīng)的基函數(shù)。QUOTEli求解的具體關(guān)系式。求需要求的函數(shù)值。除此之外還有一個情景：表3-2五個水泥生產(chǎn)廠商的產(chǎn)量與生產(chǎn)費資料對應(yīng)表廠名甲乙丙丁產(chǎn)量（噸）220240180260費用（萬元）4.54.83.25現(xiàn)需要估算廠商所需的生產(chǎn)費用。不難發(fā)現(xiàn)這兩個問題其實是同一類型的問題，我們都不知道的具體函數(shù)關(guān)系式，僅僅知道幾個特殊的數(shù)字，在這種情景之下就可以使用拉格朗日插值法。易知這個題應(yīng)該構(gòu)造的是近似3次多項式，具體計算過程可以模仿上題：此多項式的基函數(shù)如下， （3-7） （3-8） （3-9） （3-10）將上述式子代入拉格朗日插值公式，可得QUOTEfx，QUOTEfx=i=1n+1li時，有3.2在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用從3.1的內(nèi)容不難看出，拉格朗日插值法在生活中通常用來構(gòu)造近似替代函數(shù)關(guān)系式的多項式，除了在生活領(lǐng)域，拉格朗日插值法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中也有非常重要的地位。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的學(xué)術(shù)探究中，不乏數(shù)學(xué)公式以某種復(fù)雜的形式來呈現(xiàn)，主要原因除了在表現(xiàn)形式上特別冗長之外，大量的計算也是一個原因。所以簡單的多項式能大大減少機器的計算量，這對于我們節(jié)省時間，提高效率是非常有幫助的。這一點在各位同學(xué)用matlab時應(yīng)該會有非常明顯的感受。簡單的多項式對于解決問題能夠起到事半功倍的效果。除了在matlab中運用拉格朗日插值法，在描述函數(shù)圖像時，使用此方法得到的結(jié)果也是特別精確的，好處在于計算的過程還特別簡單。所以我們可以把拉格朗日插值法看作成一個求特定圖像的函數(shù)關(guān)系式的方法。如果讀者沒有感受到這種方法的巧妙的話，接下來我舉一個例子來讓大家體會以下：假設(shè)此圖像“過”兩個點對于一個線性函數(shù)，如果時，；時，。我們之前學(xué)習(xí)的知識告訴我們可以使用待定系數(shù)法去做，即設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，將，；時，，代入得（3-12）得，所以這個線性函數(shù)關(guān)系式為(3-13)如果用拉格朗日插值法呢？基函數(shù)為(3-14)(3-15)得到為(3-16)接下來是過三個點，在條件不變的前提下，再過。思路和上題一致，使用待定系數(shù)法。設(shè)關(guān)系式為：將，；時，；，代入得3=a+b+c解得，，，求得關(guān)系式：(3-18)如果我們運用拉格朗日插值法呢？基函數(shù)為(3-19)(3-20)(3-21)得到為(3-22)接下來是過四個點在條件不變的前提下，再過。思路和上題一致，使用待定系數(shù)法。設(shè)關(guān)系式為：將，；時，；，；，得3=a+解得，求得個關(guān)系式：(3-24)如果我們運用拉格朗日插值法呢？基函數(shù)為(3-25)(3-26)(3-27)(3-28)得到為(3-29)對于過更多點的情況本文不多說明，讀者可以自行去證明，但是讀者明顯能夠感覺到，普通的方法越往后的過程計算量會更大，而拉格朗日插值法確并沒有那么麻煩，所以在我們需要解高次方程或者高次函數(shù)關(guān)系式的時候利用拉格朗日插值法會非常便攜。利用舉一反三的思想，我們可以試想拉格朗日插值法在更復(fù)雜的多項式計算中的表現(xiàn)，加入了分?jǐn)?shù)、等函數(shù)之后，拉格朗日法的優(yōu)勢就體現(xiàn)出來了，它可以大大減少計算的量，這無論是對于科研還是對于算法的優(yōu)化的幫助都是非常大的。再舉一個各位都見過的例子：解：不難明白，滿足這樣條件的常數(shù)不止一個，所以只要找到一個，然后求出的最小公倍數(shù)，即為。再在此基礎(chǔ)上加上它即可。這里簡略說明一下幾個求這個數(shù)的方法枚舉法：公差為3的等差數(shù)列（三三分剩二）：公差為4的等差數(shù)列（五五分剩四）：公差為4的等差數(shù)列（七七分剩一）：這三個數(shù)列中共有的最小的數(shù)是29，所以首項為29.所以這個數(shù)可以表示為計算法：我們先計算三和五的公倍數(shù)，除了要為它兩的公倍數(shù)，還要滿足七七分剩一，即為中的一個，很明顯為15。同理，在三和七的公倍數(shù)中，可以再寫出一個數(shù)列，其中84為五五分剩四。接著是最后一個數(shù)列，其中35為三三分剩二。得但134并不是最小的那個數(shù)，得和上題中的結(jié)果一致。函數(shù)法：計算法是直接利用公倍數(shù)去求，那我們是否可以利用函數(shù)關(guān)系式去求解呢？例如一拋物線，過，求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式。。先求過的函數(shù)關(guān)系式（3-30）再求過的函數(shù)關(guān)系式（3-31）最后只要求過的函數(shù)關(guān)系式即可（3-32）將（式相加，得（3-33）不難發(fā)現(xiàn)，上方的公式本質(zhì)上是由拉格朗日插值法計算得出的答案，這啟發(fā)我們可以從另一個角度去證明拉格朗日插值法：拉格朗日插值公式的定義是這樣的：（3-35)上方的式子被稱為拉格朗日插值公式。證明：在正式證明之前，我們得先確保前提條件：即，對于（），（），有唯一的次數(shù)小于等于一的多項式，使等式成立。上文有提過如何確定的唯一性，所以在此不再多加證明，我們將證明中心放在如何證明使等式成立。設(shè)一直線過和，易得函數(shù)關(guān)系式為(3-34)和之前的思路一致，求過和的直線的函數(shù)關(guān)系式(3-35)最后一步和上方的過程一致，將兩式相加，即函數(shù)關(guān)系式為(3-36)完畢；上方是過兩個點的情況，用同樣的方法可以證明過三個點的情況。即，對于（），（），有唯一的次數(shù)小于等于二的多項式，使等式成立。設(shè)一拋物線過，易得函數(shù)關(guān)系式為(3-37)和之前的思路一致，求過的拋物線的函數(shù)關(guān)系式(3-38)和上方不同的時還要求過的拋物線的函數(shù)關(guān)系式：(3-39)最后一步和上方的過程一致，將三式相加，即函數(shù)關(guān)系式為(3-40)滿足拉格朗日插值公式形式。完畢；那假如時過n個點呢？即條件變?yōu)?，對于（），（）方法其實依然沒變設(shè)一圖像過，易得函數(shù)關(guān)系式為（3-41）和之前的思路一致，求過的圖像的函數(shù)關(guān)系式(3-42)……求過，的圖像的函數(shù)關(guān)系式:(3-43)最后一步和上方的過程一致，將所有式相加，即函數(shù)關(guān)系式為 (3-44)無論是過兩個點、還是三個點、n個點，求得的函數(shù)關(guān)系式都是滿足的。這也從另一個角度說明了拉格朗日插值公式的正確。這個證明方法的優(yōu)點是數(shù)字之間整體的運算難度不大，證明過程也非常通俗易懂。因為對于函數(shù)本就是特殊的多項式，所以兩者肯定都會適用于拉格朗日插值公式，在實際的運算過程中使用拉格朗日插值法，讓我們能夠再次體會這個方法的博大精深，數(shù)學(xué)真的是一門美妙的藝術(shù)。此小節(jié)的重點是向讀者展現(xiàn)拉格朗日插值法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的重要地位，其中突出體現(xiàn)在求函數(shù)關(guān)系式的問題上，拉格朗日插值法的求解過程第一計算量不大，第二說服力很強，反觀其他的方法，如果是低次函數(shù)還好，如果是很復(fù)雜的函數(shù)或者高次函數(shù)的話，會導(dǎo)致計算量非常大，計算出錯的成本也呈幾何倍數(shù)的增長，拉格朗日插值法的優(yōu)越性就體現(xiàn)出來了。順帶一提，在這一節(jié)中我們又發(fā)現(xiàn)了一種驗證公式的方法，所以數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是沒有止盡的，作為后輩我們還需要不斷的思考，不斷的優(yōu)化現(xiàn)有的方法。3.3在工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用作為一種古老的插值方法，拉格朗日插值法誕生于1870年。經(jīng)過前人不斷的修改，到今天已經(jīng)足足演化了200多年之久。它早已滲透進(jìn)了我們的日常之中，這也再一次體現(xiàn)了它各方面的卓越行。關(guān)于生活中的應(yīng)用，這一部分在上文的相關(guān)章節(jié)已經(jīng)有提，現(xiàn)在我們來說說除了在日常生活中的應(yīng)用，這個被沿用了200多年的插值法在工業(yè)領(lǐng)域有怎樣的卓越表現(xiàn)。一、儲水問題水庫是我們?nèi)粘Ｉ钪斜夭豢缮俚慕ㄖ?，在防洪、灌溉、開發(fā)等方面發(fā)揮著重要的作用，水庫的儲水量是衡量一個水庫大小的重要判斷標(biāo)志，如何精確計算出水庫的儲水量除了可以將水庫進(jìn)行分類，還能夠在一定程度上幫助社會治安的穩(wěn)定進(jìn)行，保證附近居民的人身安全，所以如何正確計算出水庫的儲水量是一個不容小視的問題。在閱讀相關(guān)資料后，我發(fā)現(xiàn)古老的水庫儲水問題的解決方法通常采用單面法，即將水庫看作一個由多個規(guī)則的立體圖形組成的圖形。再去求此立體圖形的體積。這個過程有點類似于去求積分，但是不難想到，實際情況中的地質(zhì)情況肯定特別復(fù)雜，表面也不會那么的光滑，無法將表面完全看成直線，而且由于分不了那么細(xì)，所以誤差會比較大。如果要追求精確度的話，每一個圖形的體積又會不一樣，所以就會導(dǎo)致計算量特別大，有沒有將兩個目標(biāo)都實現(xiàn)的計算方法呢？我們需要的是一個計算量不大、計算形式又沒有那么復(fù)雜、并且能夠應(yīng)用在各種不同地質(zhì)情況的方法。拉格朗日插值法正好符合我們的需求。我們假定水庫的水平高度為，并且設(shè)相應(yīng)的水平面積為，通過這個我們可以建立相關(guān)的函數(shù)模型，先在生活中觀測出足夠多的數(shù)據(jù)，即以及對應(yīng)的的數(shù)值。有了數(shù)據(jù)之后，剩下的步驟和之前的例子中的步驟大同小異，最終目標(biāo)是得到一個相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，以此來體現(xiàn)水平高度和相應(yīng)的水平面積的內(nèi)在規(guī)律聯(lián)系。最后再代入實際水庫中的高度即可求出相應(yīng)的儲水量，所以現(xiàn)在問題的關(guān)鍵在于如何求出相應(yīng)的水平面積計算過程可參考以下步驟：①：先測出各個點對應(yīng)的垂直深度②：再測出實際高度以及此時的水位面面積③：在得到相當(dāng)多的數(shù)據(jù)之后，建立函數(shù)模型。多項式如下：(3-45)其中為基函數(shù)，此函數(shù)是關(guān)于水平高度的基函數(shù)，其中為特定高度的水位面面積。然后求的積分（3-46）為實際我們需要求的高度代入h之后不難求得水庫的最大儲水量。對比單面法，拉格朗日插值法的計算量并沒有明顯的增加，但是適用性更加廣泛，哪怕是對同一個水庫，我們也可以把它分成不同的部分，將地質(zhì)情況差不多的部分放在一起去求，這樣求出來的結(jié)果會更加精確。求出來之后再將其進(jìn)行積分，最后只要將各個部分的積分值全部加在一起，就可以精準(zhǔn)的反映水庫的最大儲水量了。這種計算簡便，適用性強的特點讓拉格朗日插值法在實際操作的過程中有非常重要的意義。當(dāng)代學(xué)者就有關(guān)于這個方法在實際生活中如何應(yīng)用的文章，例如魯小紅的文章，具體的過程感興趣的讀者可以去閱讀她的相關(guān)文章。拉格朗日插值法的實際意義遠(yuǎn)不止這些，對于結(jié)構(gòu)和水庫類似的所有建筑，都可以用同樣的思路去解決。甚至解決像火山、山谷這類自然景觀時，這個方法的表現(xiàn)也依舊不俗。

第四章使用拉格朗日插值法求解平面圖形面積4.1關(guān)于平面圖形的面積問題作為規(guī)則圖形的代表，長方形，三角形這些標(biāo)準(zhǔn)的圖形都有對應(yīng)的面積計算公式，所以咱們不必利用拉格朗日插值公式來求，即使可以求出來，也會有些舍近求遠(yuǎn)的意味，況且拉格朗日的適用情形本就是求大致的數(shù)值，規(guī)則圖形的面積我們都是可以求出精確的值的，所以也不必去求近似解。所以對于一個規(guī)則的平面圖形，我們的研究意義并不大，但是假如是一個特殊的平面圖形呢？假如我在一面白墻上隨手畫一個圖形，那么它的面積是多少呢？對于不規(guī)則的平面圖形的面積問題，我們是否可以通過拉格朗日插值公式進(jìn)行解決。整體的思路并不難：我們先求出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)行積分即可，以此方法我們可以求出很多平面圖形的面積。當(dāng)然，一樣只能求出它的近似解，但是也是令人振奮的。第一個困難是我們需要足夠多的數(shù)據(jù)，除了，還要有與之對應(yīng)的。在實際生活中哪有那么明顯的數(shù)值給你去測量呢？微積分的證明過程啟發(fā)了我，我們一樣可以將這個圖形分成很多小的矩形，如果把它的長設(shè)為，寬設(shè)為的話。不難求出它的面積應(yīng)該為（4-1）緊接著便是第二個困難：如何計算這個圖形每一個位置的具體長度？因為只有有了“長”，我們才能求出這個矩形的“寬”，進(jìn)而求出它的面積。數(shù)形結(jié)合的典范是平面直角坐標(biāo)系，如果能夠?qū)⒋藞D形完整的“放”進(jìn)平面直角坐標(biāo)系中，我們就可以求出每一個位置對應(yīng)的“長”，這個點所對應(yīng)的橫坐標(biāo)的值我在后文中稱作“水平長度”。假設(shè)這個圖形在區(qū)間上，我在選擇個點來求它們所對應(yīng)的“長”，進(jìn)而求出它們所對應(yīng)的“寬”，在積分之后我們就可以很輕松的將圖形的對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式求出來，進(jìn)而求出它的近似解。即：（4-2）這個思路對規(guī)則圖形也同樣使用，例，對于一個長為，寬為的長方形，我們?nèi)绾卫美窭嗜詹逯倒角笃涿娣e這個圖形計算起來的好處在于，它每一個點對應(yīng)的“長”和“寬”都相等，所以對于表示“寬”的函數(shù)就是一個定值，即（4-3）再在上求積分，得到面積，（4-4）符合長方形的面積=長×寬。為了增強說服力，我們再舉一個規(guī)則圖形的例子，對于一個平行四邊形，我們假定它的底為，高為，并且其中一個夾角為45度，求解其面積。我們用面積公司算出的S為：S=5*3=15接下來再用拉格朗日插值公式去計算：在取得部分?jǐn)?shù)據(jù)之后我們填入表內(nèi)，如下表所示表4-1平行四邊形取點（3個）坐標(biāo)048垂直長度030基函數(shù)為（4-5）QUOTEl2=x-0x-8(4QUOTEl3=(x-0)(x-4)(8-0)(8-4)=132x2-1的函數(shù)關(guān)系式為（4-8）然后再進(jìn)行積分，可得面積的大小為（4-9）之所以會有偏差，可能是取得數(shù)據(jù)還不夠多，所以精度會比較低，我們接下來試一下取5個點求出的面積表4-2平行四邊形取點（5個）X02468Y02320計算過程此處省略最終得到的函數(shù)關(guān)系式為，（4-10）進(jìn)行積分后求得的面積大小為（4-11）這說明數(shù)據(jù)取得越多，我們解出的近似值會越接近準(zhǔn)確的值我們試一下取九個點的情況，數(shù)據(jù)填入下表表4-3平行四邊形取點（9個）X012345678Y012333210計算過程此處省略最終得到的函數(shù)關(guān)系式為，（4-12）進(jìn)行積分后求得的面積大小為（4-13）為什么此時的精度反而降低了呢？說明之前取的9個點中有些點的數(shù)據(jù)過于離散，必須要取特定范圍內(nèi)的點才能保證求出的近似值和準(zhǔn)確值比較接近，我們第一次發(fā)現(xiàn)了拉格朗日插值法的缺點：并不是數(shù)據(jù)越多，求出的值就越接近準(zhǔn)確值。帶著這樣的疑問，我翻閱了很多學(xué)者的文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)他們也遇到了同樣的情況：對于高次函數(shù)而言，并不是數(shù)據(jù)越多，精度越高。但是我也發(fā)現(xiàn)了一個普遍的規(guī)律，取點的個數(shù)只要穩(wěn)定在6-10之間，得到的結(jié)果通常都是比較靠近準(zhǔn)確值的。接下來我們講講如何用拉格朗日插值法求不規(guī)則平面圖形的面積假定一個平面圖形，我們不知道它的形狀，只知道它的水平長度為20。測量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示。表4平面圖形的取點數(shù)據(jù)X02468101214161820Y101381711131416101415計算方法和上文一致計算過程此處省略最終得到的函數(shù)關(guān)系式為，（4-14）進(jìn)行積分后求得的面積大小為（4-15）上述計算過程說明了，拉格朗日插值公式不僅對規(guī)則圖形成立，一樣也適用于求不規(guī)則圖形的面積。我們知道，無論是規(guī)則還是不規(guī)則，都還是屬于平面圖形的范疇，那能否用拉格朗日插值公式去計算曲面圖形的面積呢？我在嘗試之后發(fā)現(xiàn)在這個領(lǐng)域它的表現(xiàn)并沒有它在前兩個領(lǐng)域表現(xiàn)的那么突出，求出的面積的精準(zhǔn)度非常低，有些甚至差別特別大。對于這方面的文獻(xiàn)也比較少，期待之后能夠有人涉足這一部分的內(nèi)容。但總的來說這個方法在解決平面圖形的面積這個問題上還是有很大優(yōu)勢的。4.2關(guān)于立體圖形的體積問題上一節(jié)詳細(xì)說明了拉格朗日插值公式在求平面圖形的面積時的表現(xiàn)，作為補充，我會在本節(jié)中探討它在求立體圖形的體積時是否也依然有不錯的表現(xiàn)。其實如果讀者仔細(xì)閱讀了文章就會發(fā)現(xiàn)，咱們之前就求過立體圖形的體積，在上文中處理儲水問題的時候，我們就已經(jīng)用拉格朗日插值公式去求過立體圖形的體積了。原理和之前一樣，我們只需要取得足夠多的數(shù)據(jù)，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)行積分，就可以求出相應(yīng)立體圖形的體積了。計算可以參考以下步驟：先測出此立體圖形的豎直高度再在一定范圍內(nèi)任意取點，得到與之對應(yīng)的平面面積取6-10個點之后，建立對應(yīng)的函數(shù)模型函數(shù)關(guān)系式為，（4-16）其中l(wèi)i基函數(shù)，關(guān)于此立體圖形的數(shù)值高度，y最后進(jìn)行積分（4-17）然后就可以求出此立體圖形的體積了，當(dāng)然，一樣也是近似值。本節(jié)重點探討了拉格朗日插值法在求圖形面積或者體積方面的表現(xiàn)，得出的結(jié)論是：拉格朗日插值法在求面積和體積時都有卓越的表現(xiàn)，但是它也體現(xiàn)出了明顯的缺點：1.數(shù)據(jù)并不是越多精度越高，在6—10個的范圍內(nèi)精度達(dá)到最高。2.在求曲面圖形的面積時表現(xiàn)的并不理想。3。拉格朗日插值公式求出的都是近似值，對于規(guī)則圖形來說都可以運用公式求出準(zhǔn)確值，沒有必要求近似值，而且過程相較公式而言比較繁瑣。第五章其他插值法前幾章的討論重點都是拉格朗日插值法的表現(xiàn)，數(shù)學(xué)中的方法很多，所以我單獨寫了一章，列舉其他的插值方法，在閱讀時我們可以體會一下不同的插值方法都有怎樣的優(yōu)勢和劣勢。在數(shù)值分析中，當(dāng)涉及到建立具體的數(shù)學(xué)模型時，我們用的比較多的就是插值法，所以它也是數(shù)值分析里重要的數(shù)學(xué)方法。插值法的好處在于處理數(shù)據(jù)時，它能夠?qū)⑺械臄?shù)據(jù)用一個多項式進(jìn)行高度的概況，這樣不僅有利于我們獲得更多的數(shù)據(jù)，也能在一定程度上減小我們的計算量。插值方法多種多樣，例如Hermite插值以及樣條插值，這里只選擇一部分進(jìn)行說明。5.1牛頓插值牛頓插值處理的也是高次函數(shù)，這一點和之前提到的插值方法比較類似。這是牛頓插值的公式：（5-1）其中QUOTEf[x0,x1,…,xn]（5-2）5.2分段線性插值這其實是屬于一種小的方法，主要的用途是幫助處理“龍格現(xiàn)象”這是它的相關(guān)公式：其中（5-3）還有很多種插值方法，本文中列舉的只是冰山一角，感興趣的讀者可以去讀一讀大學(xué)教材中的《數(shù)值分析》不同的插值方法有不同的優(yōu)劣勢，只有靈活的運用各種插值方法才算是融會貫通。哪怕是我們重點提及的拉格朗日插值法也不是萬能的：當(dāng)涉及到數(shù)據(jù)擴充的時候，我們需要重新計算相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，而這些計算我們可以用其他的插值法去進(jìn)行，例如牛頓插值，因為它的適用性會比拉格朗日插值法更強。除此之外，對于高次函數(shù)，拉格朗日插值法求出的結(jié)果往往精度都很低，偏差會很大，此時我們需要用其他的插值法加以輔助，保證結(jié)果的準(zhǔn)確性?？偟膩碚f，每種插值法都有自己的適用情境，善用多做插值法，能夠找出實際問題的最優(yōu)解，也能大大的減小計算量，而具體什么時候用什么樣的插值法，這也是非常值得探討的。希望之后的同學(xué)能夠在這一領(lǐng)域有所研究。結(jié)論插值方法有很多，本文重點選取了拉格朗日插值法，首先討論了它的發(fā)展歷程和證明思路，在確定其正確性之后對它的應(yīng)用情景進(jìn)行了分析。從生活上看，