2．2空間向量及其運(yùn)算(1)理解空間向量的概念，掌握其表示方法．(2)會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法及它們的運(yùn)算律．(3)掌握空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律．(4)掌握共線向量定理．(5)掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算及其應(yīng)用．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一空間向量1．空間向量的概念定義把空間中既有________又有________的量稱為空間向量?．長(zhǎng)度向量的________叫作向量的長(zhǎng)度或________．表示法①幾何表示法：空間向量用________表示．②字母表示法：若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可以記作AB，其模記為|a|或|AB|.2.幾類特殊向量?相等向量方向________且長(zhǎng)度________的向量．相反向量方向________、長(zhǎng)度________的向量．零向量長(zhǎng)度為零的向量．單位向量長(zhǎng)度為_(kāi)_______的向量．共線向量(平行向量)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a、b(a≠0)，若b＝λa，其中λ為實(shí)數(shù)，則b與a共線或平行，記作________．要點(diǎn)二空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算要點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積1.空間向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角?，記作________，其取值范圍為[0，π].2．空間向量的數(shù)量積定義a·b＝|a||b|cos〈a，b〉?為a與b的數(shù)量積．3．性質(zhì)a·b＝0?________，a·a＝________，|a|＝________，cos〈a，b〉＝________．4．運(yùn)算律?λ(a·b)＝________，a·b＝________(交換律)，a·(b＋c)＝________(分配律)．5．投影向量如圖，將空間任意兩個(gè)向量a，b平移到同一個(gè)平面內(nèi)，可得OA＝a，OB＝b，〈a，b〉＝α.過(guò)點(diǎn)B作BB1⊥OA，垂足為點(diǎn)B1，則________為OB在OA方向上的投影向量，投影向量的模________＝|OB||cosα|稱為投影長(zhǎng)，稱________為OB在OA方向上的投影，其正負(fù)表示OB1與OA批注?空間向量在空間中是可以任意平移的．批注?類比平面向量記憶．批注?當(dāng)兩個(gè)以上的空間向量相加時(shí)，可將三角形法則推廣到多邊形法則：n個(gè)向量首尾順次相接，則封閉折線的起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段表示的向量就是它們的和，即A0A批注?注意實(shí)數(shù)與向量的乘積的特殊情況：當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；當(dāng)λ≠0時(shí)，若a＝0，則λa＝0．批注?關(guān)鍵是起點(diǎn)相同！批注?(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量．(2)零向量與任意向量的數(shù)量積等于零．批注?特別提醒：不滿足結(jié)合律(a·b)·c＝a·(b·c)．基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)空間兩個(gè)向量的加減運(yùn)算與平面內(nèi)兩向量的加減法運(yùn)算完全一致．()(2)對(duì)于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．()(3)若a·b＝b·c，且b≠0，則a＝c.()2．下列說(shuō)法正確的是()A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．模長(zhǎng)為3的空間向量大于模長(zhǎng)為1的空間向量D．不相等的兩個(gè)空間向量的?？赡芟嗟?．在如圖所示的正方體中，下列各對(duì)向量的夾角為45°的是()A．AB與A'C'B．C．AB與A'D'D．4．已知空間四邊形ABCD中，AB＝a，CB＝b，AD＝c，則CD＝________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1空間向量的線性運(yùn)算例1(1)(多選)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為BD1A1D1－B.BCC.ADD.B(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c①AP；②A1方法歸納空間向量線性運(yùn)算的3個(gè)技巧鞏固訓(xùn)練1如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C(1)化簡(jiǎn)：A1O－(2)設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且DE＝23DD1，若EO＝xAB+yAD+zA題型2共線向量的應(yīng)用例2如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E＝2ED1，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且A1F＝23FC方法歸納證明空間三點(diǎn)共線的三種思路鞏固訓(xùn)練2如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，且CF＝23CB，CG＝題型3空間向量數(shù)量積的運(yùn)算例3如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求：(1)EF·BA；(2)EF·BD；(3)EF·DC；(4)AB·CD.方法歸納計(jì)算空間向量數(shù)量積的2種方法鞏固訓(xùn)練3如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為1，求：1AB2AB3AC題型4空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例4已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′的各棱長(zhǎng)均為1，且∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝π3(1)求證：AA′⊥BD；(2)求對(duì)角線AC′的長(zhǎng)．方法歸納利用向量數(shù)量積判斷或證明垂直問(wèn)題的策略鞏固訓(xùn)練4如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱CC1，BC，CD的中點(diǎn)，求證：A1G⊥平面DEF.參考答案新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一1．大小方向大小模有向線段2．相同相等相反相等1b∥a要點(diǎn)二b＋aa＋(b＋c)|λ||a|相同相反要點(diǎn)三1．〈a，b〉3．a(chǎn)⊥ba4．(λa)·bb·aa·b＋a·c5．OB1|[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)√(2)×(3)×2．解析：對(duì)A，零向量的相反向量是本身，故A錯(cuò)；對(duì)B，終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故B錯(cuò)；對(duì)C，向量不能比較大小，故C錯(cuò)；對(duì)D，相反向量是不相等向量，但它們的模長(zhǎng)相等，故D正確．答案：D3．解析：對(duì)于A，因?yàn)锳B＝A'B'，對(duì)于B，因?yàn)锳B＝A'B'，對(duì)于C，因?yàn)锳B＝A'B'，對(duì)于D，因?yàn)锳B＝A'B'，答案：A4．解析：CD＝CB+BA+AD＝答案：－a＋b＋c題型探究·課堂解透例1解析：(1)A中，A1B中，BC+C中，AD?AB?D中，B1D1(2)①∵點(diǎn)P是C1D1的中點(diǎn)，∴AP＝②∵點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，∴A1答案：(1)AB(2)見(jiàn)解析鞏固訓(xùn)練1解析：(1)A1O?(2)EO＝AO?∴x＝12、y＝－12、z＝－例2證明：設(shè)AB＝a，∵A1∴A1∴A1E＝23∴EF＝又EB＝EA1∴EF＝25EB，所以E，鞏固訓(xùn)練2證明：∵E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，∴AE＝則EH＝AH?∵FG＝CG?∴EH∥FG且EH＝34又F不在EH上，故四邊形EFGH是梯形．例3解析：(1)EF·BA＝12(2)EF·BD＝1(3)EF·DC＝12(4)AB·CD＝AB·AD?AC＝鞏固訓(xùn)練3解析：(1)∵AB⊥CC1，∴AB(2)AB·DC1＝|(3)AC·DA1＝2×例4解析：(1)證明：由題意，平行六面體ABCD－A′B′C′D′的各棱長(zhǎng)均為1，∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝π3因?yàn)锽