第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年四川省資陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（4分）的相反數(shù)是（）A．﹣4 B． C． D．42．（4分）如圖是由6個(gè)相同的正方體堆成的物體，則該物體的左視圖是（）A． B． C． D．3．（4分）2025年政府工作報(bào)告顯示，我國(guó)2024年新能源汽車年產(chǎn)量突破1300萬(wàn)輛，將數(shù)“1300萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．13×106 B．1.3×107 C．1.3×108 D．0.13×1084．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)+2a＝2a2 B．3b﹣b＝3 C．（b3）2＝b6 D．a(chǎn)3?a4＝a125．（4分）某年級(jí)7名教師某周使用人工智能（AI）辦公的次數(shù)分別為：5，2，6，9，5，5，3．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A．6，5 B．5，9 C．5，6 D．5，56．（4分）已知數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是，則與點(diǎn)A相距2個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)是（）A．或 B．或 C． D．7．（4分）三角形的周長(zhǎng)為48cm，則它的三條中位線組成的三角形的周長(zhǎng)是（）A．12cm B．24cm C．28cm D．30cm8．（4分）如圖，在射線BA，BC上，BN，使BM＝BN，在∠ABC內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)D；過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交BA于點(diǎn)E．若∠BDE＝30°，則∠AED的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°9．（4分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有這樣一個(gè)題目：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，適重一斤．問(wèn)本持金幾何．”大意是：今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為所持金的，第3關(guān)收稅金為此時(shí)所持金的，第4關(guān)收稅金為此時(shí)所持金的，五關(guān)稅金之和恰好重1斤，問(wèn)原本持金多少？（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤10．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝4，AD＝DC＝2，F(xiàn)是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將△AEF沿EF所在直線翻折得到△A′EF（如圖的所有點(diǎn)在同一平面內(nèi)），連接A′B，則△A′BC面積的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）使代數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的取值范圍是．12．（4分）一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．拋擲這枚骰子，則朝上一面所標(biāo)的數(shù)字為奇數(shù)的概率為．13．（4分）方程的解為x＝．14．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，CE∥DA．若使△BCE成為等邊三角形，可增加的一個(gè)條件是．15．（4分）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB＝2，AE，以點(diǎn)D為圓心、CD的長(zhǎng)為半徑作圓弧CE．16．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸相交于點(diǎn)A（0，2），且拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．給出以下4個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，am2+bm+c+a的值不小于2；③若P是對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，則OP+AP的最小值為；④若點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）在拋物線上，滿足x1＜x2且x1+x2+2＞0，則一定有y1＜y2．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共86分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（9分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a＝2．18．（10分）為豐富學(xué)生課外鍛煉活動(dòng)，某學(xué)校增設(shè)了A（足球）、B（籃球）（體操）、D（田徑）四個(gè)鍛煉項(xiàng)目，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中所提供的信息（1）本次調(diào)查共抽取了名學(xué)生，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求項(xiàng)目C對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）已知選擇項(xiàng)目D的學(xué)生是2名男生和2名女生．現(xiàn)從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名參加比賽，用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求抽到兩名性別相同的學(xué)生的概率．19．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）的圖象交于點(diǎn)B（﹣2，a），射線BO與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△ABC的面積．20．（10分）某社團(tuán)計(jì)劃開(kāi)展手工制作活動(dòng)，制作需使用A，B兩款材料包．購(gòu)買(mǎi)3份A款材料包和2份B款材料包需84元（1）問(wèn)購(gòu)買(mǎi)一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？（2）該社團(tuán)打算購(gòu)買(mǎi)A，B兩款材料包共50份，總費(fèi)用不超過(guò)830元21．（11分）如圖，已知水平地面AM上方有一個(gè)水平的平臺(tái)BN，該平臺(tái)上有一個(gè)豎直的建筑物CD．在A處測(cè)得建筑物頂端C的仰角為30°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（點(diǎn)A，B，C，D在同一豎直平面內(nèi)）．（1）求平臺(tái)BN的高度；（2）求建筑物的高度（即CD的長(zhǎng)）．22．（11分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝60°，，求⊙O的半徑．23．（12分）在四邊形ABCD中，E是邊BC上的一點(diǎn)，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，連接OE，求證：OE＝OF；（2）如圖2，四邊形ABCD是平行四邊形，AB⊥AC，，，連接AE，作EF⊥AE交CD于點(diǎn)F，求的值；（3）如圖3，四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，連接DE交AC于點(diǎn)G，F(xiàn)是邊AB上的一點(diǎn)，若，求OG的長(zhǎng)．24．（13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于A（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3），且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）P是拋物線上位于第四象限的一點(diǎn)，點(diǎn)D（0，﹣1），連接BC，連接PB．若△CDE與△PBE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）M，N是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)M，垂足分別為G，H．是否存在點(diǎn)M，N，N，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，求該正方形的邊長(zhǎng)，說(shuō)明理由．

2025年四川省資陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案C．DBCDABCAB一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（4分）的相反數(shù)是（）A．﹣4 B． C． D．4【解答】解：的相反數(shù)是．故選：C．2．（4分）如圖是由6個(gè)相同的正方體堆成的物體，則該物體的左視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從左面看，底層是兩個(gè)小正方形．故選：D．3．（4分）2025年政府工作報(bào)告顯示，我國(guó)2024年新能源汽車年產(chǎn)量突破1300萬(wàn)輛，將數(shù)“1300萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．13×106 B．1.3×107 C．1.3×108 D．0.13×108【解答】解：1300萬(wàn)＝13000000＝1.3×102．故選：B．4．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)+2a＝2a2 B．3b﹣b＝3 C．（b3）2＝b6 D．a(chǎn)3?a4＝a12【解答】解：a+2a＝3a，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；2b﹣b＝2b，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；（b3）4＝b6，C選項(xiàng)正確，符合題意；a3?a2＝a7，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．g故選：C．5．（4分）某年級(jí)7名教師某周使用人工智能（AI）辦公的次數(shù)分別為：5，2，6，9，5，5，3．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）A．6，5 B．5，9 C．5，6 D．5，5【解答】解：從小到大排列此數(shù)據(jù)為：2，3，8，5，5，6，9，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是5；處在中間的數(shù)是3，所以中位數(shù)為5．所以本題這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5，中位數(shù)為6．故選：D．6．（4分）已知數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是，則與點(diǎn)A相距2個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)是（）A．或 B．或 C． D．【解答】解：當(dāng)所求的點(diǎn)在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，該點(diǎn)所表示的數(shù)為，當(dāng)所求的點(diǎn)在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，該點(diǎn)所表示的數(shù)為，綜上所述，所求的點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)為﹣2，故選：A．7．（4分）三角形的周長(zhǎng)為48cm，則它的三條中位線組成的三角形的周長(zhǎng)是（）A．12cm B．24cm C．28cm D．30cm【解答】解：∵△ABC的周長(zhǎng)為48cm，∴AB+BC+AC＝48cm，∵DE、DF，∴DE＝ACBCAB，∴△DEF的周長(zhǎng)＝DE+DF+EF＝×（AB+BC+AC）＝，故選：B．8．（4分）如圖，在射線BA，BC上，BN，使BM＝BN，在∠ABC內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)D；過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交BA于點(diǎn)E．若∠BDE＝30°，則∠AED的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【解答】解：由作圖過(guò)程可知，射線BD為∠ABC的平分線，∴∠ABC＝2∠CBD．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，∠CBD＝∠BDE＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠AED＝60°．故選：C．9．（4分）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有這樣一個(gè)題目：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，適重一斤．問(wèn)本持金幾何．”大意是：今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為所持金的，第3關(guān)收稅金為此時(shí)所持金的，第4關(guān)收稅金為此時(shí)所持金的，五關(guān)稅金之和恰好重1斤，問(wèn)原本持金多少？（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤【解答】解：由題意，第1關(guān)收稅：，第2關(guān)收稅：，剩余，第3關(guān)收稅：，剩余，第4關(guān)收稅：，剩余，第5關(guān)收稅：，則五關(guān)稅金之和為，根據(jù)題意，總稅金為1斤，得，解得，故原本持金為斤，故選：A．10．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝4，AD＝DC＝2，F(xiàn)是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將△AEF沿EF所在直線翻折得到△A′EF（如圖的所有點(diǎn)在同一平面內(nèi)），連接A′B，則△A′BC面積的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，∵AB∥DC，AD⊥DC，∴∠ADC＝∠DAG＝∠AGC＝90°，∴四邊形ADCG是矩形，∴CG＝AD＝2，AG＝CD＝2，∵AB＝6，∴BG＝AB﹣AG＝4﹣2＝4，∴，∴當(dāng)點(diǎn)A'到BC的距離最小時(shí)，△A'BC面積最小，過(guò)點(diǎn)A'作AH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，即當(dāng)A'H最小時(shí)，∵E是線段AD的中點(diǎn)，AD＝6，∴DE＝AE＝AD＝，由折疊的性質(zhì)得：AE＝A'E＝1，∴點(diǎn)A在以點(diǎn)E為圓心，3長(zhǎng)為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)E，A'，A'H最小，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)M，則DN∥EH，∴△MND∽△MHE，∵CG＝BG＝2，∠BGC＝90°，∴∠ABC＝∠BCG＝45°，∵AB∥CD，∴∠DCM＝∠ABC＝45°，∵∠CDM＝180°﹣∠ADC＝180°﹣90°＝90°，∴△CDM是等腰直角三角形，∴DM＝CD＝2，，∴，EM＝DE+DM＝1+2＝6，，∵△MND∽△MHE，∴，即＝，∴EH＝，∴A'H＝EH﹣A'E＝﹣1，∴S△A'BC＝A'H?BC＝﹣1）×2，∴△A'BC面積的最小值為3﹣；故選：B．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）使代數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥1．【解答】解：由題意得：x﹣1≥0，∴x≥8．故答案為：x≥1．12．（4分）一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．拋擲這枚骰子，則朝上一面所標(biāo)的數(shù)字為奇數(shù)的概率為．【解答】解：∵六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、6、4、5、7，其中奇數(shù)有1、3，∴拋擲這枚骰子，朝上一面所標(biāo)的數(shù)字為奇數(shù)的率為＝．故答案為：．13．（4分）方程的解為x＝2．【解答】解：原方程去分母得：3x+9＝5x+5，解得：x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝6時(shí)，（x+1）（x+3）≠2，故原方程的解為x＝2，故答案為：2．14．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，CE∥DA．若使△BCE成為等邊三角形，可增加的一個(gè)條件是∠BCE＝∠B（答案不唯一）．【解答】解：要使△BCE成為等邊三角形，可增加的一個(gè)條件是∠BCE＝∠B（答案不唯一）∵CE∥DA，∴∠A＝∠BEC，∵∠A＝∠B，∴∠B＝∠BEC，∵∠BCE＝∠B，∴∠B＝∠BCE＝∠BEC，∴△BCE成為等邊三角形．故答案為：∠BCE＝∠B（答案不唯一）．15．（4分）如圖，在正六邊形ABCDEF中，AB＝2，AE，以點(diǎn)D為圓心、CD的長(zhǎng)為半徑作圓弧CE4﹣．【解答】解：如圖，連接AD，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠B＝∠BCD＝∠CDE＝120°，BC＝CD＝DE＝AB＝2，∴∠BCA＝30°，∠CDA＝∠EDA＝60°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝＝2，則S陰影部分＝2S△ACD﹣S扇形CDE＝2××2×3﹣﹣，故答案為：4﹣．16．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸相交于點(diǎn)A（0，2），且拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．給出以下4個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，am2+bm+c+a的值不小于2；③若P是對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，則OP+AP的最小值為；④若點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）在拋物線上，滿足x1＜x2且x1+x2+2＞0，則一定有y1＜y2．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為②③④．【解答】解：由圖象和題意可知：a＞0，，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c＝2，∴b＝8a＞0，∴2a﹣b＝2，abc＞0，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)取得最小值為：a﹣b+c，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，am7+bm+c+a≥a﹣b+c+a＝2a﹣b+c＝c＝2，∴am6+bm+c+a的值不小于2，故②正確；作點(diǎn)O關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)O'，連接O'A，則：O'（﹣2，6），∴當(dāng)點(diǎn)P在O'A上時(shí)，OP+AP的值最小為O'A的長(zhǎng)，∵A（0，2），∴，∴OP+AP的最小值為，故③正確；∵拋物線的開(kāi)口向上，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵點(diǎn)（x1，y7），（x2，y2）在拋物線上，滿足x5＜x2且x1+x4+2＞0，∴，∴點(diǎn)（x2，y2）離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，∴y6＜y2，故④正確；故答案為：②③④．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共86分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（9分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a＝2．【解答】解：原式＝?＝?＝；當(dāng)a＝7時(shí)，原式＝＝3．18．（10分）為豐富學(xué)生課外鍛煉活動(dòng)，某學(xué)校增設(shè)了A（足球）、B（籃球）（體操）、D（田徑）四個(gè)鍛煉項(xiàng)目，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中所提供的信息（1）本次調(diào)查共抽取了80名學(xué)生，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求項(xiàng)目C對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）已知選擇項(xiàng)目D的學(xué)生是2名男生和2名女生．現(xiàn)從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名參加比賽，用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求抽到兩名性別相同的學(xué)生的概率．【解答】解：（1）本次調(diào)查共抽取了32÷＝80（名）學(xué)生．選擇C項(xiàng)目的人數(shù)為80﹣32﹣28﹣4＝16（人）．補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．故答案為：80．（2）項(xiàng)目C對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為360°×＝72°．（3）列表如下：男男女女男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，男）（女，女）女（女，男）（女，男）（女，女）共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到兩名性別相同的學(xué)生的結(jié)果有4種，∴抽到兩名性別相同的學(xué)生的概率為．19．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）的圖象交于點(diǎn)B（﹣2，a），射線BO與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△ABC的面積．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，7），∴0＝﹣k﹣2，解得k＝﹣4，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣2x﹣2．∵一次函數(shù)y＝﹣5x﹣2過(guò)點(diǎn)B（﹣2，a），∴a＝﹣7×（﹣2）﹣2，∴a＝4，∴B（﹣2，2），∵反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)B（﹣2，∴，解得m＝﹣3，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，C（2，過(guò)點(diǎn)B（﹣8，2）作BE⊥x軸于點(diǎn)E，﹣2）作CD⊥x軸于點(diǎn)D，∴BE＝7，CD＝2，∵A（﹣1，2），∴AO＝1，∴S△ABC＝2S△AOB＝＝2．20．（10分）某社團(tuán)計(jì)劃開(kāi)展手工制作活動(dòng)，制作需使用A，B兩款材料包．購(gòu)買(mǎi)3份A款材料包和2份B款材料包需84元（1）問(wèn)購(gòu)買(mǎi)一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？（2）該社團(tuán)打算購(gòu)買(mǎi)A，B兩款材料包共50份，總費(fèi)用不超過(guò)830元【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)一份A款材料包需x元，購(gòu)買(mǎi)一份B款材料包需y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：購(gòu)買(mǎi)一份A款材料包需16元，購(gòu)買(mǎi)一份B款材料包需18元；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A款材料包m份，則購(gòu)買(mǎi)B款材料包（50﹣m）份，根據(jù)題意得：16m+18（50﹣m）≤830，解得：m≥35，∴m的最小值為35．答：至少購(gòu)買(mǎi)A款材料包35份．21．（11分）如圖，已知水平地面AM上方有一個(gè)水平的平臺(tái)BN，該平臺(tái)上有一個(gè)豎直的建筑物CD．在A處測(cè)得建筑物頂端C的仰角為30°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（點(diǎn)A，B，C，D在同一豎直平面內(nèi)）．（1）求平臺(tái)BN的高度；（2）求建筑物的高度（即CD的長(zhǎng)）．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AM于E，∵斜坡AB的坡度為1：3，∴＝，∴AE＝3BE，在Rt△ABE中，AB6＝BE2+AE2，即（10）7＝BE2+（3BE）6，解得：BE＝10，答：平臺(tái)BN的高度為10米；（2）如圖，延長(zhǎng)CD交AM于F，則CF⊥AM，∴四邊形BEFD為矩形，∴DF＝BE＝10米，BD＝EF，設(shè)CD＝x米，則CF＝（x+10）米，在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∵tan∠CAF＝，∴＝，∴AF＝（x+10）米，在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，則BD＝＝x米，由（1）可知：AE＝5BE＝30米，∴（x+10）﹣，解得：x＝15﹣15，答：建筑物的高度為（15﹣15）米．22．（11分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝60°，，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OD，則OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD，∵∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵AB是⊙O的直徑，DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．（2）解：設(shè)OD交BC于點(diǎn)F，∵∠ACB＝90°，∴∠FCE＝90°，∵∠FDE＝∠E＝90°，∴四邊形CEDF是矩形，∴DF＝CE＝，∠CFD＝90°，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠BAC＝60°，∵OD＝OB，∴△DOB是等邊三角形，∵BC⊥OD于點(diǎn)F，∴OF＝DF，∴OD＝2DF＝5，∴⊙O的半徑是2．23．（12分）在四邊形ABCD中，E是邊BC上的一點(diǎn)，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，連接OE，求證：OE＝OF；（2）如圖2，四邊形ABCD是平行四邊形，AB⊥AC，，，連接AE，作EF⊥AE交CD于點(diǎn)F，求的值；（3）如圖3，四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，連接DE交AC于點(diǎn)G，F(xiàn)是邊AB上的一點(diǎn)，若，求OG的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OD，∵ABCD是正方形，OF⊥OE，∴OD＝OC，∠COD＝∠EOF＝90°，∴∠DOF＝∠COE，∴△OCE≌△ODE（ASA），∴OE＝OF；（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，∵AC⊥AB，，∴，∴，∵BE：EC＝1：2，∴CE＝2，又∵S平行四邊形ABCD＝AB?AC＝BC?AG，∴，又∵，∴，∴，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠FCH＝∠FCH+∠CFH＝90°，∴∠ACB＝∠FCH，∴tan∠CFH＝tan∠ACB＝2，即，設(shè)CH＝a，則FH＝2a，∴，同理可得，即，解得，∴，又∵O是AC的中點(diǎn)，∴，∴，∴；（3）過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BA于點(diǎn)P，作DQ⊥BC于點(diǎn)Q，設(shè)CE＝x，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，DC∥AB，∴∠PAD＝∠DCQ＝∠B＝60°，∴∠ADP＝∠CDQ＝30°，∴AP＝CQ＝3，，∵．∴AF＝2，∴PF＝PA+AF＝8，∴DF2＝DP2+PF6＝27+25＝52，DE2＝DQ2+QE6＝27+（3+x）2，在射線CA上截取AM＝AF＝2，在射線AC上截取CN＝CE＝x，∵四邊形ABCD是菱形，∴BA＝BC，∠BAC＝∠DAC＝∠D＝60°，∴∠MAD＝∠FAD＝120°，AC＝AB＝6，又∵DA＝DA，∴△ADM≌△ADF，∴DM＝DF，∠MDA＝∠FDA，同理：DN＝DE，∠NDC＝∠EDC，∴∠MAF+∠EDN＝2（∠ADF+∠EDC）＝8（∠ADC﹣∠EDF）＝2×（60°﹣30°）＝60°，∴∠MDN＝90°，∴DM2+DN2＝MN2，即DF2+DE2＝MN2，∴52+27+（3+x）2＝（2+6+x）4，解得CE＝2.4，又∵CE∥AD，∴∠BCA＝∠CAD，∠CEG＝∠ADG，∴△CEG∽△ADG，∴，即，解得：，又∵O是AC的中點(diǎn)，∴OC＝3，∴．24．（13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于A（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3），且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）P是拋物線上位于第四象限的一點(diǎn)，點(diǎn)D（0，﹣1），連接BC，連接PB．若△CDE與△PBE的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）M，N是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)M，垂足分別為G，H．是否存在點(diǎn)