第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年安徽省智學(xué)聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知z?2i=i?1i+1，則z=(

)A.?i B.i C.?3i D.3i2.某項比賽共有7個評委評分，若去掉一個最高分與一個最低分，則與原始數(shù)據(jù)相比，一定不變的是(

)A.極差 B.45%分位數(shù) C.平均數(shù) D.眾數(shù)3.已知a=(2,1)，b=(x,?2)，若a//b，則A.(?6,?3) B.(2,1) C.(6,?3) D.(?2,?1)4.若m，n為空間中兩條不同的直線，α、β為空間兩個不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是(

)A.若m⊥α，n⊥α，則m//n

B.若m⊥α，m//β，則α⊥β

C.若α//β，m⊥α，n?β，則m⊥n

D.若m//α，n//α，則m//n5.在△ABC，點D為線段BC的中點，點O在線段AD上，且AO=2OD，若BO=λDC+μAC(λ、μA.53 B.1 C.13 6.已知圓錐的體積為12π，其側(cè)面積與底面積的比為5：3，則該圓錐的表面積為(

)A.9π B.12π C.15π D.24π7.在一組樣本數(shù)據(jù)中，0，1，2，3出現(xiàn)的頻數(shù)分別為f1，f2，f3，f4A.f1=f4=2，f2=f3=3 B.f1=8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，(a+c)(sinA?sinC)+bsinB=asinB，b+2a=4，CA=3CD?2CB，則線段CDA.2 B.223 C.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設(shè)A，B，C是樣本空間Ω中三個概率大于0的隨機事件，則下列選項正確的是(

)A.互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件

B.事件A，B相互獨立與A，B互斥不能同時成立

C.若P(AB)=P(A)P(B)成立，則事件A與B相互獨立

D.若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，則事件A，B，C一定兩兩獨立10.已知△ABC，內(nèi)角A，B，C分別對應(yīng)邊a，b，c則下列命題中正確的是(

)A.若sin2A+sin2B+cos2C<1，則△ABC為鈍角三角形

B.若AB=3，AC=1，B=30°，則△ABC的面積為32

C.在銳角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

D.11.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為3，E，F(xiàn)，G分別為棱BB1，DD1，CC1上的點，且BE=13BBA.點P的軌跡為菱形AEGF及其內(nèi)部

B.當(dāng)λ=13，μ=23時，AP的長度為6

C.當(dāng)λ=1時，點P的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若向量AB，AC分別表示復(fù)數(shù)z1=1?i，z2=8+i，則13.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AD=AB=1，14.在△ABC，△ABC的面積為3，AB?AC=2，sinB=2cosA?sinC，△ABC的外接圓為圓O，P為圓四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點.求證：

(1)BE//平面PAD；

(2)平面PCD⊥平面PBC．16.(本小題15分)

AI正在重構(gòu)養(yǎng)老模式，如北京天壇醫(yī)院落地全球首個腦機接口臨床病房，杭州某養(yǎng)老院引入“AI情感陪伴系統(tǒng)”等，某網(wǎng)站為此進行了調(diào)查.現(xiàn)從參與者中隨機選出100人作為樣本，并將這100人按年齡分組：第1組[20,30)，第2組[30,40)，第3組[40,50)，第4組[50,60)，第5組[60,70]，得到的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖求實數(shù)a的值及樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

(2)若將頻率視為概率，現(xiàn)在要從[20,30)和[60,70]兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)來表示，再從這6人中隨機抽取2人進行電話采訪，

(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；

(ii)設(shè)G為事件“抽取的2人中至多有1人的年齡在[20,30)這一組”，求事件G發(fā)生的概率．17.(本小題15分)

如圖所示，四邊形ABCD是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，AC是圓柱的底面直徑，PC是圓柱的母線，直線AC與平面PBC所成的角為60°，PC=AC=2．

(1)當(dāng)CD⊥PB時，求點D到平面PAB的距離；

(2)若BC=CD，點E是線段PA上一動點，平面PAC與平面CDE夾角的正弦值為28519，求DE的長．18.(本小題17分)

如圖，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，過△ABC內(nèi)一點M的直線l與直線AB交于D，記BA與DM夾角為θ．

(1)已知sin2A+sin2C?2sinAsinC=sin2B，

(i)若H為△ABC的垂心，BH?BC=2c2.求ac的值；

(ii)M為19.(本小題17分)

已知兩個非零向量m，n，在空間任取一點0，作OM=m，ON=n，則∠MON叫做向量m，n的夾角，記作m,n，定義m與n的“向量積”為：m×n是一個向量，它與向量m，n都垂直，它的模|m×n|=|m|?|n|sinm,n，如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DA=2，點E為線段AD上一動點，|AD×BP|=4

參考答案1.D

2.B

3.A

4.D

5.B

6.D

7.C

8.D

9.ABC

10.ACD

11.ABC

12.5313.?114.2

15.(1)證明：

以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系：

有B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．

由E為棱PC的中點，E(1,1,1)．

AB?平面ABCD，因此AB⊥PA，

又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，因此AB⊥平面PAD，

因此向量AB=(1,0,0)為平面PAD的一個法向量，而BE?AB=0，

因此BE⊥AB，又BE?平面PAD，因此BE//平面PAD．

(2)證明：設(shè)平面PCD的一個法向量為n=(x,y,z)，PD=(0,2,?2),DC=(2,0,0)

則n?PD=0n?DC=0，因此2y?2z=02x=0，

不妨令y=1，可得n=(0,1,1)為平面PCD的一個法向量．

設(shè)平面PBC的法向量m=(x,y,z)，PB=(1,0,?2)，BC=(1,2,0)，

則m?PB=0m?BC16.(1)(0.01×2+0.02×2+a)×10=1，解得a=0.04，

樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為25×0.1+35×0.1+0.2×45+0.4×55+0.2×65=50；

(2)[20,30)與[60,70]兩組的頻率之比為1：2，

現(xiàn)從[20,30)和[60,70]兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，

則[20,30)組抽取2人，記為A，B，[60,70]組抽取4人，記為C，D，E，F(xiàn)，

(i)所有可能的情況為(A,B)，(A,C)，A，D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，

(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)，共15種，

(ii)事件G發(fā)生的概率P(G)=1?117.(1)∵PC⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

∴CD⊥PC，

又∵CD⊥PB，PC∩PB=P，PC，PB?平面PBC，

∴CD⊥平面PBC，BC?平面PBC，

∴CD⊥BC，

又AC是圓柱的底面直徑，則AB⊥BC，

∴CD//AB，

∴AB⊥平面PBC，

又∵CD?平面PAB，AB?平面PAB，

∴CD//平面PAB，

∴點D到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離，過點C作CF⊥PB于點F，

∵AB⊥平面PBC，CF?平面PBC，

∴AB⊥CF，

∵AB∩PB=B，AB，PB?平面PAB，

∴CF⊥平面PAB，

∵AB⊥平面PBC，

∴BC就是直線AC在平面PBC內(nèi)的射影，

∴∠ACB就是直線AC與平面PBC所成的角，

∴∠ACB=60°，

∵PC=AC=2，

∴BC=1，BP=5，

∴CF=2×15=255，

∴點D到平面PAB的距離為255．

(2)由已知AD⊥DC，以D為坐標(biāo)原點，DC，DA所在直線分別為x軸、y軸，

過點D且與CP平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

由BC=CD=1，得P(1,0,2)，A(0,3,0)，C(1,0,0)，D(0,0,0)，

DC=(1,0,0)，AC=(1,?3,0)，CP=(0,0,2)，PA=(?1,3,?2)，

設(shè)PE=λPA(0≤λ≤1)，PE=(?λ,3λ,?2λ)，

∴E(1?λ,3λ,2?2λ)，DE=(1?λ,3λ,2?2λ)，

設(shè)平面PAC的一個法向量為m=(x1,y1,z1)，

則m?AC=0m?CP=0，即x1?3y1=02z1=0，

令x118.(1)(i)由sin2A+sin2C?2sinAsinC=sin2B，

結(jié)合正弦定理角化邊可得：a2+c2?2ac=b2，

所以cosB=a2+b2?c22ab=22，

由B為三角形內(nèi)角，所以B=π4，

又H為△ABC的垂心，所以AH?BC=0，

所以BH?BC=(BA+AH)?BC=BA?BC=22ac=2c2，

所以ac=22；

(ii)因為b=c=1，由(i)可知B=C=π4,A=π2，

由M為△ABC的重心，得AM=13(AB19.(1)因為底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，

所以AD//BC，BC⊥DC，

又BC?底面ABCD，

所以PD⊥BC，

又PD∩DC=D，PD、DC?平面PDC，

所以BC⊥平面PDC，

又PC?平面PDC，

所以BC⊥PC，

所以∠PBC為直線AD與PB所成的角，

即<AD,BP>=∠PBC，

設(shè)AB=x(x>0)，

則PC=x2+4，PB=x2+4+22=x2+8，

在Rt△PBC中sin∠PBC=PCPB=x2+4x2+8，

又|AD×BP|=45，

所以2x2+8?x2+4x2+8=45，

解得x=4(負值已舍去)，

所以AB=4．

(2)依題意(AD×BP)⊥AD，(AD×BP)⊥BP，

又AD×BP=λEM，

所以EM⊥AD，EM⊥BP，

又AD//BC，

所以EM⊥