第08講線面、面面的平行與垂直問題全歸納

內(nèi)容導(dǎo)航

串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點，有的放矢

重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補(bǔ)缺

舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升

復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

知識點01利用中位線、平行四邊形證明線面平行

1、證明平行之中位線

（1）可以拿一把直尺放在PB位置（與PB平齊），如圖一；

（2）然后把直尺平行往平面ACE方向移動，直到直尺第一次落在平面ACE內(nèi)停止，如圖二；

（3）此時剛好經(jīng)過點E（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點E），此時直尺所在的位置就是我們要找

的平行線，直尺與AC相交于點F，連接EF，如圖三；

（4）此時PB、EF長度有長有短，連接PB、EF并延長剛好交于一點D，剛好構(gòu)成A型模型（E為PD中

點，則F也為BD中點，若E為等分點，則F也為BD對應(yīng)等分點），PB∥EF，如圖四．

1

2、證明平行之平行四邊形

（1）可以拿一把直尺放在EF位置，如圖一；

（2）然后把直尺平行往平面PAB方向移動，直到直尺第一次落在平面PAB內(nèi)停止，如圖二；

（3）此時剛好經(jīng)過點B（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點B），此時直尺所在的位置就是我們要找

的平行線，直尺與PA相交于點O，連接BO，如圖三；

（4）此時PB、EF長度相等（感官上相等即可，若感覺有長有短則考慮法一A型的平行），連接OE，剛

好構(gòu)成平行四邊形BFEO型模型（E為PD中點，O也為PA中點，OE為三角形PAD中位線），OB∥EF，

如圖四．

圖一圖二圖三圖四

知識點02證明垂直的常見方法

（1）等腰三角形（等邊三角形）的“三線合一”

如圖：AB=AC,D為BC中點，則ADBC

（2）勾股定理的逆定理

如圖：如果a2b2c2，則ACBC

2

（3）正方形、菱形的對角線互相垂直。

如圖：四邊形ABCD是菱形，所以ACBD

（4）直徑所對的圓周角是90

如圖：AB是圓的直徑，ACB90

（5）通過證線面垂直證線線垂直

l

}lm

m

注：若題目要證l,已知m且m,l是異面直線，要證lm，一般是證ml所在的平面。

（6）平移法：通過三角形的中位線或者構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行平移

知識點03直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒有公共點，則稱此直線l與平面平行，記作l∥

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

3

如果平面外的一條直線和這個平∥

ll1

線∥線面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直∥

l1l

線∥面線和這個平面平行（簡記為“線線l

平行線面平行

如果兩個平面平行，那么在一個平∥

a∥

面∥面面內(nèi)的所有直線都平行于另一個a

線∥面平面

3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和一個l∥

平面平行，經(jīng)過這條ll∥l

線∥面線∥線直線的平面和這個平l

面相交，那么這條直

線就和交線平行

知識點04兩個平面平行

1、定義

沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面和，若，則∥

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條相a,b,abP

線∥面交的直線都平行于另一個a∥，b∥∥

面∥面平面，那么這兩個平面平行

（簡記為“線面平行面

面平行

線面如果兩個平面同垂直于一l

∥

面∥面條直線，那么這兩個平面平l

行

4

3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平行，那么

面//面

在一個平面中的所有直//

線//面a//

線都平行于另外一個平a

面

如果兩個平行平面同時

和第三個平面相交，那么//

性質(zhì)定理他們的交線平行（簡記為aa//b.

“面面平行線面平b

行”）

如果兩個平面中有一個

面//面垂直于一條直線，那么另//

l

線面一個平面也垂直于這條l

直線

知識點05直線與平面垂直

1、直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直．

2、直線與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平

a,b

面內(nèi)的兩條相交直al

判斷定理l

線都垂直，則該直bl

abP

線與此平面垂直

兩個平面垂直，則

_b

在一個平面內(nèi)垂直a

面⊥面?線⊥面b

于交線的直線與另_ab

ba

一個平面垂直

5

_a

一條直線與兩平行

平面中的一個平面//

平行與垂直的關(guān)系a

垂直，則該直線與a

另一個平面也垂直

兩平行直線中有一_a_b

條與平面垂直，則a//b

平行與垂直的關(guān)系b

另一條直線與該平a

面也垂直

3、直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

_a_b

垂直于同一平面的a

性質(zhì)定理a//b

兩條直線平行b

_a

垂直于同一直線的a

垂直與平行的關(guān)系//

兩個平面平行a

如果一條直線垂直

于一個平面，則該直

線垂直于面的性質(zhì)l,ala

線與平面內(nèi)所有直

線都垂直

知識點06平面與平面垂直

1、平面與平面垂直的定義

如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂

直．（如圖所示，若CD,CD，且AB,BE,ABBE，則）

6

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．

2、平面與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號語言

判定定理一個平面過另一b

個平面的垂線，則_bb

這兩個平面垂直

3、平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一

個平面內(nèi)垂直于交a

_bb

b

線的直線與另一個

_aba

平面垂直

【考點一：構(gòu)造中位線證線面平行】

一、解答題

1．（23-24高一下·天津·期中）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，

ADC45,ADAC1，O為AC中點，PO⊥平面ABCD，PO2，M為PD中點.

(1)證明：PB//平面ACM；

(2)求四棱錐PABCD的體積.

【答案】(1)證明見解析

2

(2)

3

【分析】（1）連接BD,MO，由三角形中位線性質(zhì)可得MO∥PB，由線面平行判定可得結(jié)論；

7

（2）利用三棱錐體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】（1）如圖所示，連接BD,MO，

因為ABCD為平行四邊形，O是AC中點，

所以AC,BD是平行四邊形ABCD的對角線，所以O(shè)是BD中點，

又因為M是PD中點，所以MO是DBP中位線，所以MO∥PB，

因為MO平面ACM，PB平面MAC，所以PB∥平面ACM；

112

（2）VSh112.

PABCD333

2．（24-25高一下·安徽合肥·月考）如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點M是線段B1D1上的一個動點，E，

F分別是BC，CM的中點.

(1)求證：EF//平面BDD1B1；

(2)若四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積為24，且底面ABCD為平行四邊形，求三棱錐CBDF的體積V的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)2

【分析】（1）連接BM，由中位線可知EF//BM，然后結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；

1

（2）由F是CM的中點得VVV，再由B1D1∥平面BCD，MBD，所以VMBDCVBBDC，

CBDFFBDC2MBDC111

11

又VV，VV，聯(lián)立即可得解.

MBDC2B1ABDCB1ABCD3ABCDA1B1C1D1

【詳解】（1）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接BM，如圖，

8

因E，F(xiàn)分別是BC，CM的中點，則有EF//BM，又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1，

所以EF//平面BDD1B1；

1

（2）由F是CM的中點得VVV，

CBDFFBDC2MBDC

又B1D1∥BD，BD平面BCD，B1D1平面BCD，則B1D1∥平面BCD，

1111

又點M是線段B1D1上的一個動點，則VVVV244，

MBDCB1BDC2B1ABCD23B1B1C1D16ACDA

1

所以三棱錐CBDF的體積V的值42.

2

3．（24-25高一下·浙江麗水·期中）如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB2，B1B3，D是棱AC

的中點.

(1)求證：AB1//平面BDC1；

(2)該正三棱柱被平面BDC1截去一個棱錐C1BDC，求剩余部分的體積.

【答案】(1)證明見解析

53

(2)

2

【分析】（1）連接B1C，使得B1CBC1E，再連接DE，得到DE∥AB1，結(jié)合線面平行的判定定理，即

可證得AB1//平面BDC1；

（）利用柱體和錐體的體積公式，分別求得和3，根據(jù)題意，結(jié)合

2VABCABC33V

111C1BDC2

VVV，即可求解

ABCA1B1C1C1BDC.

9

【詳解】（1）證明：連接B1C，交BC1于點E，則E為B1C中點，連接DE，如圖所示，

△

在AB1C中，因為D,E分別為AC,BC1的中點，所以DE∥AB1，

又因為DE面BDC1，且AB1面BDC1，所以AB1//平面BDC1；

（2）解：在正三棱柱ABCA1B1C1中，因為AB2，且B1B3，

可得正三棱柱的體積為32

VSBB2333,

ABCA1B1C1ABC14

又由三棱錐的體積為1113，

C1BDCVSBBSBB

C1BDC3BCD132ABC12

所以剩余部分的體積為53

VVV.

ABCA1B1C1C1BDC2

【考點二：構(gòu)造平行四邊形證線面平行】

一、解答題

1．（24-25高一下·貴州黔南·期中）如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，側(cè)面PAD底面

ABCD，底面ABCD為矩形，AB2AD,E,F分別為AB,PC的中點．

(1)求證：直線EF//平面PAD；

【答案】(1)證明過程見解析

【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形AEFG為平行四邊形，所以EF//AG，證明出線面平行；

【詳解】（1）取PD的中點G，連接AG,FG，

1

因為F為PC的中點，所以FG//CD且FGCD，

2

因為底面ABCD為矩形，AB2AD，E為AB的中點，

1

所以AE//CD且AECD，

2

故AE//FG且AEFG，

10

所以四邊形AEFG為平行四邊形，

所以EF//AG，

因為EF平面PAD，AG平面PAD，

所以EF//平面PAD；

2．（24-25高一下·湖南·期中）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M,N分別是A1B1,AC的中點.

(1)證明：MN∥平面BCC1B1；

(2)若ABBCBB12，且ABBC，求三棱錐ABMN的高.

【答案】(1)證明見解析

4

(2)

3

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出線線平行，再結(jié)合線面平行的判定證明即可；

（2）利用等體積法可求答案.

【詳解】（1）取BC的中點E，連接EN,B1E,

1

因為E,N分別為中點，所以EN//AB且ENAB，

2

因為A1B1//AB，所以EN//A1B1，

因為M為中點，所以EN//B1M且ENB1M，即四邊形ENMB1為平行四邊形，

所以MN//B1E，又MN平面BCC1B1，B1E平面BCC1B1，

所以MN∥平面BCC1B1.

11

（2）因為ABBCBB12，且ABBC，所以BN2，BMMN5;

2

2

所以△的面積為123，

MBN25

222

設(shè)三棱錐ABMN的高為h，則VMABNVAMBN,

1144

S2Sh，解得h，即三棱錐ABMN的高為.

3ABN3MBN33

3．（24-25高一上·北京·期中）如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為BC，AA1的中點.

(1)求證：AD//平面BC1E；

(2)若點F在線段B1E上，且DF//平面ACC1A1，求證：點F為B1E中點.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】（1）取BC1的中點，構(gòu)造平行四邊形AEMD，可得ME//DA，根據(jù)判定定理即可得證；

（2）分別取AB,A1B1,B1C1的中點Q,P,S，構(gòu)造過點D且與平面ACC1A1平行的平面PSDQ，可得

PQB1EF，即可得證.

【詳解】（1）

12

證明：取BC1的中點，連接EM,DM,AD，在三棱柱ABCA1B1C1中，

1

因為M,D分別為BC,BC的中點，則DM//CC，且DMCC，E為AA的中點，

11211

1

則CC1//AA1，且AEAA，則AE//DM且AEDM，

21

則四邊形AEMD為平行四邊形，則ME//DA，

又EM平面BC1E，AD平面BC1E，則AD//平面BC1E.

（2）

證明：分別取AB,A1B1,B1C1的中點Q,P,S，連接DS,SP,PQ,QD，

11

設(shè)BEPQF，則DQ//AC,DQAC，且PS//AC,PSAC，

1211211

則PS//DQ,則D,S,P,Q四點共面，

因為SD//CC1，又SD平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1

則SD//平面ACC1A1，又DQ//AC,DQ平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，

則QD//平面ACC1A1，又QDSDD，

則平面PSDQ//平面ACC1A1，又DF平面ACC1A1，

則DF//平面ACC1A1，又平面PSQD平面ABB1A1PQ，

平面ACC1A1平面ABB1A1AA1，則PQ//AA1，

又P為A1B1的中點，則F為B1E的中點.

4．（23-24高一下·江蘇常州·期末）如圖，三棱柱ABCA1B1C1所有棱長都為2，B1BC60，O為BC中

13

點，D為A1C與AC1交點．

(1)求證：CD//平面AOB1；

【答案】(1)證明見解析；

【分析】（1）取AB1中點E，連接DE,BE,OE，證明四邊形DEOC為平行四邊形，得出CD//OE，從而證

明CD//平面AOB1.

【詳解】（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，取AB1中點E，連接DE,BE,OE，

1

由D,E分別為AC和AB的中點，得DE//BC且DEBC，

1111211

1

由O為BC中點，得OC//BC且OCB1C1，則DE//CO且DECO，

112

即四邊形DEOC為平行四邊形，于是CD//OE，又OE平面AOB1，CD平面AOB1，

所以CD//平面AOB1.

【考點三：利用面面平行證線面平行】

一、解答題

1．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1，ABAD，AB//CD，AB2，AD3，

CD4．

(1)證明：直線A1B//平面DCC1D1；

14

(2)若該四棱柱的體積為36，求A1A的長．

【答案】(1)證明見解析

(2)AA14

【分析】（1）證明出平面AA1B1B//平面DCC1D1，再利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

（2）計算出梯形ABCD的面積，利用柱體的體積可求得AA1的長.

【詳解】（1）證明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1//DD1，

因為AA1平面DCC1D1，DD1平面DCC1D1，所以，AA1//平面DCC1D1，

因為AB//CD，AB平面DCC1D1，CD平面DCC1D1，所以，AB//平面DCC1D1，

因為ABAA1A，AB、AA1平面AA1B1B，所以，平面AA1B1B//平面DCC1D1，

因為A1B平面AA1B1B，因此，A1B//平面DCC1D1.

（2）解：因為AB2，AD3，CD4，ABAD，AB//CD，

ABCDAD243

所以，S9，

梯形ABCD22

所以，VSAA9AA36，解得

ABCDA1B1C1D1梯形ABCD11AA14.

2．（23-24高一下·海南?？凇ぴ驴迹┤鐖D，已知四棱錐SABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E為側(cè)棱SC

的中點.

(1)求證：SA∥平面EDB；

(2)若F為側(cè)棱AB的中點，求證：EF∥平面SAD.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】（1）連接AC，ACBDO，再證明SA//EO即可；

（2）根據(jù)線面平行與面面平行的判定證明平面EOF//平面SAD即可；

【詳解】（1）連接AC,BD，設(shè)ACBDO，因為ABCD是平行四邊形，

所以O(shè)是AC?BD的中點，連接OE，又E為側(cè)棱SC的中點，

所以在SAC中有：SA∥EO，又SA平面EDB,EO平面EDB，

所以SA∥平面EDB.

（2）若F為側(cè)棱AB的中點，且由（1）知O是BD的中點，

15

所以在BAD中有：則AD∥FO，又FO平面SAD,AD平面SAD，

所以FO∥平面SAD，

由（1）知SA∥EO,EO平面SAD,SA平面SAD，

所以EO∥平面SAD.

又EOFOO,EO,FO平面EOF，

所以平面EOF∥平面SAD，又EF平面EOF，所以EF∥平面SAD.

3．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點M,N,Q分別

在PA，BD，PD上．如圖，若Q滿足PQ:QD2，則M點滿足什么條件時，BM∥平面AQC．

【答案】M為PA中點，證明見解析

【分析】當(dāng)M為PA中點時，取PQ中點E，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)、線面平行和面面平行的判定可證得平

面AQC//平面BEM，由面面平行性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】當(dāng)M為PA中點時，BM//平面AQC，

證明如下：連接BD交AC于點O，連接OQ，取PQ的中點E，取PA的中點M，連接BM、ME、BE，

四邊形ABCD為平行四邊形，O為BD中點，E為PQ中點，PQ:QD2，Q為DE中點，OQ//BE，

BE平面BEM，OQ平面BEM，OQ//平面BEM；

16

M,E分別為PA,PQ中點，ME//AQ，

QME平面BEM，AQ平面BEM，AQ//平面BEM，

OQAQQ，AQ,OQ平面AQC，平面AQC//平面BEM，

BM平面BEM，BM//平面AQC.

【考點四：利用線面平行的性質(zhì)證明線線、線面平行】

一、解答題

1．（24-25高一上·湖北隨州·月考）如圖所示，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是

PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H，求證：PA//GH.

【答案】證明見解析

【分析】連接AC交BD于點O，連接OM，先根據(jù)線面平行的判定定理證得PA//平面BMD，再利用線面

平行的性質(zhì)定理即可證明.

【詳解】如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OM，

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以O(shè)是AC的中點，又M是PC的中點，

所以PA//OM，又OM平面BMD，PA平面BMD，

所以PA//平面BMD，

又平面PAHG平面BMDGH，PA平面PAGH，

所以PA//GH.

2．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M

是PC的中點，在線段DM上取一點G（不取端點），過G和AP作平面交平面BDM于GH．求證：GH//

平面PAD．

17

【答案】證明見解析

【分析】作出輔助線，由中位線得到PA//MO，得到線面平行，由線面平行的性質(zhì)得到線線平行，從而GH//

平面PAD．

【詳解】如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴O是AC的中點．

又M是PC的中點，∴PA//MO．

而AP平面BDM，OM平面BDM，

∴PA//平面BMD．

又PA平面PAHG，平面PAHG平面BMDGH，

∴PA//GH．

又PA平面PAD，GH平面PAD，

∴GH//平面PAD．

3．（24-25高一下·江蘇無錫·期中）如圖，四棱錐PABCD中，ABCD是平行四邊形，M是PC的中點．

(1)若AB的中點為N，求證：MN//平面APD；

18

(2)在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，H在BD上，證明：AP//GH．

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

1

【分析】（1）取PD的中點E，得到ME//CD且MECD，進(jìn)而證得ME//AN且MEAN，得到四邊

2

形ANME為平行四邊形，得出MN//AE，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得MN//平面PAD.

（2）連接AC與BD交于點O，得到AP//MO，證得AP//平面BDM，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理，即可證

得AP//GH.

【詳解】（1）證明：如圖所示，取PD的中點E，連接ME,AE，

1

因為M為PC的中點，可得ME//CD且MECD，

2

又因為ABCD為平行四邊形，可得AB//CD且ABCD，

1

所以ME//AB且MEAB，

2

又因為N為AB的中點，可得ME//AN且MEAN，

所以四邊形ANME為平行四邊形，所以MN//AE，

因為MN平面PAD，且AE平面PAD，所以MN//平面PAD.

（2）證明：連接AC與BD交于點O，且O為AC的中點，

由點M為PC的中點，所以AP//MO，

因為AP平面BDM，且MO平面BDM，所以AP//平面BDM，

又因為AP平面AHGP，且平面AHGP平面BDMGH，所以AP//GH.

4．（24-25高一下·江蘇無錫·期中）如圖在四棱錐PABCD中，AB//CD，M,N分別是PA,BC的中點，

CD3AB．

19

(1)求證：MN//平面PCD；

(2)若點F在棱PC上且滿足PFPC，PA//平面BDF，求的值．

【答案】(1)證明見解析

1

(2)

4

【分析】（1）作輔助線，結(jié)合中位線性質(zhì)先證明面面平行，再根據(jù)性質(zhì)得到線面平行；

（2）已知線面平行，利用線面平行的性質(zhì)得到線線平行，再結(jié)合向量關(guān)系求出的值.

【詳解】（1）取AD的中點Q，連接MQ,NQ.

因為M是PA的中點，Q是AD的中點，根據(jù)三角形中位線定理，所以在△PAD中，MQ//PD.

又因為MQ平面PCD，PD平面PCD，所以MQ//平面PCD.

又因為AB//CD，N是BC的中點，Q是AD的中點，根據(jù)梯形ABCD中位線性質(zhì)，得到NQ//CD，

又因為NQ平面PCD，CD平面PCD，所以NQ//平面PCD.

并且NQMQQ，NQ,MQ平面NQM，則平面NQM//平面PCD，且MN平面NQM，

所以MN//平面PCD.

（2）連接AC交BD于點O，連接OF.

因為AB//CD，所以△AOB~△COD.由CD3AB，

AOAB1

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)邊成比例，可得.

OCCD3

因為PA//平面BDF，PA平面PAC，平面PAC平面BDFOF，

根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)所以PA//OF.

PFAO

所以在PAC中，.

PCAC

AO1AOAO11

因為，則.

OC3ACAOOC134

PF1

又因為PFPC，即，所以.

PC4

20

【考點五：利用線段成比例證線面平行】

一、解答題

1．（24-25高一下·安徽蕪湖·月考）如圖，已知在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，四邊形ABCD為

直角梯形.ADCD，AB//CD，ABADPD2，CD4，點E是棱PC上靠近P端的三等分點，點F是

棱PA上點.

(1)證明：PA//平面BDE；

(2)求異面直線BD與PC夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

10

(2)

5

【分析】（1）連接ACBDO，連接OE，利用線面平行的判定，結(jié)合平行線分線段成比例定理推理得

證；

1

（2）在PA上取點G，使AGAP，利用幾何法，結(jié)合余弦定理求出夾角余弦.

3

【詳解】（1）在四棱錐PABCD中，連接ACBDO，連接OE，

AOAB1

在梯形ABCD中，由AB//CD，得，

OCDC2

PE1AO

由點E是棱PC上靠近P端的三等分點，得，則OE//AP，

EC2OC

而AP平面BDE，OE平面BDE，所以PA//平面BDE.

1AG1AO

（2）在PA上取點G，使AGAP，連接OG，則，即OG//PC，

3AP3AC

1

因此DOG是異面直線BD與PC所成的角或其補(bǔ)角，OGPC，

3

21

由PD平面ABCD，AD,CD平面ABCD，得PDAD,PDCD，

12524222

OG2242，DOBD，在△ADG中，AG,DAG45，

33333

2222225

由余弦定理得DG22()222，

3323

122

DO

2310

在等腰DOG中，cosDOG，

OG255

3

10

所以異面直線BD與PC夾角的余弦值是.

5

2．（23-24高一下·江西南昌·期末）如圖，四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PC3EC，點E在底

面ABCD的投影恰好為△BCD的重心F．

(1)求證：EF//平面PAB；

(2)求證：PCBD．

【答案】(1)證明見解析.

(2)證明見解析.

【分析】（1）連接AC交BD于點H,根據(jù)底面ABCD為菱形，因為F為△BCD的重心，所以F在BD上，

可得3CFAC，結(jié)合PC3EC,，根據(jù)線段成比例可得3EFPA,EFPA，所以EF//平面PAB.

（2）因為EF∥PA，所以EF平面BCD,可得PA平面ABCD,PABD，結(jié)合底面ABCD為菱形得

ACBD,所以BD平面PAC,推得PCBD.

【詳解】（1）如圖所示，連接AC交BD于點H,

底面ABCD為菱形，ACBD,AHHC,HBHD,