PAGE1素養(yǎng)拓展01立體幾何建系求點技巧與應(yīng)用知識點01：建系設(shè)點有關(guān)的基礎(chǔ)儲備1、與垂直相關(guān)的定理與結(jié)論（1）線面垂直①如果一條直線與一個平面上的兩條相交直線垂直，則這條直線與該平面垂直②兩條平行線，如果其中一條與平面垂直，那么另外一條也與這個平面垂直③兩個平面垂直，則其中一個平面上垂直交線的直線與另一個平面垂直④直棱柱：側(cè)棱與底面垂直；⑤有一條側(cè)棱垂直于底面的椎體。⑥正三棱柱、正四棱柱：頂點在底面的投影為底面的中心。⑦側(cè)面與底面所成角均相等或側(cè)棱長均相等可得頂點在底面的投影為底面的中心。（2）線線垂直（相交垂直）①正方形，矩形，直角梯形②等腰三角形底邊上的中線與底邊垂直（三線合一）③菱形的對角線相互垂直④勾股定理逆定理：若，則知識點02：建立直角坐標(biāo)系的原則1、軸的選取往往是比較容易的，依據(jù)的是線面垂直，即軸要與坐標(biāo)平面垂直，在幾何體中也是很直觀的，垂直底面高高向上的即是，而坐標(biāo)原點即為軸與底面的交點2、軸的選?。捍藶樽鴺?biāo)是否易于寫出的關(guān)鍵，有這么幾個原則值得參考：（1）盡可能的讓底面上更多的點位于軸上（2）找角：軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件（3）找對稱關(guān)系：尋找底面上的點能否存在軸對稱特點3、常用的空間直角坐標(biāo)系滿足軸成右手系，所以在標(biāo)軸時要注意。4、同一個幾何體可以有不同的建系方法，其坐標(biāo)也會對應(yīng)不同。但是通過坐標(biāo)所得到的結(jié)論（位置關(guān)系，角）是一致的。5、解答題中，在建立空間直角坐標(biāo)系之前，要先證明所用坐標(biāo)軸為兩兩垂直（即一個線面垂直底面兩條線垂直），這個過程不能省略。知識點03：坐標(biāo)的書寫1、能夠直接寫出坐標(biāo)的點（1）坐標(biāo)軸上的點，例如在正方體（長度為1）中的點，坐標(biāo)特點如下：軸：軸：軸：（2）底面上的點：坐標(biāo)均為，即豎坐標(biāo)，由于底面在作立體圖時往往失真，所以要快速正確寫出坐標(biāo)，強(qiáng)烈建議在旁邊作出底面的平面圖進(jìn)行參考：以下圖為例：則可快速寫出點的坐標(biāo)，位置關(guān)系清晰明了2、空間中在底面投影為特殊位置的點如果在底面的投影為，那么（即點與投影點的橫縱坐標(biāo)相同）這條規(guī)律出發(fā)，在寫空間中的點時，可看下在底面的投影點，坐標(biāo)是否好寫。如果可以則直接確定了橫縱坐標(biāo)，而豎坐標(biāo)為該點到底面的距離。例如：正方體中的點，其投影為，而所以，而其到底面的距離為，故坐標(biāo)為以上兩個類型已經(jīng)可以囊括大多數(shù)幾何體中的點，但總還有一些特殊點，那么就要用到第三個方法：3、需要計算的點①中點坐標(biāo)公式：，則中點②利用向量關(guān)系進(jìn)行計算（先設(shè)再求）：向量坐標(biāo)化后，向量的關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可以求出一些位置不好的點的坐標(biāo)，方法通常是先設(shè)出所求點的坐標(biāo)，再選取向量，利用向量關(guān)系解出變量的值，例如：求點的坐標(biāo)，如果使用向量計算，則設(shè)，可直接寫出，觀察向量，而，知識點04：空間直角坐標(biāo)系建立的模型1、墻角模型：已知條件中有過一點兩兩垂直的三條直線，就是墻角模型．建系：以該點為原點，分別以兩兩垂直的三條直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，當(dāng)然條件不明顯時，要先證明過一點的三條直線兩兩垂直(即一個線面垂直面內(nèi)兩條線垂直)，這個過程不能省略．然后建系．2、垂面模型：已知條件中有一條直線垂直于一個平面，就是墻角模型．情形１垂下(上)模型：直線豎直，平面水平，大部分題目都是這種類型．如圖，此情形包括垂足在平面圖形的頂點處、垂足在平面圖形的邊上(中點多)和垂足在平面圖形的內(nèi)部三種情況．第一種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點，垂線的向上方向為z軸，平面圖形的一邊為x軸或y軸，在平面圖形中，過原點作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點)建立空間直角坐標(biāo)系．如圖1-1第二種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點，垂線的向上方向為z軸，垂足所在的一邊為x軸或y軸，在平面圖形中，過原點作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點)建立空間直角坐標(biāo)系．如圖1-2第三種建系方法為以垂足為坐標(biāo)原點，垂線的向上方向為z軸，連接垂足與平面圖形的一頂點所在直線為為x軸或y軸，在平面圖形中，過原點作x軸或y軸的垂線為y軸或x軸(其中很多題目是連接垂足與平面圖形的另一頂點)建立空間直角坐標(biāo)系．如圖1-3圖1－1圖1－2圖1－3情形2垂左(右)模型：直線水平，平面豎直，這種類型的題目很少．各種情況如圖，建系方法可類比情形1．圖2－1圖2－2圖2－3情形3垂后(前)模型：直線水平，平面豎直，這種類型的題目很少．各種情況如圖，建系方法可類比情形1．圖3－1【題型01：直接建系】一、解答題1．（24-25高二上·廣東陽江·月考）如圖，在三棱錐中，平面，，分別是棱，，的中點，，．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求點到平面的距離．2．（24-25高二上·北京房山·期末）如圖，在長方體，，，點為中點．(1)若平面與棱交于點，求證點為的中點；(2)求平面與平面夾角的余弦值．3．（24-25高二下·四川廣安·期中）如圖，平面，，，，，.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的大??；.【題型02：垂面模型Ⅰ—底面是三角形】一、解答題1．（24-25高二下·上海·月考）棱錐中，平面平面，，，是棱的中點.(1)證明：平面;(2)求二面角的余弦值.2．（2025·山東菏澤·一模）如圖，在三棱柱中，分別為的中點.(1)證明：平面；(2)若側(cè)面底面，底面是等邊三角形，側(cè)面是菱形，且，求直線與側(cè)面所成角的正弦值.3．（24-25高二下·江蘇南京·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，直線EA⊥平面ABC，直線DC⊥平面ABC，且EA＝2DC＝，F(xiàn)是線段EB的中點．(1)求證：平面ABC；(2)若直線CF與平面ABC所成角為45°，求平面CEF與平面DEF夾角的余弦值．4．（2025·湖南長沙·一模）在多面體中，已知，且平面與平面均垂直于平面為的中點.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【題型03：垂面模型Ⅱ—底面是常見四邊形】一、解答題1．（24-25高二下·湖南·月考）蒙古包可以近似的看成是由一個圓柱跟一個圓錐拼接而成．如圖，為某一個蒙古包的軸截面，，現(xiàn)沿直線將向上折起得到，得到四棱錐，且P點在平面上的射影在上，E為的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．2．（24-25高二上·山西太原·期中）如圖、四棱錐的底面ABCD是菱形，，.(1)求證：平面平面ABCD；(2)求平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值.3．（24-25高二上·福建泉州·月考）如圖所示：多面體中，四邊形為菱形，四邊形為直角梯形，且，平面，．(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成角的正弦值．4．（24-25高二下·廣東廣州·月考）如圖，在四棱錐中，三角形是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，，，E為PD的中點.(1)證明：平面PAB；(2)若，求直線CE與平面PBC的夾角的余弦值.5．（24-25高二下·江蘇·期中）已知平面四邊形中，，且．以為腰作等腰直角三角形，且，平面平面

(1)證明：平面；(2)已知點是線段上一點，①若平面，求點到平面的距離；②若直線與平面夾角的正弦值是，求二面角的正弦值．6．（24-25高二下·湖南長沙·期中）如圖，在矩形紙片中，，，沿將折起，使點D到達(dá)點P的位置，點P在平面的射影H落在邊上.(1)求三棱錐的體積；(2)若M是棱上的一個動點，是否存在點M，使得平面與平面的夾角正切值為，若存在，求點M到平面的距離；若不存在，請說明理由.【題型04：垂面模型Ⅲ—底面是其他形狀】一、解答題1．（24-25高二下·廣東深圳·期中）圖1是邊長為的等邊三角形，點、分別在、上，且．將沿折起到的位置，連接、，如圖2，若．(1)證明：平面平面；(2)在線段上是否存在點，使直線與平面所成的角為？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．2．（24-25高二上·廣東廣州·月考）在四棱錐中，面面，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．3．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．4．（24-25高二上·湖北·期末）如圖，在五棱錐中，平面平面，，.(1)證明：平面；(2)若四邊形為正方形，且，，為邊的中點，，當(dāng)取何值時，直線與平面所成的角最小.【題型05：垂面模型Ⅳ—在圖形外建系】一、解答題1．（24-25高二下·甘肅·期中）如圖，在三棱錐中，，平面平面，二面角為，已知.(1)求的長；(2)求銳二面角的余弦值.2．（24-25高二下·浙江溫州·期中）如圖，在矩形中，為AD的中點，，將沿BE翻折至的位置，點在上，且(1)求證：平面；(2)若平面平面，求二面角的余弦值.3．（24-25高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在四棱錐中，為的中點，，，，，，.

(1)求平面與平面所成角的正弦值；(2)在線段上是否存在點，使得平面?若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由.4．（24-25高二下·湖南婁底·期中）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側(cè)面為等腰直角三角形，平面平面，且，．

(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【題型06：垂面模型Ⅴ—以圓錐、圓柱、圓臺為載體】一、解答題1．（24-25高二上·浙江寧波·期中）如圖，為圓柱的軸截面，為底面半圓周上一點，為中點，(1)若，求的長(2)若，求平面與平面所成夾角的余弦值2．（24-25高二下·江蘇常州·期中）如圖，圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，為底面圓周上異于一點，且四邊形是邊長為2的正方形．(1)求證：平面；(2)若，求二面角的正弦值．3．（24-25高二上·浙江臺州·月考）如圖，已知矩形是圓柱的軸截面（經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面），點在底面圓周上，，，點是的中點.(1)求點到平面的距離；(2)求二面角的余弦值.4．（24-25高二上·山西大同·期中）如圖，在以為頂點的圓錐中，點是圓錐底面圓的圓心，是圓錐底面圓的直徑，為底面圓周上的兩點，且為等邊三角形，是母線的中點，.(1)求平面ADE與平面ACE的夾角的余弦值；(2)設(shè)AE與PO交于點，求直線CM與平面ADE所成角的正弦值.5．（23-24高二下·安徽宿州·期中）如圖，圓臺上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為2，為圓臺下底面的一條直徑，圓上點C滿足，是圓臺上底面的一條半徑，點P，C在平面的同側(cè)，且.

(1)證明：平面平面；(2)若圓臺的高為2，求直線與平面所成角的正弦值.6．（23-24高二上·福建廈門·月考）如圖，在圓臺中，截面分別交圓臺的上下底面于點，，，四點.點為劣弧的中點.(1)求過點作平面垂直于截面，請說明作法，并說明理由；(2)若圓臺上底面的半徑為1，下底面的半徑為3，母線長為3，，求平面與平面所成夾角的余弦值.一、解答題1．（24-25高二下·河南·期中）如圖，在長方體中，，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．2．（24-25高二下·廣東河源·月考）如圖，在四棱錐中，平面平面，，．(1)證明：直線平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．3．（24-25高二下·江蘇連云港·月考）如圖，在直四棱柱中，，，，，E，F(xiàn)分別為AD，AB的中點.(1)求證：平面平面；(2)若，P是線段上的動點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.4．（24-25高二下·江蘇揚(yáng)州·月考）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為上一點，且．（請用空間向量法予以證明）(1)求證：平面PBC；(2)求證：平面BDE．5．（24-25高二下·云南·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，且.(1)證明：.(2)設(shè)平面與平面的交線為.①證明：.②若為上的點，求與平面所成角的正弦值的最大值.6．（24-25高二下·廣西南寧·月考）如圖，在四棱錐中，平面，底面是邊長為的菱形.分別為的中點，.(1)求證：；(2)若四棱錐的體積為，求平面與平面的夾角.7．（23-24高二上·北京順義·月考）如圖，在直棱柱中，底面是菱形，，分別是棱的中點．(1)求證：平面；(2)若二面角的大小是，求值，并求直線與平面所成角的正弦值．8．（24-25高二下·廣西南寧·開學(xué)考試）如圖，在三棱臺中，平面，，，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．9．（23-24高二下·云南玉溪·月考）在圓錐PO中，高，母線，B為底面圓O上異于A的任意一點.

(1)若，過底面圓心O作所在平面的垂線，垂足為H，求證：平面OHB；(2)若，求二面角的余弦值.10．（2025·海南·三模）如圖，將等腰直角三角形沿斜邊上的中線翻折，得到四面體．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．11．（24-25高二下·浙江·期中）如圖，四棱錐的底面為箏形，面，點為與的交點，且．(1)求證：平面平面；(2)已知為棱上的一點，若，求二面角的余弦值．（注：箏形是指