專(zhuān)題07用空間向量研究夾角問(wèn)題

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：4大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)01：用向量法求空間角

1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角

已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則

ACBDACBD

①cosAC,BD②cos|cosAC,BD|.

|AC||BD|ACBD

2、利用空間向量求異面直線所成角的步驟：

（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，

（2）求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)，

（3）利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角，

（4）結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角．

3、求兩條異面直線所成角的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)

（1）余弦值非負(fù)：兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值，而對(duì)應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角．

（2）范圍：異面直線所成角的范圍是(0,]，故兩直線方向向量夾角的余弦值為負(fù)時(shí)，應(yīng)取其絕對(duì)值．

2

知識(shí)點(diǎn)02：用向量運(yùn)算求直線與平面所成角

設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的角為，則有

1

aau

①cos②sincos.（注意此公式中最后的形式是：sin）

|a|||au

知識(shí)點(diǎn)03：用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角

如圖，若PA于A，PB于B，平面PAB交l于E，則∠AEB為二面角l的平面角，

∠AEB+∠APB=180°.

若n1n2分別為面，的法向量

n1n2

①cosn1,n2

|n1||n2|

②cos根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是鈍二面角；

若二面角為銳二面角（取正），則cos|cosn1,n2|；

若二面角為鈍二面角（取負(fù)），則cos|cosn1,n2|；

一、單選題

2

1．（24-25高二上·內(nèi)蒙古·期末）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中

點(diǎn)，BCCACC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）

3013015

A．B．C．D．

1021510

2．（24-25高二上·湖北省直轄縣級(jí)單位·期末）已知正三棱柱ABCABC的各條棱長(zhǎng)均相等，棱CC的中

點(diǎn)為D，則直線AC與直線BD所成的角的余弦值為（）

135

A．0B．C．D．

435

3．（24-25高二下·湖北·月考）在四面體ABCD中，CACBCDBD2，ABAD2，則異面直線

AB與CD所成角的余弦值為（）

22

A．B．

34

142

C．D．-

44

4．（24-25高二下·浙江杭州·期中）長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12AD，點(diǎn)E,F分別是棱CD和BB1

的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面ADD1A1（包括邊界）移動(dòng)．若FEEP，則異面直線EP與AB所成角的余弦值的最大

值為（）

6522

A．B．C．D．

3332

5．（24-25高二下·福建寧德·期中）如圖，在四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1平面

1π

ABCD,AAABAB1,ABC，直線AC與直線BB所成角的余弦值為（）

111231

2265

A．B．C．D．

4225

一、單選題

1．（24-25高二下·福建龍巖·期中）若直線l的一個(gè)方向向量為u1,0,3，平面的一個(gè)法向量為

n(0,0,1)，則l與所成的角為（）

πππ2ππ5π

A．B．C．或D．或

633366

3

2．（24-25高二上·山東濟(jì)寧·月考）在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，PA底面

ABCD,PABC,E,F分別為CD,PC的中點(diǎn)，則直線PE與平面ABF所成角的正弦值為（）

12222

A．B．C．D．

3336

3．（24-25高二上·廣西河池·月考）在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，

∥

ABCD,ADDCBC2，ABA1A4，E為棱AA1的中點(diǎn)，則BB1到平面EDB1的夾角余弦值為（）

307010310

A．B．C．D．

10101010

二、解答題

4．（24-25高二下·廣東廣州·月考）如圖，在四棱錐PABCD中，三角形PAD是以AD為斜邊的等腰直角

三角形，BC//AD，CDAD，AD2DC2CB2，E為PD的中點(diǎn).

(1)證明：CE//平面PAB；

(2)若PAB60，求直線CE與平面PBC的夾角的余弦值.

5．（24-25高二下·廣東深圳·期中）圖1是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且

△

ADCE1．將VADE沿DE折起到A1DE的位置，連接A1B、A1C，如圖2，若A1C22．

4

(1)證明：平面A1DB平面BCED；

o

(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使直線PA1與平面A1BD所成的角為60？若存在，求PB的長(zhǎng)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由．

6．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，平面C1AB平面ABC.

(1)證明：BC1A1C1；

(2)若ABAC2,BC126，且CC1與平面ABC所成角為60，求BA1與CC1所成角的余弦值．

一、單選題

1

1．（24-25高二上·廣東湛江·期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDABCD中，若BPBC，則平面ABP

11111311

與平面A1B1P夾角的余弦值（）

2323

A．B．C．D．

3456

2．（24-25高二上·北京·月考）如圖，三棱錐ABCD中，ABBCACDBDC，且平面ABC與底面BCD

垂直，E為BC中點(diǎn)，EF∥AD，則平面ADB與平面ABF夾角的余弦值為（）

5256

A．B．C．D．1

553

二、解答題

3．（24-25高二下·遼寧朝陽(yáng)·期中）如圖所示，AE平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，

BC∥AD,BAAD,AEAD2AB2BC4.

5

(1)求證：CF∥平面ADE；

(2)求平面CDF與平面AEFB所成角的正弦值.

2π

4．（24-25高二下·甘肅白銀·期中）如圖，在四棱錐PABCD中，PAAB，PCCD，BC//AD，BAD，

3

1uuuruuur

PAABBCAD，PD3PM．

2

(1)證明：CDPA．

(2)證明：PB//平面MAC．

(3)求平面MAC與平面PAB夾角的余弦值．

5．（24-25高二下·福建莆田·期中）如圖所示，半圓柱OO1與四棱錐ABCDE拼接而成的組合體中，F(xiàn)是

半圓弧BC上（不含B，C）的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)G為圓柱的一條母線，點(diǎn)A在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，OB2OO12，

ABAC22．

(1)求證：CGBF；

(2)若DF//平面ABE，求平面FOD與平面GOD夾角的余弦值.

6．（24-25高二上·江蘇常州·期中）如圖，在三棱錐PABC中，ABAC,D為BC的中點(diǎn)，平面PAD平

面PBC.

6

(1)證明：PBPC；

(2)若二面角PBCA的大小為45,BC22,PAPD1，求平面PAB與平面PAC的夾角的正弦值.

一、解答題

1．（24-25高二上·湖南永州·期末）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，

DPDC2，ADBP1．

(1)求線段AD的長(zhǎng)；

2DE

(2)線段AD上是否存在點(diǎn)E，使得平面PEB與平面PAD夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若

6DA

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC5，BC2，側(cè)面BB1C1C

2π

是正方形，D為BC的中點(diǎn)，二面角ABCB的大小是．

13

(1)求證：平面AA1D平面ABC；

33

(2)線段BC上是否存在一個(gè)點(diǎn)E，使直線C1E與平面ACC1A1所成角的正弦值為．若存在，求出BE的長(zhǎng)；

10

7

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

3．（24-25高二下·甘肅天水·期中）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，ND

π

平面ABCD，DAB，AD2，AM1，E為AB的中點(diǎn).

3

(1)求平面EMC與平面MBC夾角的余弦值；

π

(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使直線PE與平面MBC所成的角為?若存在，求出PE的長(zhǎng)；若不存在，

3

請(qǐng)說(shuō)明理由.

4．（23-24高二上·安徽六安·期中）如圖，在四棱錐SABCD中，四邊形ABCD是矩形，SAD是正三角

23

形，且平面SAD平面ABCD，AB1，P為棱AD的中點(diǎn)，四棱錐SABCD的體積為.

3

(1)若E為棱SB的中點(diǎn)，求證：PE//平面SCD；

21

(2)在棱SA上是否存在點(diǎn)M，使得直線SA與平面PMB所成角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)M的位置

7

并給以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5．（24-25高二上·北京·期中）圖1是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，將ACD沿AC折起得到如圖2所示的

三棱錐PABC，且PB2.

8

(1)證明：平面PAC平面ABC；

53AM

(2)棱PA上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角MBCA的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，

9AP

請(qǐng)說(shuō)明理由.

6．（24-25高二下·四川內(nèi)江·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB2AD2CD4，將

DAC沿AC翻折至PAC，使得平面PAC平面BAC.

(1)求證：平面PAC平面PBC；

(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；

3AQ

(3)點(diǎn)Q在棱AB（不包含端點(diǎn)）上，且平面PCQ與平面BCQ所成角的余弦值為，求的值.

4AB

7．（24-25高二下·江蘇泰州·期中）如圖1，在矩形ABCD中，AB2AD23，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，將VADE

沿DE折起到△PDE的位置（如圖2），使得PC10.

(1)求證：DEPC；

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

5

(3)設(shè)PFPC01，若二面角PEFD的正弦值為，求實(shí)數(shù)的值.

26

9

一、單選題

1．（24-25高二上·山東·月考）已知平面，的法向量分別為n12,1,3，n21,3,2，則平面，

的夾角的大小為（）

52

A．B．C．D．

6336

2．（24-25高二上·青海西寧·月考）在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足A1E3EB1，C1F3FD1，

則BE與DF所成角的正弦值為（）

891215

A．B．C．D．

17171717

3．（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱錐ABCD中，AB平面BCD，BCCD，且ABBCCD，

M為AD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（）

2332

A．B．C．D．

3344

4．（24-25高二上·江蘇無(wú)錫·期中）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為

線段CC1上的一點(diǎn)，且A1CEF，則直線BF與直線A1C所成角的余弦值為（）

36115

A．B．C．D．

1515515

5．（24-25高二上·河北張家口·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在正四棱錐PABCD中，PA2AB,E為PC的中點(diǎn)，

則異面直線BE與AC所成角的余弦值為（）

10

62632

A．B．C．D．

6434

6．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）如圖，四邊形ABCD,ABBDDA4,BCCD22，現(xiàn)將△ABD沿

ππ

BD折起，當(dāng)二面角ABDC的大小在[,]時(shí)，直線AB和CD所成角為，則cos的最大值為（）

63

22622266

A．B．C．D．

168168

二、解答題

7．（2025·河南焦作·三模）如圖，在圓錐CO中，平面ABC是軸截面，D為底面圓周上一點(diǎn)（與A,B不重

合），E為AD的中點(diǎn)．

(1)求證：AD平面COE；

π

(2)若AB4,CO3,DAB，求平面COE與平面CBD的夾角的大小．

6

8．（24-25高二下·江蘇南京·期中）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，P是CC1的中點(diǎn)，VABC、BCC1均

為邊長(zhǎng)為4的正三角形，且AC126.

11

(1)求證：平面ABC平面BB1C1C；

(2)求直線A1B與平面PAB所成角的正弦值．

9．（24-25高二下·四川成都·期中）在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，ADAB，

1

側(cè)面PAB底面ABCD，PAPBADBC2，且E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)，

2

(1)證明：DE//平面PAB；

(2)若直線PF與平面ABCD所成的角為30，求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

10．（24-25高二下·云南曲靖·期中）如圖，在四棱錐PABCD中，AB//CD，AB2CD，PCBC，平

面PAB平面PAB平面PBC.

(1)證明：PDAD；

(2)若ABAD，PA23，ADCD2，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值.

11．（24-25高二下·浙江·期中）如圖1，在平面五邊形ABCDE中，AEBD，且DE4，EDB60，

5

CDBC27，cosDCB，將△BCD沿BD折起，使點(diǎn)C到點(diǎn)P的位置，且EP23，得到如圖2所

7

示的四棱錐PABDE.

12

(1)求證:PE平面ABDE；

(2)若AE2，求平面PAB與平面PBD所成銳二面角的余弦值.

12．（24-25高二上·江蘇無(wú)錫·期中）在如圖所示的多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，在梯形ABEF

中，AF//BE,AFAB,ABBE2AF2，平面ABEF⊥平面ABCD.

(1)證明：BDCF；

π

(2)若直線BC與平面ACF所成的角為，點(diǎn)N為CF中點(diǎn)，求異面直線DN與CE所成角的余弦值；

3

(3)在（2）的條件下，試探究在棱BE(不含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)M，使得平面ACF與平面CFM夾角的余

1

弦值為？若存在，求出BM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4

13．（24-25高二上·