專題10直線的傾斜角與斜率

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強知識：7大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

知識點01：直線的傾斜角

1、傾斜角的定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們把x軸稱為基準(zhǔn)，x軸的正向與l向上的方向之間所產(chǎn)生的

角叫做直線l的傾斜角．

2、傾斜角的范圍

當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°．因此，直線的傾斜角的取值范圍為

0180，具體如下：

傾斜角00909090180

圖示

知識點02：直線的斜率

1、斜率的定義：我們把一條直線的傾斜角（90）的正切值叫做這條直線的斜率，常用小寫字母k表

示，即ktan．

2、傾斜角與斜率的關(guān)系

直線的情況平行于x軸由左向右上升垂直于x軸由左向右下降

的大小00909090180

k的取值范圍k0k0不存在k0

k的增減性—k隨的增大而增大—k隨的增大而減增大

3、傾斜角與斜率的區(qū)別和聯(lián)系

（1）每條直線都有唯一的傾斜角，但不是所有的直線都有斜率，傾斜角為90°的直線沒有斜率；

1

（2）不同的傾斜角對應(yīng)不同的斜率，當(dāng)傾斜角不是90°時，傾斜角的正切值是斜率，此時斜率和傾斜角可

以互相轉(zhuǎn)化．因此，確定一條不垂直于x軸的直線，只要知道直線上的一個點和直線的斜率即可．

知識點03：過兩點的直線的斜率公式

yy

、斜率公式：經(jīng)過兩點、的直線的斜率公式為21．

1P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1x2)k

x2x1

2、對斜率公式的理解

（）當(dāng)時，直線與軸垂直，直線的傾斜角為，斜率不存在，此時公式不適用．因此，在研究

1x1x2x90°

直線的斜率問題時，一定要注意斜率的存在與不存在兩種情況．

（）直線的斜率公式中的值與，兩點都在該直線上的位置無關(guān)，即在直線上任取不同的兩點，其斜

2kP1P2

率均不變．

（3）斜率公式與兩點坐標(biāo)的順序無關(guān)，即兩縱坐標(biāo)和兩橫坐標(biāo)在公式中的順序可以同時調(diào)換，也就是說，

yyyy

如果分子式，分母必須是；如果分子是，分母必須是，即2112．

y2y1x2x1y1y2x1x2k

x2x1x1x2

3、直線的斜率與方向向量的關(guān)系

我們知道直線上的向量以及與它平行的向量都是直線的方向向量，直線的方向向量的坐

P1P2P1P2P1P2P1P2

標(biāo)為(xx,yy)．當(dāng)直線PP與x軸不垂直時，此時向量1也是直線PP的方向向量，且它的

212112P1P212

x2x1

1yy

坐標(biāo)，即21，其中是直線的斜率．因此，若直線的斜率為

(x2x1,y2y1)(1,)(1,k)kP1P2l

x2x1x2x1

y

k，它的一個方向向量的坐標(biāo)為(x,y)，則斜率為k．

x

2

一、單選題

1．（23-24高二上·江蘇·開學(xué)考試）已知點A2,0，B0,4，若過P6,8的直線l與線段AB相交，則直

線斜率k的取值范圍為（）

A．k1B．k2C．k2或k1D．1k2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求出直線PA，PB的斜率，結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，A2,0，B0,4，P6,8，

8084

則k1，k2，

PA62PB60

結(jié)合圖象可得直線的斜率k的取值范圍是1k2.

故選：D.

3

2．（24-25高二下·湖南岳陽·開學(xué)考試）經(jīng)過點P0,1作直線l，若直線l與連接A1,2，B2,1兩點的

線段總有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍是（）

A．1,1B．（1，1）C．（，-1）（1，）D．[1，+）

【答案】A

【分析】先求得kPA,kPB，再利用數(shù)形結(jié)合法求解.

1211

【詳解】k1,k1，

PA01PB02

如圖所示：

由圖知：若直線l與連接A1,2，B2,1兩點的線段總有公共點，

則直線l的斜率k的取值范圍是1,1，

故選：A

3．（24-25高二上·河北·月考）已知點A3,4，點B10,5，直線l過點O0,0且與線段AB相交，則直線

l的斜率的取值范圍為（）

4141

A．,B．,,

3232

14

C．,D．,

23

4

【答案】B

【分析】根據(jù)兩點斜率公式，即可結(jié)合圖形，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系求解.

14

【詳解】由于k,k,

OB2OA3

結(jié)合圖形關(guān)系可知：要使直線l過點O0,0且與線段AB相交，

41

則直線l的斜率k或k，

32

故選：B

4．（24-25高二上·重慶巫溪·期中）已知兩點A3,2，B2,1，過點P0,1的直線l與線段AB（含端點）

有交點，則直線l的傾斜角的取值范圍為（）

πππππ3ππππ3π

A．,B．,C．,D．,,

4242444224

【答案】C

【分析】分別求出P點與線段AB端點所成直線的斜率，即可得直線的斜率范圍，再由傾斜角與斜率關(guān)系求

傾斜角范圍即可求解.

【詳解】如圖：

2111

因為k1，k1，所以k,11,.

PA30PB20l

設(shè)直線l的傾斜角為θ，則θ0,π，且tanθ,11,.

π3π

所以θ,.

44

故選：C

一、單選題

1．（24-25高二上·廣東汕頭·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線x1的斜率為（）

5

A．0B．1C．90D．不存在

【答案】D

【分析】根據(jù)給定直線的特征確定其斜率情況.

【詳解】直線x1垂直于x垂直，所以直線x1的斜率不存在.

故選：D

3

2．（24-25高二下·云南文山·月考）已知直線l的斜率為，則直線l的傾斜角為（）

3

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

【答案】A

【分析】由傾斜角與斜率關(guān)系即可求解.

3ππ

【詳解】設(shè)傾斜角為，0π，則tan，解得，故傾斜角為，

366

故選：A.

3．（24-25高二上·遼寧鞍山·期中）經(jīng)過A0,1,B2,5兩點的直線的斜率為（）

11

A．2B．2C．D．

22

【答案】B

【分析】代入斜率公式求解即可

514

【詳解】經(jīng)過A0,1,B2,5兩點的直線的斜率為k2，

202

故選：B

π

4．（24-25高二上·福建福州·月考）若經(jīng)過兩點A3,y1、B2,1的直線的傾斜角為，則y等于（）

4

A．3B．2C．0D．1

【答案】D

【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系可求斜率，再結(jié)合兩點斜率公式列方程求y.

【詳解】因為經(jīng)過兩點A3,y1，B2,1的直線的傾斜角為，

4

π

所以直線AB的斜率ktan1

4

y11

所以tan1，解得y1.

432

故選：D.

5．（24-25高二上·山東·期中）過Am22,m23,B3mm2,2m兩點的直線l的傾斜角為45，則m（）

A．2B．1C．2或1D．2

6

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由直線斜率的計算公式代入計算，然后檢驗，即可得到結(jié)果.

m232m

【詳解】由題意可得，1，化簡可得m23m20，

m223mm2

解得m1或m2，

當(dāng)m1時，A3,2,B3,2，兩點重合，故舍去.

所以m2.

故選：A

6．（23-24高二上·四川綿陽·月考）已知直線l經(jīng)過點P2,1,Q4,5兩點．直線m的傾斜角是直線l的傾斜

角的2倍，則直線m的斜率為（）

4444

A．B．C．D．

3355

【答案】A

【分析】根據(jù)兩點求解斜率，即可根據(jù)二倍角公式求解.

51

【詳解】由P2,1,Q4,5得k2，設(shè)l的傾斜角為，

PQ42

所以tan2，

2tan4

故tan2，

1tan23

4

故直線m的斜率為，

3

故選：A

7．（24-25高二下·安徽淮北·開學(xué)考試）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉

索的合力方向與中央索塔一致.如圖，一座斜拉橋共有10對拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列，已知拉索上端相鄰

兩個錨的間距PiPi1i1,2,3,,9均為4m，拉索下端相鄰兩個錨的間距AiAi1、BiBi1i1,2,3,,9均為

16m，最短拉索P1A1滿足OP160m，OA196m，若建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則最長拉索P10B10所

在直線的斜率為（）

15252

A．B．C．D．

516645

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，計算即可得答案.

7

【詳解】依題意，OA10OA1A1A1096916240m，

OP10OP1P1P10609496m，則點B10240,0，P100,96，

0962

所以拉索P10B10所在直線的斜率k.

P10B1024005

故選：D

一、單選題

1．（24-25高二上·寧夏吳忠·期中）已知直線l的傾斜角為60，方向向量a3,y．則y（）

333

A．33B．3C．D．

22

【答案】A

【分析】根據(jù)直線的傾斜角可得直線斜率，再根據(jù)方向向量可得直線斜率，即可求解.

【詳解】直線l的傾斜角為60，所以ktan603，

y

方向向量a3,y，則3，y33.

3

故選：A.

2．（24-25高二下·云南昆明·月考）經(jīng)過A(0,2),B(a,0)兩點的直線的方向向量為n(1,2)，則a的值為（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用方向向量的定義列式求解.

【詳解】由點A(0,2)，B(a,0)，得AB(a,2)，由直線AB的方向向量為n(1,2)，

得AB//n，因此2a2，所以a1.

故選：A

3．（24-25高二上·重慶·期中）已知點A1,23，B4,3，若AB是直線l的方向向量，則直線l的傾斜

角為（）

A．150B．120C．60D．30

【答案】A

【分析】根據(jù)兩點坐標(biāo)得到向量坐標(biāo)，即可求得該直線的傾斜角.

【詳解】已知點A1,23，B4,3，則AB3,3，

3

斜率ktan，又直線l的傾斜角0,180°，

3

則直線l的傾斜角150.

故選：A.

8

二、多選題

4．（24-25高二上·北京順義·期中）直線l:xy40的一個方向向量（）

A．(1,1)B．(1,1)

C．(1,1)D．(1,1)

【答案】CD

【分析】若直線斜率為k，則(1,k)為直線的一個方向向量，同時與向量(1,k)平行的非零向量都是直線的方

向向量，由此可確定選項.

【詳解】由直線方程可得直線斜率k1，故直線的一個方向向量為(1,1).

由向量(1,1)與向量(1,1)平行，可知(1,1)也是直線的方向向量.

故選：CD.

2π

5．（23-24高二上·廣東深圳·期中）已知直線l的傾斜角為，則l的方向向量可能為（）

3

A．1,3B．3,1

C．2,23D．23,2

【答案】AC

【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系求解.

2π

【詳解】由題意得l的斜率為tan3，

3

3

對A，對應(yīng)的斜率為3，A正確；

1

13

對B，對應(yīng)的斜率為，B錯誤；

33

23

對C，對應(yīng)的斜率為3，C正確；

2

23

對D，對應(yīng)的斜率為，D錯誤；

233

故選:AC.

一、單選題

1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（）

①直線的傾斜角的取值范圍是0,π；

②平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率；

③直線的傾斜角越大，其斜率就越大.

9

A．①B．②③C．①③D．①②

【答案】D

【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系逐項分析判斷即可．

【詳解】對于①，直線的傾斜角的范圍為0,π，①正確；

對于②，平面內(nèi)所有直線都有傾斜角，當(dāng)傾斜角為90時沒有斜率，②正確；

對于③，傾斜角為銳角時斜率為正，傾斜角為鈍角時斜率為負(fù)，③錯誤.

故選：D.

2．（24-25高二上·天津紅橋·月考）如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（）

A．k1k2k3B．k3k1k2C．k3k2k1D．k1k3k2

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象結(jié)合斜率及傾斜角的關(guān)系分別判斷即可.

【詳解】設(shè)直線l1,l2,l3的傾斜角為1,2,3，由圖可知032901180，所以

tan10,tan2tan30，即0k3k2，k10，所以k1k3k2．

故選：D

3．（24-25高二上·河北張家口·期中）如圖，直線l1，l2，l3，l4的斜率分別為k1，k2，k3，k4，則（）

A．k1k2k3k4B．k2k1k3k4

C．k1k2k4k3D．k2k1k4k3

【答案】D

【分析】由圖可知直線l1,l2的傾斜角為鈍角，斜率為負(fù)，直線l3,l4的傾斜角為銳角，斜率為正，以及根據(jù)傾

斜角的大小判斷斜率的大小可得答案.

【詳解】直線l1,l2的傾斜角為鈍角，斜率為負(fù)，且直線l1的傾斜角大于直線l2的傾斜角，

10

直線l3,l4的傾斜角為銳角，斜率為正，直線l3的傾斜角大于直線l4的傾斜角，

所以k2k10k4k3．

故選：D.

4．（24-25高二上·福建·期中）已知直線l過點P(1,3)，Q(2,m)，若l的傾斜角的取值范圍是30,60，

則m的取值范圍是（）

3343323

A．,B．,23C．,23D．,3

64333

【答案】B

【分析】根據(jù)斜率公式構(gòu)建不等式組即可求出m的取值范圍.

3m343

【詳解】由題設(shè)有3即m23，

3213

故選：B.

5．（23-24高二上·江西九江·月考）已知直線l的斜率k1,3，則l的傾斜角的取值范圍為（）

π3ππ3ππ3ππ3π

A．,B．,C．0,,πD．0,,π

34643464

【答案】C

【分析】利用斜率的定義得到直線傾斜角的正切值的范圍，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】設(shè)l的傾斜角為，則0,π，且ktan1,3，

π3π

如圖，由正切函數(shù)的性質(zhì)知0,,π.

34

故選：C.

6．（24-25高二上·河南駐馬店·期中）已知直線l的傾斜角滿足60135，則l的斜率k的取值范圍

是（）

A．[1,3)B．[3,1]

C．(,1](3,)D．(,3](1,)

【答案】C

【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系ktan，為傾斜角，分別求出傾斜角在60和135時斜率的值，

11

再根據(jù)正切函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性確定斜率的取值范圍.、

【詳解】當(dāng)60時，ktan603.

當(dāng)135時,ktan1351.

因為ytan在[60,90)上單調(diào)遞增，在(90,135]上也單調(diào)遞增.

當(dāng)6090時，ktantan603；

當(dāng)90135時，ktantan1351.

所以k的取值范圍是(,1][3,).

故選：C.

一、單選題

1．（23-24高二上·江蘇·開學(xué)考試）已知點A2,0，B0,4，若過P6,8的直線l與線段AB相交，則直

線斜率k的取值范圍為（）

A．k1B．k2C．k2或k1D．1k2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求出直線PA，PB的斜率，結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，A2,0，B0,4，P6,8，

8084

則k1，k2，

PA62PB60

結(jié)合圖象可得直線的斜率k的取值范圍是1k2.

故選：D.

2．（24-25高二下·湖南岳陽·開學(xué)考試）經(jīng)過點P0,1作直線l，若直線l與連接A1,2，B2,1兩點的

線段總有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍是（）

A．1,1B．（1，1）C．（，-1）（1，）D．[1，+）

【答案】A

【分析】先求得kPA,kPB，再利用數(shù)形結(jié)合法求解.

12

1211

【詳解】k1,k1，

PA01PB02

如圖所示：

由圖知：若直線l與連接A1,2，B2,1兩點的線段總有公共點，

則直線l的斜率k的取值范圍是1,1，

故選：A

3．（24-25高二上·河北·月考）已知點A3,4，點B10,5，直線l過點O0,0且與線段AB相交，則直線

l的斜率的取值范圍為（）

4141

A．,B．,,

3232

14

C．,D．,

23

【答案】B

【分析】根據(jù)兩點斜率公式，即可結(jié)合圖形，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系求解.

14

【詳解】由于k,k,

OB2OA3

結(jié)合圖形關(guān)系可知：要使直線l過點O0,0且與線段AB相交，

41

則直線l的斜率k或k，

32

故選：B

4．（24-25高二上·重慶巫溪·期中）已知兩點A3,2，B2,1，過點P0,1的直線l與線段AB（含端點）

有交點，則直線l的傾斜角的取值范圍為（）

13

πππππ3ππππ3π

A．,B．,C．,D．,,

4242444224

【答案】C

【分析】分別求出P點與線段AB端點所成直線的斜率，即可得直線的斜率范圍，再由傾斜角與斜率關(guān)系求

傾斜角范圍即可求解.

【詳解】如圖：

2111

因為k1，k1，所以k,11,.

PA30PB20l

設(shè)直線l的傾斜角為θ，則θ0,π，且tanθ,11,.

π3π

所以θ,.

44

故選：C

一、單選題

1．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三點A(2,1)，B(4,3)，C(5,k)在同一條直線上，則k的值為（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的條件，利用kABkBC列式計算即得.

3(1)k3

【詳解】由A(2,1)，B(4,3)，C(5,k)三點共線，得kk，即，解得k5．

ABBC4254

故選：B

2．（24-25高二上·浙江臺州·期末）臺州學(xué)子黃雨婷奪得巴黎奧運會10米氣步槍比賽1金1銀兩塊獎牌后，

10米氣步槍射擊項目引起了大家的關(guān)注.在10米氣步槍比賽中，瞄準(zhǔn)目標(biāo)并不是直接用眼睛對準(zhǔn)靶心，而

是通過覘孔式瞄具來實現(xiàn).這種瞄具有前后兩個覘孔（覘孔的中心分別記為點A,B），運動員需要確保靶紙

上的黑色圓心（記為點C）與這兩個覘孔的中心對齊，以達(dá)到三圓同心的狀態(tài).若某次射擊達(dá)到三圓同心，

3489

且點A0,，點B,，則點C的坐標(biāo)為（）

2550

14

911

A．10,B．10,5C．10,D．10,6

22

【答案】B

【分析】由題意A,B,C三點共線，結(jié)合兩點式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可.

3489

【詳解】由題意A,B,C三點共線，設(shè)C10,t，因為A0,，B,，

2550

8933

t

50272

所以kABkAC，解得t5，所以C10,5.

4

020100

5

故選：B

3．（23-24高二上·江蘇鹽城·月考）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA,BB,CC,DD是桁，相鄰桁的

水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中DD1,CC1,BB1,AA1是舉，

DDCCBBAA

1111

OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為0.3,k1,k2,k3.已知

OD1DC1CB1BA1

k2k1k3k2，且直線OA的斜率為0.9，則k2（）

A．1.1B．1.0C．0.9D．0.8

【答案】A

【分析】不妨設(shè)OD1DC1CB1BA11，根據(jù)k1k2k33k2以及斜率公式，建立方程，可得答案.

【詳解】因為k2k1k3k2，所以k1k2k33k2，

不妨設(shè)OD1DC1CB1BA11，則DD10.3,CC1k1,BB1k2,AA1k3．

DD1CC1BB1AA10.3kkk

由題意，知0.9，即1230.9．

OD1DC1CB1BA14

15

解得k21.1．

故選：A．

二、填空題

4．（24-25高二上·河南周口·月考）已知a0，平面內(nèi)三點A(0,a),B(1,a2),C(3,2a3)共線，則a．

【答案】2

【分析】由kABkAC求解即可.

【詳解】解：因為A(0,a),B(1,a2),C(3,2a3)三點共線，

2a3a

所以ka2a,k，

ABAC3

又因為kABkAC，

2a3a

所以a2a，

3

整理得：2a33a22a0，

即a(2a1)(a2)0，

又因為a0，

解得a2.

故答案為：2

5

5．（23-24高二·全國·課堂例題）已知A2m,，B4,1，C4,m三點在同一條直線上，則實數(shù)m的

2

值為．

【答案】357

2

【分析】根據(jù)題意結(jié)合斜率公式運算求解.

【詳解】由題意易得A，B，C三點所在直線不可能垂直于x軸，因此其中任意兩點所確定的直線斜率都存

在，

設(shè)直線AB，BC的斜率分別為kAB，kBC．

5

11mm1

由斜率公式可得27，kBC．

kAB448

2m44m8

7m1

因為A，B，C三點在同一條直線上，則kk，即，

ABBC4m88

357357

整理得m23m120，解得m或．

22

357

故答案為：.

2

16

一、單選題

y2

1．（23-24高二上·黑龍江大慶·月考）已知點A(13,1),B(3,0)，若點M(x,y)在線段AB上，則的

x1

取值范圍是（）

11

A．,[3,)B．1,

22

11

C．(,1][3,)D．,

22

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，即可求解

y2

【詳解】可看作M(x,y)與N(1,2)的斜率，

x1

12201

則kAN3，k，

131BN132

因為點M(x,y)在線段AB上，

y21

所以的取值范圍為,[3,)，

x12

故選：A

f(a)f(b)f(c)

2．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)log(x1)，且cba0，則，，的大

2abc

小關(guān)系是（）

fafbfcfcfbfa

A．B．

abccba

fbfafcfafcfb

C．D．

bacacb

【答案】A

f(a)f(b)f(c)

【分析】把，，分別看作函數(shù)f(x)log(x1)圖象上的點與原點確定直線的斜率，結(jié)合圖

abc2

象即可得答案．

f(x)f(x)0f(x)

【詳解】由，得的幾何意義是過點(x,f(x))(x0)和原點(0,0)的直線的斜率，

xx0x

17

畫出函數(shù)f(x)log2(x1)的圖象，如圖，

f(a)f(b)f(c)

直線l,l,l的斜率分別為k，k，k，而kkk，

1231a2b3c123

f(a)f(b)f(c)f(a)f(b)f(c)

所以，，的大小關(guān)系是.

abcabc

故選：A

xy11

3．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）點Mx1,y1在函數(shù)ye的圖象上，當(dāng)x10,1時，可能等于（）

x11

A．1或2B．1或3C．2或3D．0

【答案】C

【分析】先畫出指數(shù)函數(shù)圖象再結(jié)合斜率公式數(shù)形結(jié)合得出范圍.

y11

【詳解】表示點Mx1,y1與點A1,1所成直線的斜率k，

x11

x

又Mx1,y1是ye在x10,1部分圖象上的動點，

如圖，當(dāng)M接近B1,e時，k，

11

當(dāng)M為0,1時，k2，則k,2，只有C滿足.

01

故選：C.

二、填空題

y

4．（24-25高二上·山東青島·月考）已知A2,3,B1,2，若點Px,y在線段AB上，則的最小值

x3

為．

【答案】3

y

【分析】表示線段AB上點Px,y和點E3,0連線的斜率，進而由數(shù)形結(jié)合即可求解.

x3

18

y

【詳解】表示線段AB上點Px,y和點E3,0連線的斜率，

x3

如圖:

由圖形可知，當(dāng)點P與A重合時PE的斜率最小，

30

又A2,3,E3,0，所以k3，

AE23

y

故的最小值為3.

x3

故答案為：3.

y

5．（24-25高二上·河南·月考）已知實數(shù)x,y滿足x3y70，且1x2，則的最小值為.

x3

【答案】3

y

【分析】為線段x3y701x2上的點x,y與點3,0的連線的斜率，畫出相應(yīng)圖形，易得k

x3AC

y

即為的最小值，計算即可得.

x3

y

【詳解】為線段x3y701x2（如圖中的AB）上的點x,y與點3,0的連線的斜率，

x3

y

如圖，當(dāng)點x,y在A點時，取最小，此時A2,3，

x3

y3y

則3，即的最小值為3.

x323x3

故答案為：3.

19

一、單選題

1．（24-25高二上·云南西雙版納·期末）直線y2025的傾斜角為（）

A．180B．0C．90D．45

【答案】B

【分析】根據(jù)傾斜角的概念即可得到答案.

【詳解】直線y2025的傾斜角為0.

故選：B.

2．（24-25高二上·湖北·期末）已知兩點A2,t,B1,0,tR，直線AB的傾斜角為120，則實數(shù)t等于（）

33

A．B．3C．D．3

33

【答案】B

【分析】利用兩點的斜率公式及直線的斜率定義即可求解.

t0

【詳解】由題，直線AB的斜率為kt，又ktan120o3，

21

t3.

故選：B.

3．（24-25高二上·福建寧德·月考）若直線AB的一個法向量是a(3,1)，則該直線的傾斜角為（）

A．60B．90C．120D．150

【答案】A

20

【分析】根據(jù)法向量寫出一個方向向量，結(jié)合方向向量與斜率及傾斜角關(guān)系求傾斜角大小.

【詳解】由直線法向量為a(3,1)，則直線的一個方向向量為(1,3)，

π

若直線傾斜角為