8．5橢圓1．理解橢圓的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程．2．掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、軸長(zhǎng)、離心率）.3．掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用．1．橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)項(xiàng)目焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b，長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a離心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0，1)，e越接近1，橢圓越扁平3.在用橢圓定義時(shí)，若|F1F2|＝2a，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不是橢圓，而是連接兩定點(diǎn)的線段（包括端點(diǎn)）；若|F1F2|＞2a，則軌跡不存在．教材拓展橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.(1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大，S△F1PF2最大．(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(3)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝a2.(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.(5)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)，面積為b2taneq\f(θ,2).1．判斷（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）(1)設(shè)F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝8，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓.(×)(2)橢圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．(√)(3)eq\f(y2,m2)＋eq\f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．(×)(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(×)2．（人教A版選擇性必修第一冊(cè)P109T1改編）若橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1上一點(diǎn)M到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)M到另外一個(gè)焦點(diǎn)的距離為(B)A．6 B．7C．8 D．9解析：由橢圓方程可知a2＝36，解得a＝6.又橢圓上一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離和為2a＝12，所以M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為12－5＝7.故選B.3．（人教A版選擇性必修第一冊(cè)P112例4改編）若橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，則該橢圓的(D)A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 B．短軸長(zhǎng)為eq\r(3)C．焦距為1 D．離心率為eq\f(1,2)解析：由橢圓的方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1可知焦點(diǎn)在x軸上，即a2＝4，b2＝3，c2＝a2－b2＝1，則a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1.所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a＝4，短軸長(zhǎng)為2b＝2eq\r(3)，焦距為2c＝2，離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).故選D.4．（人教A版選擇性必修第一冊(cè)P116T12改編）若橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為(A)A．3 B．2＋eq\r(3)C．2 D．eq\r(3)＋1解析：由題意知a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝1，則橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為a＋c＝3.故選A.考點(diǎn)1橢圓的定義及應(yīng)用【例1】(1)已知圓C：(x－1)2＋y2＝16，F(xiàn)(－1，0)為圓內(nèi)一點(diǎn)，將圓折起使得圓周過(guò)點(diǎn)F（如圖），然后將紙片展開(kāi)，得到一條折痕l，這樣繼續(xù)下去將會(huì)得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為(A)A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,4)＋y2＝1C．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】F(－1，0)，C(1，0)，點(diǎn)F關(guān)于折痕l的對(duì)稱點(diǎn)A在圓周上，折痕l為線段AF的垂直平分線，折痕l與AC相交于點(diǎn)P，如圖所示，則有|PA|＝|PF|，可知|PF|＋|PC|＝|PA|＋|PC|＝|AC|＝4>|FC|＝2，所以點(diǎn)P的軌跡是以F，C為左、右焦點(diǎn)的橢圓，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝4，焦距2c＝2，所以點(diǎn)P的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，易知除點(diǎn)P外，折痕l上任意一點(diǎn)到F，C兩點(diǎn)的距離之和均大于|PF|＋|PC|，即除點(diǎn)P外，折痕l上的其余點(diǎn)均在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1外，所以折痕圍成輪廓對(duì)應(yīng)的圓錐曲線的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.故選A.(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,9)＝1(a>3)與雙曲線eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,4)＝1有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2.設(shè)P是橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則△PF1F2的面積是6．【解析】根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)P在第一象限．由題設(shè)可知|F1F2|2＝4(a2－9)＝4(m2＋4)＝4c2，即a2－m2＝13，a2－c2＝9，c2－m2＝4.根據(jù)橢圓與雙曲線的定義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|－|PF2|＝2m))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝a＋m，,|PF2|＝a－m，))在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2·|PF1|·|PF2|)＝eq\f((a＋m)2＋(a－m)2－4c2,2(a＋m)(a－m))＝eq\f(a2＋m2－2c2,a2－m2)＝eq\f((a2－c2)－(c2－m2),a2－m2)＝eq\f(5,13).所以sin∠F1PF2＝eq\f(12,13)，S△PF1F2＝eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×(a2－m2)×eq\f(12,13)＝6.橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及求弦長(zhǎng)、最值和離心率等．(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】(1)（2024·山西太原三模）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P(4，3)是C上一點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I(m，1)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(B)A．eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,27)＝1 B．eq\f(x2,28)＋eq\f(y2,21)＝1C．eq\f(x2,52)＋eq\f(y2,13)＝1 D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,12)＝1解析：依題意，設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由P(4，3)在C上，得eq\f(16,a2)＋eq\f(9,b2)＝1，顯然△PF1F2的內(nèi)切圓與直線F1F2相切，則該圓半徑為1，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)(2a＋2c)·1＝a＋c，又S△PF1F2＝eq\f(1,2)×2c×3＝3c，得a＝2c，b2＝a2－c2＝eq\f(3,4)a2，因此eq\f(16,a2)＋eq\f(12,a2)＝1，解得a2＝28，b2＝21，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,28)＋eq\f(y2,21)＝1.故選B.(2)（2024·廣東汕頭三模）已知橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是(D)A.C的離心率為eq\f(1,2)B．|PF1|的最小值為2C．|PF1|·|PF2|的最大值為16D．可能存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2＝65°解析：橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a＝4，短半軸長(zhǎng)b＝2eq\r(3)，半焦距c＝eq\r(a2－b2)＝2，則C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，A正確；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,||PF1|－|PF2||≤2c，))得a－c≤|PF1|≤a＋c，因此|PF1|min＝a－c＝2，B正確；|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝a2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝4時(shí)取等號(hào)，C正確；當(dāng)P不在x軸上時(shí)，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f((2a)2－(2c)2,2|PF1||PF2|)－1＝eq\f(24,|PF1||PF2|)－1≥eq\f(24,16)－1＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|＝4時(shí)取等號(hào)，當(dāng)P在x軸上時(shí)，cos∠F1PF2＝1，上述不等式成立，因此∠F1PF2最大為60°，D錯(cuò)誤．故選D.考點(diǎn)2橢圓的方程【例2】(1)與橢圓3x2＋4y2＝12有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(4，0)的橢圓的方程是(C)A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,14)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1【解析】橢圓方程3x2＋4y2＝12化為標(biāo)準(zhǔn)形式為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，設(shè)要求的橢圓方程為eq\f(x2,4＋λ)＋eq\f(y2,3＋λ)＝1，λ>－3，將(4，0)代入得eq\f(16,4＋λ)＝1，解得λ＝12，所以eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1.故選C.(2)（2024·江西九江三模）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1且傾斜角為eq\f(π,6)的直線交C于第一象限內(nèi)一點(diǎn)A.若線段AF1的中點(diǎn)在y軸上，△AF1F2的面積為2eq\r(3)，則C的方程為(D)A.eq\f(x2,3)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1【解析】如圖，∵O為線段F1F2的中點(diǎn)，B為線段AF1的中點(diǎn)，∴OB∥AF2，又OB⊥x軸，∴AF2⊥x軸．在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝eq\f(π,6)，設(shè)|AF2|＝t，則|AF1|＝2t，|F1F2|＝eq\r(3)t.∵△AF1F2的面積為2eq\r(3)，∴eq\f(1,2)×eq\r(3)t×t＝2eq\r(3)，解得t＝2.∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝3t＝6，a＝3，2c＝|F1F2|＝eq\r(3)t＝2eq\r(3)，c＝eq\r(3)，b2＝a2－c2＝6，則C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1.故選D.根據(jù)條件求橢圓方程的常用方法(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義，進(jìn)而求出橢圓方程．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知道焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為eq\f(x2,a2＋m)＋eq\f(y2,b2＋m)＝1(a>b>0，m>－b2)；與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝λ(a>b>0，λ>0).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，－eq\r(2)），eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))的橢圓的離心率為(B)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),3)解析：設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（2，－eq\r(2)），eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4m＋2n＝1，,m＋\f(7,2)n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,8)，,n＝\f(1,4)，))所以橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，所以a＝2eq\r(2)，b＝2，c＝eq\r(a2－b2)＝2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2).故選B.(2)（2024·江西新余模擬）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，經(jīng)過(guò)F2的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F1B,\s\up6(→))＝16，eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝9，eq\o(BF1,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，則C的方程為(A)A．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,3)＋y2＝1解析：如圖所示，因?yàn)閑q\o(BF1,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，所以BA⊥BF1，則eq\o(F1A,\s\up6(→))·eq\o(F1B,\s\up6(→))＝eq\o(F1B,\s\up6(→))2＝16，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AF1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝9，可得|eq\o(F1B,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，即|F1B|＝4，|AB|＝3，則|AF1|＝eq\r(|F1B|2＋|AB|2)＝5，由橢圓定義可得4a＝|AF1|＋|F1B|＋|AB|＝12，即a＝3，且|F2B|＝2a－|F1B|＝2，則|F1F2|＝eq\r(|F1B|2＋|F2B|2)＝2eq\r(5)，即2c＝2eq\r(5)，可得c＝eq\r(5)，b＝eq\r(a2－c2)＝2，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.故選A.考點(diǎn)3橢圓的幾何性質(zhì)命題角度1離心率【例3】(1)（2024·山東青島三模）已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，焦距為2c，以F1F2為直徑的圓與橢圓E在第一和第三象限分別交于M，N兩點(diǎn)，且eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\r(3)ac，則橢圓E的離心率為(D)A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(6),3)【解析】以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝c2，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝c2，,b2x2＋a2y2＝b2a2，))解得x2＝eq\f(a2(c2－b2),c2)，y2＝eq\f(b4,c2)，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a\r(c2－b2),c)，\f(b2,c)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a\r(c2－b2),c)，－\f(b2,c)))，又A(－a，0)，B(a，0)，所以eq\o(NM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a\r(c2－b2),c)，\f(2b2,c)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2a，0)，所以eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(4a2\r(c2－b2),c)＝2eq\r(3)ac，所以4a2(c2－b2)＝3c4，所以4a2c2－4a2(a2－c2)＝3c4，所以3c4－8a2c2＋4a4＝0，所以3e4－8e2＋4＝0，解得e2＝eq\f(2,3)或e2＝2（舍去）.所以e＝eq\f(\r(6),3).故橢圓E的離心率為eq\f(\r(6),3).故選D.(2)（2024·河南濮陽(yáng)模擬）點(diǎn)M是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的點(diǎn)，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點(diǎn)F，圓M與y軸相交于P，Q兩點(diǎn)，若△PQM是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是(D)A．（2－eq\r(3)，1） B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)，\f(\r(5)－1,2)))【解析】連接MF，∵圓M與x軸相切于焦點(diǎn)F，∴MF⊥x軸，可設(shè)M(c，y)，∵M(jìn)在橢圓上，∴eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(b2,a)，∴圓M的半徑為eq\f(b2,a).作MN⊥y軸，垂足為N，如圖所示．∵|MP|＝|MQ|，∴∠PMN＝∠NMQ，∵△PMQ為銳角三角形，∴∠NMQ<eq\f(π,4)，∴eq\f(b2,a)>c>eq\f(\r(2),2)×eq\f(b2,a)，∴ac<a2－c2<eq\r(2)ac，即e<1－e2<eq\r(2)e，∴eq\f(\r(6)－\r(2),2)<e<eq\f(\r(5)－1,2)，即橢圓離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)，\f(\r(5)－1,2))).故選D.求橢圓離心率或其范圍的常用方法(1)直接求出a，c的值或范圍，利用離心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a與b的關(guān)系，利用變形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)構(gòu)造關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e的值或范圍．命題角度2與橢圓有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題【例4】（2024·山東濰坊三模）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(x0，y0)在C上，若∠F1PF2大于eq\f(π,3)，則x0的取值范圍是(D)A．（－∞，－eq\r(3)）∪（eq\r(3)，＋∞）B．（－eq\r(3)，eq\r(3)）C．（－∞，－eq\r(5)）∪（eq\r(5)，＋∞）D．（－eq\r(5)，eq\r(5)）【解析】如圖所示，因?yàn)闄E圓C：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1，所以a2＝6，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝4，所以F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，因?yàn)辄c(diǎn)P(x0，y0)在C上，所以eq\f(xeq\o\al(2,0),6)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),2)＝1，所以yeq\o\al(2,0)＝2－eq\f(1,3)xeq\o\al(2,0)，－eq\r(6)≤x0≤eq\r(6)，又eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－2－x0，－y0)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－4＝eq\f(2,3)xeq\o\al(2,0)－2，又|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝eq\r((－2－x0)2＋(－y0)2)＝eq\r(\f(2,3))|x0＋3|＝eq\r(\f(2,3))(x0＋3)，|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝eq\r((2－x0)2＋(－y0)2)＝eq\r(\f(2,3))|3－x0|＝eq\r(\f(2,3))(3－x0)，因?yàn)椤螰1PF2大于eq\f(π,3)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|cos∠F1PF2<|eq\o(PF1,\s\up6(→))|·|eq\o(PF2,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)，所以eq\f(2,3)xeq\o\al(2,0)－2<eq\f(2,3)(x0＋3)·(3－x0)·eq\f(1,2)，解得－eq\r(5)<x0<eq\r(5)，所以x0的取值范圍是（－eq\r(5)，eq\r(5)）.故選D.與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)．(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)．(3)利用不等式，尤其是基本不等式．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(1)（2024·浙江溫州三模）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，C上兩點(diǎn)A，B滿足eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，cos∠AF1B＝eq\f(4,5)，則橢圓C的離心率是(D)A．eq\f(3,4) B．eq\f(\r(7),4)C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(5),3)解析：如圖所示，由eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))可知|eq\o(AF2,\s\up6(→))|＝2|eq\o(F2B,\s\up6(→))|，設(shè)|eq\o(F2B,\s\up6(→))|＝x，則|eq\o(AF2,\s\up6(→))|＝2x，|eq\o(AF1,\s\up6(→))|＝2a－2x，|eq\o(BF1,\s\up6(→))|＝2a－x，|AB|＝3x，則由余弦定理可得(3x)2＝(2a－2x)2＋(2a－x)2－2(2a－2x)(2a－x)×eq\f(4,5)，化簡(jiǎn)可得2a2－3ax－9x2＝0?(a－3x)(2a＋3x)＝0，故a＝3x或a＝－eq\f(3,2)x（舍去），又cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，所以eq\f((2x)2＋4c2－(2a－2x)2,2·2x·2c)＋eq\f(x2＋4c2－(2a－x)2,2·x·2c)＝0，化簡(jiǎn)可得3c2＋4ax－3a2＝0?3c2＋4a·eq\f(a,3)－3a2＝0?9c2＝5a2，故3c＝eq\r(5)a?e＝eq\f(\r(5),3).故選D.(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：y2＋eq\f(x2,m2)＝1(0<m<1)的上、下焦點(diǎn)，若在橢圓C上存在一點(diǎn)P，使PF1⊥PF2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(C)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：如圖所示，由橢圓的性質(zhì)知，當(dāng)P在橢圓左、右頂點(diǎn)時(shí)∠F1PF2最大，∴橢圓C上存在一點(diǎn)P使PF1⊥PF2，只需P在橢圓左、右頂點(diǎn)時(shí)∠F1PF2≥90°，此時(shí)，cos∠F1PF2＝eq\f(2a2－4c2,2a2)≤0，即a2≤2c2，又a2＝1，c2＝1－m2，∴1≤2(1－m2)，解得－eq\f(\r(2),2)≤m≤eq\f(\r(2),2)，又0<m<1，∴0<m≤eq\f(\r(2),2).故選C.【例】已知由橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>1)與橢圓C2：x2＋eq\f(y2,a2)＝1的交點(diǎn)連線可構(gòu)成矩形ABCD（點(diǎn)A，B在x軸下方），且BC＝3CD，則b2＋eq\f(2,a2)的最小值為(D)A．2eq\r(2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(5,4) D．eq\f(11,4)【解析】如圖所示，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及BC＝3CD可得直線AC的方程為y＝3x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,x2＋\f(y2,a2)＝1，,y＝3x，))可得eq\f(8,a2)＝eq\f(9,b2)－1，則eq\f(2,a2)＝eq\f(9,4b2)－eq\f(1,4)，所以b2＋eq\f(2,a2)＝b2＋eq\f(9,4b2)－eq\f(1,4)≥2eq\r(b2·\f(9,4b2))－eq\f(1,4)＝eq\f(11,4)，當(dāng)且僅當(dāng)b2＝eq\f(9,4b2)，即b＝eq\f(\r(6),2)時(shí)等號(hào)成立，則b2＋eq\f(2,a2)的最小值為eq\f(11,4).故選D.本題將解析幾何與基本不等式結(jié)合，題目新穎，需要充分挖掘幾何關(guān)系并轉(zhuǎn)化為直線方程才能順利做出題目，充分體現(xiàn)了解析幾何“先用幾何眼光觀察，再用代數(shù)方法解決”的學(xué)科思想，與新高考倡導(dǎo)的“鼓勵(lì)學(xué)生多角度主動(dòng)思考、深入探究”的思想不謀而合．課時(shí)作業(yè)571．（5分）（2024·湖北荊州三模）已知橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,k)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(0，2)，則k的值為(D)A．4 B．8C．10 D．12解析：由題意，得c2＝4，a2＝k，b2＝8，所以k＝4＋8＝12.故選D.2．（5分）（2024·廣西南寧二模）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓M：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦點(diǎn)，P為M上一點(diǎn)，若|PF1|＝3，則|PF2|＝(C)A．2 B．3C．5 D．6解析：由橢圓M：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,5)＝1，可得a2＝16，所以a＝4，因?yàn)镕1，F(xiàn)2分別是橢圓M的左、右焦點(diǎn)，P為M上一點(diǎn)，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，又|PF1|＝3，所以|PF2|＝5.故選C.3．（5分）（2024·浙江紹興二模）已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，則該橢圓的短軸長(zhǎng)為(B)A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．4eq\r(3) D．6eq\r(3)解析：由eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)可得a2＝4c2＝4(a2－b2)(*)，因?yàn)?a＝4，所以a＝2，代入(*)解得b＝eq\r(3)，故短軸長(zhǎng)為2b＝2eq\r(3).故選B.4．（5分）已知方程eq\f(x2,k－4)＋eq\f(y2,8－k)＝1表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(D)A．(4，6) B．(6，8)C．(4，8) D．(4，6)∪(6，8)解析：因?yàn)榉匠蘣q\f(x2,k－4)＋eq\f(y2,8－k)＝1表示的曲線是橢圓，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－4>0，,8－k>0，,k－4≠8－k，))解得4<k<8且k≠6，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(4，6)∪(6，8).故選D.5．（5分）（2024·河北保定二模）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),2)，\f(1,2)))在橢圓C上，且AF1⊥AF2，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為(B)A．eq\r(5) B．2eq\r(5)C．eq\r(5)或eq\r(3) D．2eq\r(5)或2eq\r(3)解析：由AF1⊥AF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，得|OA|＝eq\f(1,2)|F1F2|，所以c＝|OA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝2，把b2＝a2－4及Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),2)，\f(1,2)))代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(15,4a2)＋eq\f(1,4(a2－4))＝1，解得a2＝3（舍去）或a2＝5，所以a＝eq\r(5)，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2eq\r(5).故選B.6．（5分）（2024·江蘇南京二模）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，直線F1P與以F2為圓心，OF2為半徑的圓切于點(diǎn)Q（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝3eq\o(QP,\s\up6(→))，則橢圓E的離心率為(B)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)解析：如圖所示，由題意，得|F1F2|＝2c，因?yàn)橹本€F1P與以F2為圓心，OF2為半徑的圓相切，所以∠F2QF1＝90°，|F2Q|＝c，因此由勾股定理可知|F1Q|＝eq\r(4c2－c2)＝eq\r(3)c，又eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝3eq\o(QP,\s\up6(→))，所以|QP|＝eq\f(\r(3),3)c，因此|F1P|＝eq\r(3)c＋eq\f(\r(3),3)c＝eq\f(4\r(3),3)c，在Rt△PQF2中，由勾股定理可得|PF2|＝eq\r(\f(3,9)c2＋c2)＝eq\f(2\r(3),3)c，根據(jù)橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a?eq\f(4\r(3),3)c＋eq\f(2\r(3),3)c＝2a?e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3).故選B.7．（5分）（2024·重慶模擬）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且線段PF1的中點(diǎn)在以F1F2為直徑的圓上，則△PF2F1的面積為(C)A．1 B．eq\f(\r(15),2)C．eq\r(15) D．8解析：如圖所示，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，由題意得|PF2|＝2|OM|＝2c＝4，于是|PF1|＝2a－2c＝2，又|F1F2|＝2c＝4，則△PF1F2為等腰三角形，S△PF1F2＝eq\f(1,2)×2×eq\r(16－1)＝eq\r(15).故選C.8．（5分）已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，下頂點(diǎn)為B，點(diǎn)M為C上的任意一點(diǎn)，則|MB|的最大值是(A)A．eq\f(3\r(2),2)b B．eq\r(2)bC．eq\r(3)b D．2b解析：由橢圓C的離心率e＝eq\f(\r(6),3)，可得a＝eq\r(3)b，所以橢圓的方程為eq\f(x2,3b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，設(shè)M(x0，y0)，則eq\f(xeq\o\al(2,0),3b2)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，可得xeq\o\al(2,0)＝3b2－3yeq\o\al(2,0)，又由點(diǎn)B(0，－b)，可得|MB|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋b)2＝3b2－3yeq\o\al(2,0)＋(y0＋b)2＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0－\f(b,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9b2,2)，因?yàn)椋璪≤y0≤b，所以|MB|eq\o\al(2,max)＝eq\f(9b2,2)，所以|MB|max＝eq\f(3\r(2)b,2).故選A.9．（7分）（多選）（2024·遼寧沈陽(yáng)三模）設(shè)橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是(ACD)A．|PF1|的最大值為8B．橢圓C的離心率e＝eq\f(4,5)C．△PF1F2面積的最大值為12D．以線段F1F2為直徑的圓與圓(x－4)2＋(y－3)2＝4相切解析：橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a＝5，短半軸長(zhǎng)b＝4，則半焦距c＝eq\r(a2－b2)＝3，|PF1|的最大值為a＋c＝8，A正確；橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，B錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則|y0|max＝4，而|F1F2|＝2c＝6，因此△PF1F2面積的最大值等于eq\f(1,2)×6×4＝12，C正確；以線段F1F2為直徑的圓為x2＋y2＝9，圓心O(0，0)，半徑r1＝3，圓(x－4)2＋(y－3)2＝4的圓心M(4，3)，半徑r2＝2，|OM|＝5＝r1＋r2，則圓O與圓M外切，D正確．故選ACD.10．（7分）（多選）（2024·河南開(kāi)封三模）橢圓C：eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，直線AF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，則(ABD)A．C的焦距為2B．C的短軸長(zhǎng)為2eq\r(3)C．C的離心率為eq\f(\r(3),2)D．△ABF2的周長(zhǎng)為8解析：不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，如圖所示，由于∠F1AF2＝eq\f(π,3)，所以∠F1AO＝∠OAF2＝eq\f(π,6)，故cos∠F1AO＝coseq\f(π,6)＝eq\f(|AO|,|AF1|)＝eq\f(b,\r(c2＋b2))＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，因此eq\f(b2,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(m2,m2＋1)，故m2＝3，所以橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，焦距為2c＝2，A正確；短軸長(zhǎng)為2b＝2eq\r(3)，B正確；離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，C錯(cuò)誤；△ABF2的周長(zhǎng)為4a＝8，D正確．故選ABD.11．（7分）（多選）（2024·安徽合肥一模）已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左焦點(diǎn)為F，M為C上異于A，B的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，交x軸于點(diǎn)T，則(BCD)A．存在點(diǎn)M，使∠AMB＝120°B．eq\o(TA,\s\up6(→))·eq\o(TB,\s\up6(→))＝2eq\o(TM,\s\up6(→))·eq\o(TN,\s\up6(→))C．eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))的最小值為－eq\f(4,3)D．△FMN周長(zhǎng)的最大值為8解析：設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為E，如圖所示，則直角三角形BOE中，tan∠OEB＝eq\f(a,b)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)<eq\r(3)，得∠OEB<eq\f(π,3)，則∠AMB≤∠AEB<eq\f(2π,3)，故A錯(cuò)誤；設(shè)M(m，n)，則T(m，0)，N(m，－n)，且eq\f(m2,4)＋eq\f(n2,2)＝1，即4－m2＝2n2，又A(－2，0)，B(2，0)，則eq\o(TA,\s\up6(→))·eq\o(TB,\s\up6(→))＝(－2－m，0)·(2－m，0)＝－(2＋m)(2－m)＝－(4－m2)＝－2n2，又2eq\o(TM,\s\up6(→))·eq\o(TN,\s\up6(→))＝－2n2，故eq\o(TA,\s\up6(→))·eq\o(TB,\s\up6(→))＝2eq\o(TM,\s\up6(→))·eq\o(TN,\s\up6(→))，故B正確；F（－eq\r(2)，0），eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝（m＋eq\r(2)，n）·（m＋eq\r(2)，－n）＝（m＋eq\r(2)）2－n2＝（m＋eq\r(2)）2－eq\f(4－m2,2)＝eq\f(3m2,2)＋2eq\r(2)m＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2\r(2),3)))eq\s\up12(2)－eq\f(4,3)，－2<m<2，則當(dāng)m＝－eq\f(2\r(2),3)時(shí)，eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))取得最小值－eq\f(4,3)，故C正確；設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，如圖所示，△FMN的周長(zhǎng)為|MF|＋|NF|＋|MN|＝4－|MF′|＋4－|NF′|＋|MN|＝8－(|MF′|＋|NF′|－|MN|)≤8，當(dāng)且僅當(dāng)M，N，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選BCD.12．（6分）（2024·廣東江門二模）已知圓A：(x＋1)2＋y2＝1內(nèi)切于圓P，圓P內(nèi)切于圓B：(x－1)2＋y2＝49，則動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1．解析：設(shè)圓P的半徑為R，則|PA|＝R－1，|PB|＝7－R，則|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝2，所以點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，則a＝3，c＝1，所以b2＝a2－c2＝8，所以動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.13．（6分）（2024·陜西西安二模）若P為橢圓C：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，且|PF1|2－|PF2|2＝16，則|PF1|＝5．解析：對(duì)于橢圓C：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1，a2＝16，所以a＝4，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝8①，又|PF1|2－|PF2|2＝16，即(|PF1|＋|PF2|)·(|PF1|－|PF2|)＝16，所以|PF1|－|PF2|＝2②，由①②解得|PF1|＝5.14．（6分）（2024·山東濟(jì)南三模）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△POF2為正三角形，則該橢圓的離心率為eq\r(3)－1．解析：依題意|PO|＝|PF2|＝|OF2|＝c，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，易知|PF1|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3c,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)c,2)))\s\up12(2))＝eq\r(3)c，由橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a，所以eq\r(3)c＋c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.15．（7分）已知Q是橢圓M：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<3)上的動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)P(2，0)的距離|PQ|的最小值為1，則橢圓M的離心率的取值范圍是(D)A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3)))解析：由題意可設(shè)Q(3cosθ，bsinθ)，則|PQ|2＝(3cosθ－2)2＋b2sin2θ＝(3cosθ－2)2＋b2(1－cos2θ)＝(9－b2)cos2θ－12cosθ＋4＋b2，令t＝cosθ∈[－1，1]，則|PQ|2＝(9－b2)t2－12t＋4＋b2，因?yàn)?<b<3，所以9－b2>0，可知f(t)＝(9－b2)t2－12t＋4＋b2的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線t＝eq\f(6,9－b2)>0，當(dāng)eq\f(6,9－b2)<1，即0<b2<3時(shí)，可知f(t)在[－1，1]內(nèi)的最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,9－b2)))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,9－b2)))＝(9－b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,9－b2)))eq\s\up1