第八章二元一次方程組8.1二元一次方程組1．二元一次方程的概念每個方程都含有__________個未知數，并且含有未知數的項的次數都是__________的整式方程叫做二元一次方程．【提示】①在方程中“元”是指未知數，“二元”是指方程中有且只有兩個未知數．②“含未知數的項的次數是1”是指含有未知數的項（單項式）的次數是1，如3xy的次數是2，所以方程3xy-2=0不是二元一次方程．③二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式，例如方程-y=1的左邊不是整式，所以它不是二元一次方程．2．二元一次方程的解一般地，使二元一次方程兩邊的值__________的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解．【拓展】（1）在二元一次方程中，給定其中一個未知數的值，就可以求出另一個未知數的值．（2）一般情況下，二元一次方程有無數個解，但并不是說任何一對數值就是它的解．3．二元一次方程組由__________二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組．方程組中同一個字母代表同一個量，其一般形式為．【提示】①組成二元一次方程組的兩個一次方程不一定都是二元一次方程，但這兩個方程必須一共含有兩個未知數．如也是二元一次方程組．②在方程組的每個方程中，相同字母必須代表同一未知量，否則不能將兩個方程聯(lián)立．③二元一次方程組中的各個方程應是整式方程．④二元一次方程組有時也由兩個以上的二元一次方程組成．4．二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個方程的__________，叫做二元一次方程組的解．（1）二元一次方程組的解，是方程組中每個方程的解.（2）二元一次方程組的解一般情況下是唯一的，但是有的方程組有無數多個解，或無解，如，有無數多個解，無解．求二元一次方程的整數解的方法：（1）首先用一個未知數表示另一個未知數，如y=10-2x；（2）給定x一個值，求出y的一個對應值，就可以得到二元一次方程的一組解；（3）根據題意對未知數x、y進行限制，確定x的可能取值，進而確定二元一次方程所有的整數解．K知識參考答案：1．兩；12．相等3．兩個4．公共解K—重點二元一次方程組的概念，二元一次方程組的解K—難點求二元一次方程組的整數解K—易錯求二元一次方程組的解一、二元一次方程（組）一個方程是二元一次方程必須滿足：（1）等號兩邊的式子都是整式；（2）有且只有兩個未知數；（3）含有未知數的項的次數都是1．【例1】下列方程中，是二元一次方程的是A．xy=5 B．y=6x-3C．x+=0 D．x-3=0【答案】B【解析】A、xy=5是二元二次方程，故A錯誤；B、y=6x-3是二元一次方程，故B正確；C、x+=0是分式方程，故C錯誤；D、x-3=0是一元一次方程，故D錯誤，故選B．【例2】下列方程組屬于二元一次方程組的是A． B．C． D．【答案】A二、二元一次方程（組）的解檢驗一對數值是否是某個二元一次方程組的解，常用的方法是將這對數值分別代入方程組中的每個方程．只有當這對數值同時滿足所有方程時，才能說這對數值是此方程組的解；如果這對數值不滿足其中的某個方程，那么它就不是此方程組的解．【例3】是下列哪個方程的一個解A．x+y=2 B．x+y=0C．2x+y=1 D．x-y=2【答案】A【解析】把代入x+y=2可得-2+4=2；把代入x+y=0可得-2+4=2≠0；把代入2x+y=1可得-2×2+4=0≠1；把代入x-y=2可得-2-4=-6≠2，綜上可知，是方程x+y=2的解，故選A．【例4】下列各組數是二元一次方程組的解的是A． B．C． D．【答案】B【解析】，①+②，得2x=2，x=1，把x=1代入①，得1+y=3，解得y=2，所以二元一次方程組的解是．故選B．1．下列各式是二元一次方程的是A．x2+y=0 B．x=+1C．-2y=0 D．y+x2．下列方程組中，是二元一次方程組的是A． B．C． D．3．已知下面三組數值：①；②；③，其中是方程組的解的是A．① B．②C．③ D．都不是4．已知是關于x，y的方程-3x+4y=2a的一個解，則a=__________．5．若方程組是二元一次方程組，則a的值為__________．6．有下列三對數：①，②，③其中__________是方程3x+y=8的解，__________是方程2x-y=7的解，__________是方程組的解．（只填序號）7．若方程x2m-1+5y3n-2=7是關于x，y的二元一次方程，則（m-n）2019=__________．8．方程x+3y=6的正整數解為__________．學-科網9．綜合探究題等腰三角形ABC中，AB=x，BC=y，周長為12．（1）列出關于x，y的二元一次方程；（2）求該方程的所有整數解．10．已知兩個二元一次方程：①3x-y=0，②7x-2y=2．（1）對于給出x的值，在下表中分別寫出對應的y的值；x-2-101234y①y②（2）請你寫出方程組的解．11．已知方程（2m-6）x|m-2|+（n-2）=0是二元一次方程，求m，n的值．12．已知是二元一次方程組的解，則m-n的值是A．1 B．2C．3 D．413．二元一次方程中非負整數解的個數是A．1個 B．2個C．3個 D．4個14．某校七年級（2）班40名同學為四川地震災區(qū)捐款，共捐了100元，捐款情況如下表：捐款（元）1234人數67表格中捐款2元和3元的人數不小心被墨水污染已經看不清楚，若設捐款2元的有x名同學，捐款3元的有y名同學，根據題意，可列方程組A． B．C． D．15．如果關于x，y的二元一次方程組的解是二元一次方程2x-3y+12=0的一個解，那么a的值是A． B．-C． D．-16．下列說法中正確的是A．二元一次方程3x-2y=5的解為有限個B．方程3x+2y=7的自然數解有無數對C．方程組的解為0D．方程組中各個方程的公共解叫做這個方程組的解17．已知是方程y=kx-3的一組解，則k=__________．18．寫出一個以為解的二元一次方程組__________．19．已知方程，請你寫出一個二元一次方程，使它與已知方程所組成的方程組的解為．20．已知|x-7|+|3x+2y-25|=0，求x與y的值．21．已知甲種物品每個重4kg，乙種物品每個重7kg，現有甲種物品x個，乙種物品y個，共重76kg．（1）列出關于x，y的二元一次方程；（2）若x=12，則y=__________；（3）若乙種物品有8個，則甲種物品有__________個；（4）寫出滿足條件的x，y的全部整數解．22．（2018·懷化）二元一次方程組的解是A． B．C． D．23．（2018·北京）方程組的解為A． B．C． D．24．（2018·天津）方程組的解是A． B．C． D．25．（2018·無錫）方程組的解是__________．26．（2018·淮安）若關于x、y的二元一次方程3x-ay=1有一個解是，則a=__________．1．【答案】C【解析】選項A含二次項，選項B不是整式方程，選項C符合二元一次方程的條件，選項D不是等式．故選C．2．【答案】C【解析】選項A，有三個未知數，不是二元一次方程組；選項B，xy的次數是2，不是二元一次方程組；選項C，符合二元一次方程組的定義，是二元一次方程組；選項D，不是整式方程，選項D不是二元一次方程組．故選C．將②代入方程2x-y=0左邊得：，右邊=0，所以是方程的解；將②代入方程代入方程左邊得：，右邊=6，所以是的解，所以②是方程組的解；將③代入方程2x-y=0左邊得：，右邊=0，所以不是方程的解；將③代入方程左邊得：，右邊=6，所以是的解，所以③不是方程組的解，故選B．4．【答案】-3【解析】∵是關于x，y的方程-3x+4y=2a的一個解，∴-3+4×=2a，解得a=-3，故答案為：-3．5．【答案】0【解析】因為是二元一次方程組，所以此方程組中只含有未知數x、y，所以a=0，故答案為：0．7．【答案】0【解析】由題意得：，解得：，則（m-n）2019=0，故答案為：0．8．【答案】【解析】方程x+3y=6可化為x=6-3y，∵x、y均為正整數，∴6-3y>0，當y=1時，x=3，∴方程x+3y=6的正整數解為，故答案為：．9．【解析】（1）分三種情況考慮：①若AB=AC=x，則2x+y=12；②若BC=AC=y，則x+2y=12；③若AB=BC=x=y，則x=y．（2）①由2x+y=12可得y=12-2x，再由三角形的三邊關系即可求得方程2x+y=12的整數解為，；②由x+2y=12可得x=12-2y，再由三角形的三邊關系即可求得方程x+2y=12的整數解為，；③由x=y，根據三角形的三邊關系可得，．10．【解析】（1）依次為：-6；-3；0；3；6；9；12；-8；-4.5；-12.5；6；9.5；13（2），②-①×2得：x=2；把x=2代入①得：y=6，學-科網所以，方程組的解為：．11．【解析】根據題意，得，且，∴m=1，n=-2．12．【答案】D【解析】已知是二元一次方程組的解，可得，解得m=1，n=-3，所以m-n=4，故選D．13．【答案】C【解析】∵在方程中，當時，；當時，；當時，；當時，；∴方程的非整數解有3個，故選C．14．【答案】A【解析】若設捐款2元的有x名同學，捐款3元的有y名同學，根據全班共有40名學生捐款，共計捐款100元可得：，化簡得：，故選A．15．【答案】B【解析】，①+②得：2x=12a，即x=6a，①-②得：2y=-6a，即y=-3a，把x=6a，y=-3a代入方程得：12a+9a+12=0，解得：a=-，故選B．16．【答案】D【解析】A選項中，因為方程3x-2y=5的解有無數個，所以A選項錯誤；B選項中，因為方程3x+2y=7的自然數解只有1對，所以B選項錯誤；C選項中，因為原方程組的解為，所以C選項錯誤；D選項中，因為“方程組的解就是方程組中各個方程的公共解”，所以D選項正確，故選D．17．【答案】2【解析】把代入方程y=kx-3，得2k-3=1，解得k=2．故答案為：2．18．【答案】（答案不唯一）【解析】本題中的答案不確定，只需要每一個二元一次方程滿足x=1，y=3即可．故答案為：（答案不唯一）．20．【解析】∵|x-7|+|3x+2y-25|=0，∴x-7=0且3x+2y-25=0，由x-7=0可解得：x=7，把x=7代入3x+2y-25=0得：21+2y-25=0，解得：y=2，∴x=7，y=2．21．【解析】（1）由題意可得：4x+7y=76．（2）在4x+7y=76中，當x=12時，有4×12+7y=76，解得：y=4．（3）在4x+7y=76中，當y=8時，有4x+7×8=76，解得：x=5，即甲物品有5個．（4）由4x+7y=76，得x=．∵由題意可知得x、y為非負整數，∴當y=0時，x=19；當y=1時，x=，不合題意；當y=2時，x=，不合題意；當y=3時，x=，不合題意；當y=4時，x=；當y=5時，x=，不合題意；當y=6時，x=，不合題意；當y=7時，x=，不合題意；當y=8時，x=；當y=9時，x=，不合題意；當y=10時，x=，不合題意；當y=11時，x=，不合題意．學-科網∴滿足條件的x，y的全部整數解是：