PAGE1專題01圓的標準方程內(nèi)容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：5大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升知識點01：圓的定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑.如圖，在平面直角坐標系中，的圓心的坐標為,半徑為,為圓上任意一點，可用集合表示為：知識點02：圓的標準方程1、圓的標準方程：我們把稱為圓心為，半徑長為的圓的標準方程．注：圓的標準方程的右端，當方程右端小于或等于0時，對應(yīng)方程不是圓的標準方程．2、圓的標準方程的推導過程（1）建系設(shè)點：建立坐標系時，原點在圓心是特殊情況，就一般情況來說，因為是定點，設(shè)，半徑為，且設(shè)圓上任意一點的坐標為．（2）寫點集：根據(jù)定義，圓就是集合．（3）列方程：由兩點間的距離公式得．（4）化簡方程：將上式兩邊平方得．知識點03：點與圓的位置關(guān)系判斷點與：位置關(guān)系的方法:1、幾何法（優(yōu)先推薦）設(shè)到圓心的距離為，則①則點在外②則點在上③則點在內(nèi)2、代數(shù)法將點帶入：方程內(nèi)①點在外②點在上③點在內(nèi)知識點04：圓上的點到定點的最大、最小距離設(shè)的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內(nèi)一點；記;1、若點在外，則;2、若點在上，則;3、若點在內(nèi)，則;【題型01：由標準方程確定圓心和半徑】一、單選題1．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）圓的圓心坐標和半徑分別為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圓的標準方程即可求得圓心坐標和半徑.【詳解】根據(jù)圓的標準方程，即可得圓心坐標為，半徑為.故選：D2．（24-25高二上·福建福州·期中）給定圓的方程，則過坐標原點和圓心的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得圓心為，從而可得直線方程的斜率為-4，由直線的點斜式方程即可求解.【詳解】由圓的標準方程可知，圓心為，則過坐標原點和圓心的直線方程的斜率為：，由直線的點斜式可得，即.故選：B.3．（23-24高二上·陜西西安·月考）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)直線經(jīng)過圓心即可求解.【詳解】由題意可得，直線過圓心，則，解得.故選：A4．（23-24高二上·廣東廣州·期中）曲線與軸所圍成區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓的標準方程求解.【詳解】

由可得，，所以曲線表示圓的部分，因為圓心坐標為，所以圓關(guān)于軸對稱，所以曲線與軸所圍成區(qū)域的面積為，故選:B.【題型02：求圓的標準方程】一、單選題1．（24-25高二上·北京密云·期末）圓心為且過原點的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓上一點到圓心的距離即為半徑，即可寫出圓的方程.【詳解】圓心為的圓的方程為，又因為原點在圓上，則，所以.故選：D.2．（24-25高二上·北京昌平·期末）以，為直徑的兩個端點的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圓的標準方程待定系數(shù)計算即可．【詳解】易知該圓圓心為的中點，半徑，所以該圓方程為：．故選：D．3．（23-24高二上·四川樂山·期末）已知圓的圓心在軸上且經(jīng)過兩點，則圓的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓的標準方程是，將代入求解即可.【詳解】解：由題意設(shè)圓的標準方程是，因為圓經(jīng)過兩點，所以，解得，所以圓的標準方程是，故選：A4．（24-25高二上·海南·月考）的三個頂點的坐標分別為，，，則的外接圓方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)出的外接圓方程，將，，代入即可求解.【詳解】設(shè)的外接圓方程為，所以，解得，所以外接圓的方程為.故選：.5．（24-25高二上·浙江臺州·期中）已知圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線，則圓的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)出圓心，根據(jù)得到方程，求出，得到圓心和半徑，得到圓的方程.【詳解】設(shè)圓心為，由題意得，即，解得，故圓心，半徑為，故圓的標準方程為.故選：C6．（24-25高二上·天津河北·期末）過點，且圓心在直線上的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)得的中垂線方程為，其與交點即為所求圓心，并應(yīng)用兩點距離公式求半徑，寫出圓的方程即可．【詳解】由題設(shè)，的中點坐標為，且，∴的中垂線方程為，聯(lián)立，∴，可得，即圓心為，而，∴圓的方程是．故選：B．【題型03：點與圓的位置關(guān)系判斷】一、單選題1．（23-24高二下·河北石家莊·期末）點P與圓的位置關(guān)系為（

）A．點在圓外 B．點在圓上 C．點在圓內(nèi) D．無法確定【答案】A【分析】先求點到圓心的距離，再根據(jù)這個距離與圓的半徑的關(guān)系確定點與圓的位置關(guān)系.【詳解】因為圓的圓心為：，半徑為：1.由點與圓心的距離為：，又.所以點在圓外.故選：A2．（24-25高二上·福建泉州·月考）點與圓的位置關(guān)系是（

）A．在外 B．在上 C．在內(nèi) D．不確定，與的取值有關(guān)【答案】A【分析】根據(jù)圓心與點的距離與半徑的關(guān)系判斷即可.【詳解】由圓心，可得，所以在外.故選：A3．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）點與圓的位置關(guān)系是（）A．在圓外 B．在圓上C．在圓內(nèi) D．與a的值有關(guān)【答案】A【分析】求出點到圓心的距離與半徑比較大小即可得結(jié)論【詳解】圓的圓心，半徑，因為，所以點在圓外，故選：A4．（24-25高二上·廣東·開學考試）“”是“點在圓內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】先求出“點在圓內(nèi)”的充要條件，對比即可得解.【詳解】點在圓內(nèi)，所以“”是“點在圓內(nèi)”的充分不必要條件.故選：A.5．（23-24高二上·山東煙臺·期中）已知圓C：上總存在兩個點到原點的距離為2，則圓C半徑r的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由原點到的距離，討論原點與圓的位置關(guān)系，結(jié)合題設(shè)條件求半徑的范圍.【詳解】由圓心為，半徑為，則原點到的距離，要使總存在兩個點到原點的距離為2，若原點在圓外，則；若原點在圓上，即，滿足；若原點在圓內(nèi)，則；綜上，圓C半徑r的取值范圍是.故選：C【題型04：點與圓的位置關(guān)系中的最值問題】一、單選題1．（24-25高二上·湖北·期中）已知半徑為3的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)圓心軌跡是為圓心，3為半徑的圓，即可根據(jù)求解.【詳解】半徑為3的圓經(jīng)過點，可得該圓的圓心軌跡是為圓心，3為半徑的圓，由，，所以圓心到原點距離的最小值是．故選：B．

2．（24-25高二上·遼寧·月考）已知直線過定點，若為圓上任意一點，則的最大值為（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】先分析出直線過定點，然后分析出定點在圓外，從而得到最大值為圓心距加半徑.【詳解】由，得，所以直線過定點，由，知圓心坐標，半徑為2，所以到圓心的距離為，所以在圓外，故的最大值為.故選：C.3．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知點在圓上，點，則的值可能為（

）A．1 B．7 C．13 D．15【答案】B【分析】先確定在圓內(nèi)，再求出到圓心的距離，然后得到的取值范圍即可.【詳解】因為，所以點在圓內(nèi)，又圓心，半徑為7，點到圓心的距離為，所以，即的取值范圍為，所以的值可能為7.故選：B.【題型05：圓的標準方程中對稱條件的突破】一、單選題1．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲線上相異兩點P、Q關(guān)于直線對稱，則k的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)圓上的任意兩點關(guān)于直徑對稱即可求解.【詳解】若曲線上相異兩點P、Q關(guān)于直線對稱，則圓心在直線上，故代入解得，故選：D．2．（23-24高二上·福建福州·期中）在平面直角坐標系中，若圓關(guān)于直線的對稱圓為圓，則、的值分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知兩圓半徑相等，求得r，且可知兩圓圓心關(guān)于直線對稱，即可結(jié)合直線垂直的條件求得a的值，即得答案.【詳解】由題意可知圓與圓的半徑相等，故，且關(guān)于直線對稱，故直線與直線垂直，則，故選：A3．（23-24高二下·云南昆明·月考）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先確定圓心坐標，再求出兩圓心的中點坐標與斜率，即可得到直線的斜率，再由點斜式計算可得.【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，所以、的中點坐標為，又，則，所以直線的方程為，即.故選：A4．（24-25高二上·重慶·期中）已知圓M：，求圓M關(guān)于直線l：的對稱圓方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)對稱圓的圓心，解方程組即得解.【詳解】圓的圓心為，設(shè)對稱圓的圓心為，依題意得，解得，又圓的半徑與對稱圓的半徑相等，所以對稱圓的方程為.故選：D.一、單選題1．（24-25高二上·北京·期中）圓心為，且半徑為的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓心與半徑直接可得圓的方程.【詳解】由已知圓心為，且半徑為，則圓的方程是.故選：D.2．（2024高二·全國·專題練習）圓x2＋y2＝4上的點到點(1，0)的距離的最大值為（

）A．1 B．2C．3 D．5【答案】C【詳解】因為點(1，0)在圓x2＋y2＝4內(nèi)，且點(1，0)到圓心(0，0)的距離為1，所以圓上的點到點(1，0)的距離的最大值為2＋1＝3.3．（24-25高二上·浙江杭州·月考）若點在圓外，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點在圓外，列出關(guān)于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范圍．【詳解】點在圓外，且，解得．故選：C．4．（24-25高二上·河南南陽·月考）已知圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線，則圓的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)出圓的標準方程，根據(jù)條件列出方程組，進而求解即可.【詳解】由題知，設(shè)圓的標準方程為，則，解得，所以圓的標準方程為.故選：C5．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知圓M的方程為，則直線關(guān)于點M的對稱直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先給出點的坐標，所求直線應(yīng)平行于已知直線，且點到這兩條直線的距離相等.【詳解】點坐標為，設(shè)所求直線方程為則有兩直線不能重合，所以故選：D.6．（24-25高二上·重慶長壽·期末）已知點是圓上任意一點，則的最大值為（

）A．5 B．6 C．25 D．36【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合圓上的點與定點距離的最大值求解即可.【詳解】圓的圓心，半徑，目標函數(shù)表示圓上的點與定點距離的平方，而，所以的最大值為36.故選：D7．（24-25高二上·河北石家莊·期中）點與圓（）的位置關(guān)系為（

）.A．點在圓外 B．點在圓上 C．點在圓內(nèi) D．與的取值有關(guān)，無法確定【答案】A【分析】求出點與圓心的距離，和半徑比較即可判斷位置關(guān)系.【詳解】圓（）的圓心為，半徑為.因為點與圓心的距離為，且，所以，故，所以點在圓（）外.故選：A.8．（24-25高二上·江蘇鹽城·期中）圓，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出圓心關(guān)于直線的對稱點即可得解.【詳解】設(shè)，的圓心，半徑，由題意則與關(guān)于直線對稱，所以，解得，所以圓的標準方程為，故選：A9．（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）若圓上總存在兩個點到點的距離為2，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出圓心和半徑，表達出圓心與的距離為，數(shù)形結(jié)合得到，從而得到不等式，求出答案.【詳解】的圓心為，半徑為1，與的距離為，要想圓上總存在兩個點到點的距離為2，則，即，解得.故選：B10．（23-24高二上·廣東惠州·月考）已知圓關(guān)于直線（，）對稱，則的最小值為（

）A． B．9 C．4 D．8【答案】B【分析】由題可得，然后利用基本不等式即得.【詳解】圓的圓心為，依題意，點在直線上，因此，即，∴，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值為9.故選：B.二、多選題11．（23-24高二上·青海海南·期中）已知，兩點，以線段為直徑的圓為圓，則（

）A．在圓上 B．在圓外C．在圓內(nèi) D．在圓外【答案】ABC【分析】根據(jù)條件求圓心和半徑，即可求得圓的標準方程，再將點代入圓的方程，即可判斷點與圓的位置關(guān)系.【詳解】線段的中點坐標為，又，因為線段為圓的直徑，所以圓的圓心為，半徑，所以圓的方程為，對于A，點代入，所以點在圓上，故A正確；對于B，點代入，所以點在圓外，故B正確；對于C，點代入，所以點在圓內(nèi)，故C正確；對于D，點代入，所以點在圓上，故D錯誤.故選：ABC.12．（23-24高二上·福建福州·