PAGE1專題17圓的一般方程內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識：7大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識點(diǎn)01：圓的一般方程1、圓的一般方程：當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程．其中為圓心，為半徑．2、一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)系：對方程的左邊配方，并將常數(shù)移項(xiàng)到右邊，得，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：（1）當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解.它表示一個(gè)點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．（3）當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．注：圓的一般式方程特點(diǎn)：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項(xiàng)；③.知識點(diǎn)02：在圓的一般方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)和圓的一般式方程：（），則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)知識點(diǎn)03：軌跡與軌跡方程1、軌跡方程和軌跡的定義已知平面上一動點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡方程是指點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式。軌跡是指點(diǎn)在運(yùn)動變化過程中形成的圖形，在解析幾何中，我們常常把圖形看作點(diǎn)的軌跡（集合）.2、“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別：（1）“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大?。ǚ秶┑忍卣?；（2）“軌跡方程”是方程，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍．3、坐標(biāo)法求軌跡方程的步驟（1）建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；（2）設(shè)點(diǎn)：用表示軌跡（曲線）上任意一點(diǎn)的的坐標(biāo)；（3）列式：列出關(guān)于的方程；（4）化簡：把方程化為最簡形式；（5）證明：證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．【題型01：對圓的一般方程的理解】一、單選題1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，則該圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A．，1 B．，1C．， D．，2．（23-24高二上·福建福州·期中）已知圓的方程，半徑為4，則實(shí)數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或3．（24-25高二上·四川眉山·期末）若方程表示圓，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·吉林通化·期中）若方程表示一個(gè)圓，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．（24-25高二上·湖北·期末）已知圓上的所有點(diǎn)都在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圓，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【題型02：求圓的一般方程】一、單選題1．（24-25高二上·河南洛陽·期中）已知，，，則的外接圓方程為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知圓C經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·安徽合肥·期中）關(guān)于圓有四個(gè)命題：①點(diǎn)在圓內(nèi)；②點(diǎn)在圓上；③圓心為；④圓的半徑為3.若只有一個(gè)假命題，則該命題是（

）A．① B．② C．③ D．④二、填空題4．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為.5．（24-25高二上·天津?yàn)I海新·期中）已知點(diǎn)外接圓的方程是【題型03：一般方程下點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】一、單選題1．（24-25高二上·甘肅白銀·期中）點(diǎn)在圓的（

）A．外部 B．內(nèi)部 C．圓周上 D．無法確定2．（24-25高二上·浙江·期中）若點(diǎn)在圓內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·福建泉州·期中）若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·北京昌平·期末）“”是“坐標(biāo)原點(diǎn)在圓的外部”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型04：圓過定點(diǎn)問題】一、單選題1．（23-24高二上·湖北荊州·期末）圓恒過的定點(diǎn)為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·河北滄州·期末）已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過定點(diǎn)外還過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．二、填空題3．（23-24高二下·上海徐匯·期中）對任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為．4．（24-25高二下·河北張家口·月考）點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)【題型05：與圓有關(guān)的軌跡問題】一、單選題1．（24-25高二下·湖南·月考）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，動點(diǎn)滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·廣東深圳·期末）已知等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)為，底邊的一個(gè)端點(diǎn)為，則底邊的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．（且） B．（且）C．（且） D．（且）二、填空題3．（24-25高二上·廣東佛山·期中）已知動點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離的平方和為定值6，那么點(diǎn)的軌跡方程為.4．（23-24高二上·甘肅蘭州·期末）已知線段的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動，則線段的端點(diǎn)B的軌跡方程是．三、解答題5．（24-25高二下·四川眉山·開學(xué)考試）已知圓C的圓心為，且過點(diǎn)(1)求圓C的半徑及標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)P的軌跡方程.6．（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知圓的圓心為直線與直線的交點(diǎn)，且圓過點(diǎn)A.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.7．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若動點(diǎn)滿足．(1)試求動點(diǎn)P的軌跡方程(2)過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，試求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．【題型06：圓的一般方程中對稱條件的突破】一、單選題1．（23-24高二上·安徽淮北·月考）如果圓關(guān)于直線對稱，那么（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·重慶長壽·期末）圓關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)（

）A． B．4 C．或4 D．2或3．（24-25高二上·陜西安康·期中）若存在點(diǎn)，使得圓與圓關(guān)于點(diǎn)對稱，則（

）A．1 B． C．2 D．4．（23-24高二上·福建廈門·期中）若圓與圓關(guān)于直線對稱，過點(diǎn)的圓與軸相切，則圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．二、解答題5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知圓過兩點(diǎn)且圓關(guān)于直線對稱，求的的方程．6．（23-24高二上·北京房山·期中）已知圓：和直線：．(1)寫出圓的圓心和半徑；(2)若在圓上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對稱，且以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程．【題型07：圓的方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用】一、單選題1．（23-24高二上·河南洛陽·期中）如圖，一座圓拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬12米，則當(dāng)水面下降1米后，水面寬為（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．（23-24高二下·吉林白城·期末）某圓拱橋的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造時(shí)，每隔3m需用一個(gè)支柱支撐，則支柱的長為（

）

A． B．C． D．不確定3．（23-24高二上·四川樂山·月考）某圓拱橋的水面跨度16米，拱高4米，現(xiàn)有一船寬10米，則這條船能從橋下通過的水面以上最大高度約為（

）A．2.40米 B．2.66米 C．2.80米 D．3.00米二、解答題4．（23-24高二上·北京豐臺·期中）趙州橋，又名安濟(jì)橋，位于河北省石家莊市趙縣的洨河上，距今已有多年的歷史，是保存最完整的古代單孔敞肩石拱橋，其高超的技術(shù)水平和不朽的藝術(shù)價(jià)值，彰顯了中國勞動人民的智慧和力量．2024年以來，中國文旅市場迎來強(qiáng)勁復(fù)蘇，某地一旅游景點(diǎn)為吸引游客，參照趙州橋的樣式在景區(qū)興建圓拱橋，該圓拱橋的圓拱跨度為，拱高為，在該圓拱橋的示意圖中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．

(1)求這座圓拱橋的拱圓的方程；(2)若該景區(qū)游船寬，水面以上高，試判斷該景區(qū)游船能否從橋下通過，并說明理由.一、單選題1．（24-25高二上·重慶·期中）圓心為且過原點(diǎn)的圓的一般方程是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·陜西·期中）若圓的半徑為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·四川南充·月考）已知圓關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)（

）A．6 B．4 C．3 D．74．（24-25高二上·江蘇泰州·月考）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（24-25高二上·遼寧·期中）已知橢圓，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線段為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知定點(diǎn)，點(diǎn)A在圓上運(yùn)動，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．7．（23-24高二上·江蘇南通·期中）圓C：關(guān)于直線對稱圓的方程為（

）A． B．C． D．8．（24-25高二上·福建漳州·期末）已知點(diǎn)和，若動點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（

）A． B．2 C． D．9．（23-24高二上·山西運(yùn)城·月考）圓關(guān)于直線（，）對稱，則的最小值是（

）．A． B． C． D．二、填空題10．（24-25高二上·甘肅·期末）若點(diǎn)是圓外的一點(diǎn)，則的取值范圍是．11．（23-24高二上·河南信陽·期中）圓恒過的定點(diǎn)是.12．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知圓過三點(diǎn)，點(diǎn)，則圓的一般方程為，點(diǎn)在圓（內(nèi)/上/外）．13．（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期末）某圓形拱梁示意圖如圖所示，該圓拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撐，則支柱的長度為m．（精確到0.01m）參考數(shù)據(jù)：

14．（23-24高二上·江西南昌·月考）已知圓，點(diǎn)，平面內(nèi)一定點(diǎn)（異于點(diǎn)），對于圓上的任意動點(diǎn)，都有為定值，定點(diǎn)的坐標(biāo)為