專題04直線與圓

內(nèi)容早知道

?第一層鞏固提升練

題型一：軌跡：阿圓

題型二：軌跡：相關(guān)點(diǎn)代入型

題型三：待定系數(shù)求圓的方程

題型四：兩圓的公切線

題型五：圓的切線最值

題型六：切線三角形面積最值

題型七：切點(diǎn)弦

題型八：切弦與角度

題型九：圓的旋轉(zhuǎn)切線

題型十：殘圓與函數(shù)

題型十一：圓型“將軍飲馬”

題型十二：直線與圓大題：偉大定理

題型十三：直線與圓：定點(diǎn)

題型十四：圓綜合大題

?第二層能力提升練

?第三層高考真題練

鞏固提升練

題型01軌跡：阿圓

技巧積累與運(yùn)用

?

已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA/PB=k，且K不等于1的點(diǎn)P的軌跡，是一個圓心在A、

B兩個點(diǎn)的所在直線上的圓。這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓

即PA=KPB，k不等于1，則P點(diǎn)軌跡是一個圓，可直接設(shè)點(diǎn)推導(dǎo)

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A2，0，B2,0，動點(diǎn)M滿足MA2MB，則△MAB面積的

最大值為（）

162032

A．B．6C．D．

333

【答案】A

2

10264

【分析】滿足MA2MB的動點(diǎn)M的軌跡是圓xy，當(dāng)點(diǎn)M到x軸距離最大時，△MAB面

39

積最大.

22

【詳解】設(shè)Mx,y，由MA2MB得x2y22x2y2，

20

化簡，整理得x2y2x40，

3

2

10264

即動點(diǎn)M的軌跡方程為：xy，

39

1

1

△MAB的面積SABy2y,

MAB2MM

816

當(dāng)點(diǎn)M到x軸距離y=時，S2y為最大值.

M3MABM3

故選：A.

2．已知點(diǎn)A4,0，B3,2，拋物線C:y24x的焦點(diǎn)為F,P是C上的動點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足MF2MA，則

下列說法正確的是（）

A．點(diǎn)B在動點(diǎn)M的軌跡上

B．△PFB周長的最小值為422

C．當(dāng)MFB最小時，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4

D．BFM面積的最大值為422

【答案】BCD

【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)MF2MA得到動點(diǎn)M的軌跡為圓.選項(xiàng)A根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷；

選項(xiàng)B結(jié)合拋物線的定義和三點(diǎn)共線距離和最短可求；選項(xiàng)C根據(jù)直線與圓相切得MDMF和MFD30

??,?

即可求解；選項(xiàng)D首先將面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到直線距離最遠(yuǎn)，再求圓上的點(diǎn)到直線的最大距離即可.

22

【詳解】由題可知，設(shè)點(diǎn)，則MFx1y2，MAx4y2.

222

MF2MA，?1x,01y2?2?,?x4y2，化簡得x2y210x210，即x5y24，

則動點(diǎn)M的軌跡是以D5,0為圓心，2為半徑的圓.

2

對于A，因?yàn)?52284，所以點(diǎn)B不在動點(diǎn)M的軌跡上，故A錯誤；

對于B，拋物線的準(zhǔn)線方程為x1，如圖，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，

則PBPFPBPH，當(dāng)且僅當(dāng)B,P,H三點(diǎn)共線時，PBPF取得最小值，即

PBPFPBPH314.

22

又BF312022，所以△PFB周長的最小值為422，故B正確；

對于C，如圖，當(dāng)MF與圓相切且點(diǎn)M在x軸上方時，MFB最小.

連接MD，所以MDMF.

FD42MD，MFD30，MF422223，

所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為MFcosMFD14，故C正確；

對于D，因?yàn)锽F22，為定值，所以若BFM的面積取得最大值，則只需要動點(diǎn)M到直線BF的距離最

遠(yuǎn)即可.

20501

直線BF:yx1，即xy10，所以點(diǎn)D到直線BF的距離為22，

3111

所以M到直線BF的最大距離為222，

1

所以BFM面積的最大值為22222422，故D正確.

2

故選：BCD.

2

PA

3．阿波羅尼斯圓（ApolloniusCircle）是指在平面上，給定兩點(diǎn)A?B以及一個常數(shù)kk1，所有滿足k

PB

（P為動點(diǎn)）的點(diǎn)P的軌跡.這個軌跡是一個圓，最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，因此得名.現(xiàn)已知定

點(diǎn)A1,0,B1,1,點(diǎn)P是圓C:x2y24上的動點(diǎn)，則2PAPB的最小值為.

【答案】26

22

【分析】設(shè)2PAPE，Px,y,E(m,n)，根據(jù)是圓C1:xy4上的點(diǎn)，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，再由三

角形兩邊之和大于第三邊求得

2PAPBPE?PB?,?BM26.

【詳解】由題意，設(shè)2PAPE，Px,y,E(m,n)，

2222

所以4(x1)yxmyn，

82m2nm2n24

則x2y2xy，

333

22

由于是圓C1:xy4上的點(diǎn),

82m0

??,?m4

所以2n0，解得，即E(4,0)，

22n0

mn412

所以2PAPBPEPBBM26，如圖，

所以2PAPB的最小值為26.

故答案為：26.

22

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)2PAPE，Px,y,E(m,n)，根據(jù)是圓C1:xy4上的點(diǎn)，求出點(diǎn)E坐

標(biāo)，再由三角形兩邊之和大于第三邊求得

2PAPBPEP?B?,?BM26.

題型02軌跡：相關(guān)點(diǎn)帶入型

技巧積累與運(yùn)用

?

求軌跡

（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點(diǎn)的軌跡方程；

（2）定義法：如果能確定動點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；

（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動點(diǎn)Q的坐標(biāo)x、y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)x0、y0，然后代入點(diǎn)P的坐標(biāo)x0,y0所滿足的

曲線方程，整理化簡可得出動點(diǎn)Q的軌跡方程；

（4）參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找x、y與某一參數(shù)t得到方程，即

為動點(diǎn)的軌跡方程；

（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點(diǎn)的軌跡方程.

3

1．已知點(diǎn)P在圓(x2)2y21上運(yùn)動，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OP的中點(diǎn)的軌跡方程為（）

11

A．(x1)2y2B．(x1)2y2

42

1

C．(x1)2y21D．(x2)2y2

4

【答案】A

【分析】設(shè)出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入圓的方程，化簡即可.

【詳解】設(shè)線段OP的中點(diǎn)Mx,y，則P2x,2y，故(2x2)2(2y)21，

11

化簡得(x1)2y2，即線段OP的中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y2.

44

故選：A.

2．下列說法正確的有（）

1

A．直線2xmy10過定點(diǎn),0

2

2

B．圓x2y236上的動點(diǎn)P與定點(diǎn)Q4,0所連線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為x2y29

2222

C．若圓O1:xy2y30與圓O2:xy6x10ym0有唯一公切線，則m25

2

D．圓x2y14上存在兩個點(diǎn)到直線xy20的距離為2

【答案】ABD

1

【分析】當(dāng)y0時，x可得直線定點(diǎn)判斷A正確；設(shè)Mx,y，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，代

211

入圓方程化簡可判斷B正確；由O1O2r1r2可得C錯誤；求出圓心到直線的距離，再結(jié)合圓上的點(diǎn)到直

線的最大距離和最小距離可得D正確；

11

【詳解】對于A，當(dāng)y0時，x，所以直線過定點(diǎn),0，故A正確；

22

對于B，設(shè)Mx1,y1，由題意可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為2x14,2y1，

2222

代入圓方程可得2x144y136，即點(diǎn)M的軌跡方程為x2y9，故B正確；

2222

對于C，圓O1:xy14，圓O2:x3y534m，

因?yàn)閮蓤A有唯一的公切線，所以兩圓相內(nèi)切，所以O(shè)1O2r1r2，

22

即0315234m，解得m15，故C錯誤；

0122

對于D，圓心到直線的距離為，

112

22

所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為2，最小距離為2，

22

2222

因?yàn)?22，所以圓xy14上存在兩個點(diǎn)到直線xy20的距離為2，故D正確；

22

故選：ABD.

22

3．已知點(diǎn)A1,0,B3,0，若圓xm1ym21上存在點(diǎn)P滿足PAPB5，則實(shí)數(shù)m的取值

范圍是.

U

【答案】17,02,17

【分析】根據(jù)數(shù)量積分析可知點(diǎn)P在以M1,0為圓心，半徑r23的圓上，且兩圓有公共點(diǎn)，結(jié)合兩圓的位

置關(guān)系列式求解即可.

22

【詳解】由題意可知：圓xm1ym21的圓心為Nm1,m2，半徑r11，

設(shè)Px，y，則PA1x,y，PB3x,y，

4

uuruur2

因?yàn)镻APBx2y22x35，整理可得x1y29，

即點(diǎn)P在以M1,0為圓心，半徑r23的圓上，

22

可知兩圓有公共點(diǎn)，則r1r2NMr1r2，即2mm24，

m22m0

整理可得，解得或，

217≤m≤02≤m≤17

m2m60

U

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是17,02,17.

U

故答案為：17,02,17.

題型03待定系數(shù)求圓的方程

技巧積累與運(yùn)用

?

圓的一般方程對應(yīng)的圓心和半徑

2222DE

圓的一般方程xyDxEyF0DE4F0表示的圓的圓心為,，半徑長為

22

1

D2E24F．

2

1．過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（）

A．x2y22x3y0B．x2y22x3y0

C．x2y22x3y0D．x2y22x3y0

【答案】A

【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，將三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到方程組，求出圓的方程.

【詳解】設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0,(D2E24F0)，

由題意知,圓過點(diǎn)0,0，2,0和0,3，

F0D2

所以42DF0，解得E3，

93EF0F0

所以所求圓的方程為x2y22x3y0.

故選：A

2．已知VABC的三個頂點(diǎn)為A1,2,B2,1,C3,4，則下列關(guān)于VABC的外接圓圓M的說法正確的是（）

A．圓M的圓心坐標(biāo)為1,3

B．圓M的半徑為5

C．圓M關(guān)于直線x＋y＝0對稱

D．點(diǎn)2,3在圓M內(nèi)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求出VABC的外接圓方程即可判斷AB，根據(jù)圓心不在直線x＋y＝0上判斷C，根

據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑比較判斷D.

【詳解】設(shè)VABC的外接圓圓M的方程為x2y2DxEyF0（D2E24F0），

5

14D2EF0D2

則412DEF0，解得E6，

9163D4EF0F5

22

所以VABC的外接圓圓M的方程為x2y22x6y50，即x1y35.

故圓M的圓心坐標(biāo)為1,3，圓M的半徑為5，故AB正確；

因?yàn)橹本€x＋y＝0不經(jīng)過圓M的圓心1,3，所以圓M不關(guān)于直線x＋y＝0對稱，故C錯誤；

22

因?yàn)?13315，故點(diǎn)2,3在圓M內(nèi)，故D正確.

故選：ABD

3．已知圓C的圓心在直線yx5上，且圓C過點(diǎn)2,6、5,3，若圓C與圓C關(guān)于直線x2y20對

稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

22

29

【答案】xy9

55

【分析】設(shè)圓的一般方程x2y2DxEyF0，結(jié)合已知列方程求解D,E,F的值，再轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程即可，由于圓C與圓C關(guān)于直線x2y20對稱，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱坐標(biāo)特點(diǎn)求得C的坐標(biāo)，則得

圓心C，由對稱可知半徑不變，故可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

【詳解】設(shè)圓C的方程為x2y2DxEyF0，

402D6EF0D4

已知圓C的圓心在直線yx5上，且圓C過點(diǎn)2,6、5,3，則345D3EF0，解得E6，

EDF4

5

22

22

即圓C的方程為x2y24x6y40，所以，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y39．

圓C的圓心C2,3，半徑r3，

設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為Cx0,y0，因?yàn)閳AC與圓C關(guān)于直線x2y20對稱，

y3

02

2x0

x2529

則有0，解得，即C,．

x02y03955

220y0

225

22

29

所以，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為xy9．

55

題型04兩圓的公切線

技巧積累與運(yùn)用

?

公共弦直線：當(dāng)兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程．

1．已知圓M:(x1)2(y2)22與圓N:x2y26x8ym0恰有三條公切線，則m（）

A．15B．17C．21D．23

【答案】D

【分析】根據(jù)兩圓公切線的條數(shù)確定兩圓的位置關(guān)系，再把兩圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑和差的數(shù)

量關(guān)系求參數(shù)m的值.

22

【詳解】圓M:(x1)(y2)2，圓心為M1,2，半徑為r12，

2222

圓N:xy6x8ym0可化為x3y425m，圓心為N3,4，半徑為r225m，m25，

若圓M與圓N恰有三條公切線，則兩圓外切，

6

22

則MNr1r2，即(31)(42)225m，解得m23.

故選：D.

22222

2．已知圓C1:xy1，C2:x3y3rr0，則下列說法正確的是（）

A．當(dāng)r1時，圓C1與圓C2有2條公切線

B．當(dāng)r2時，y1是圓C1與圓C2的一條公切線

C．當(dāng)r3時，圓C1與圓C2相離

D．當(dāng)r4時，圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程為yx1

【答案】BC

【分析】根據(jù)兩圓圓心距與半徑間的關(guān)系判斷各項(xiàng)中圓C1與圓C2的位置關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線距離與半徑的大小

關(guān)系判斷直線與圓的關(guān)系，相交情況下兩圓方程相減求得公共弦所在直線的方程.

【詳解】由題可知圓心C10,0，半徑r11，圓心C23,3，半徑r；

故兩圓圓心距為C1C232，

對于A，當(dāng)r1時，C1C232r1，此時兩圓相離，故圓C1與圓C2有4條公切線，即A錯誤；

對于B，當(dāng)r2時，y1是圓C1的切線，

又圓心C23,3到y(tǒng)1的距離為d2r，即圓C2與y1相切，

所以y1是圓C1與圓C2的一條公切線，即B正確；

對于C，當(dāng)r3時，C1C2324r1，此時圓C1與圓C2相離，即C正確；

對于D，當(dāng)r4時，413C1C2541，此時圓C1與圓C2相交，

1

將兩圓方程相減可得2x2y10，即圓C與圓C2的公共弦所在直線的方程為yx，即D錯誤.

12

故選：BC

11

3．寫出與圓(x1)2(y2)2和圓(x2)2(y1)2都相切的一條直線方程.

22

【答案】xy0（或xy20或xy40，任寫一條即可，答案不唯一）

【分析】求出兩圓圓心和半徑，兩圓圓心距以及兩圓心所在直線方程即可得兩圓公切線情況，再結(jié)合直線

垂直關(guān)系以及兩平行直線距離公式即可求公切線方程.

2212

【詳解】圓(x1)(y2)的圓心為1,2，半徑為，

22

1

圓(x2)2(y1)2的圓心為，半徑為2，

22

兩圓心距為22，故兩圓外切，

(12)(21)22,1r1r2

2133

兩圓圓心所在直線l的方程為y2x1，即xy30，中點(diǎn)為,，

1222

切線l1垂直于直線l，且經(jīng)過中點(diǎn)，所以切線l1的方程為xy0；

2

切線l2,l3平行于直線l，且到直線l的距離為r=，

2

設(shè)平行于直線l切線方程為xyb0,b3，

b32

則,b3b2或b4，

22

所以切線l2,l3的方程分別為xy20,xy40.

7

故答案為：xy0（或xy20或xy40，任寫一條即可，答案不唯一）.

題型05圓的切線最值

技巧積累與運(yùn)用

?

圓切線，基本方法和思維，是轉(zhuǎn)化為如下圖的對稱切線三角形。所以，與切線有關(guān)的，大多

數(shù)都通過切線三角形轉(zhuǎn)化為與“圓心有關(guān)”

1．由直線yx1上的點(diǎn)向圓(x3)2(y2)21引切線，則切線長的最小值為()

A．17B．32C．19D．25

【答案】A

【分析】由勾股定理可知當(dāng)直線yx1的點(diǎn)到圓(x3)2(y2)21的圓心距離最小時，此時切線長最小，

然后計算即可.

【詳解】由題可知圓(x3)2(y2)21的圓心O3,2，半徑r1，

設(shè)直線yx1的動點(diǎn)為P，切點(diǎn)為A

22

則切線長APPOr2PO1

所以要使切線長最小，則PO最小；

321

顯然PO的最小值為O3,2到直線yx1的距離為32

2

2

所以此時切線長APPO117.

故選：A

22

2．已知點(diǎn)A3,4在直線l上，圓C:x1y24，則下列說法正確的是（）

A．若圓C關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為xy10

B．若點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，則AP的最大值為224

C．若直線l與圓C相切于點(diǎn)B，則AB2

D．若直線l與圓C相切，則直線l的方程為y4或x3

【答案】ACD

【分析】由直線l過圓心，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可判斷A，由AP的最大值為ACr，即可判斷B，

由勾股定理代入計算，即可判斷C，分切線的斜率存在于不存在代入計算，結(jié)合dr列方程計算，即可判

斷D.

8

22

【詳解】對于A中，由圓C:x1y24，得圓心C1,2，半徑r2，

42

若圓C關(guān)于直線l對稱，則直線l經(jīng)過圓心C，所以直線l的斜率為k1，

31

此時直線方程為y2x1，即xy10，所以A正確；

22

對于B中，由AC314222，AP的最大值為ACr222，所以B錯誤；

對于C中，若直線l與圓C相切于點(diǎn)B，

π22

則ABC，ABACBC842，所以C正確；

2

對于D中，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x3，圓心C到直線l的距離為2r，所以直線l與圓

C相切，滿足要求；

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y4kx3，

即kxy43k0，若直線l與圓C相切，

k243k

則圓心C到直線l的距離dr2，解得k0，

k21

所以直線l的方程為y4，

綜上所述，若直線l與圓C相切，則直線l的方程為x3或y4，所以D正確.

故選：ACD

3．已知點(diǎn)Px,y為直線l:2xy40上的動點(diǎn)，過P點(diǎn)作圓C:x2(y1)21的切線PA,PB，切點(diǎn)為A,B，

則PAB周長的最小值為．

45

【答案】4

5

【分析】先求出圓心到直線的距離，確定動點(diǎn)P到圓心C的最短距離，從而得出切線長PA、PB,進(jìn)而求出

PAB的周長表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出最小值.

【詳解】設(shè)圓心C(0,1)到直線l:2xy40的動點(diǎn)的距離為，

014

根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，PC5.??,???

2212

因?yàn)镻A，PB是圓C的切線，所以PAPBt21（其中tPC5）.

2

又因?yàn)镻AC是直角三角形，由勾股定理可得PAPC21，即PAt21.

PAB的周長為PAPBAB.

因?yàn)锳B是圓C的弦，且PAC和△PBC全等，所以ACPBCP.

11AB

根據(jù)三角形面積公式，SPArPC（其中r是圓的半徑），

PAC222

ABt212t21

可得，所以AB，

2tt

2t211

則PAB的周長2t212t2121(t5).

tt2

1

因?yàn)閥2t21與y21均在[5,)上單調(diào)遞增，

t2

2445

所以當(dāng)t5時，PAB周長取得最小值.最小值為244.

55

45

故答案為：4.

5

9

題型06切線三角形面積最值

技巧積累與運(yùn)用

?

通過切線三角形，把面積轉(zhuǎn)化為圓心有關(guān)的最值范圍來求解

22

1．點(diǎn)P是圓C：x3y32上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓O：x2y21作兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，

則四邊形PAOB面積的最大值為（）

A．231B．217C．17D．31

【答案】D

【分析】將四邊形PAOB的面積表示為S|PO|21，求得|PO|的最大值即可.

22

【詳解】由圓C:x3y32為，可得圓心為(3,3)，半徑為2，

由O:x2y21，可得圓心O(0,0)，半徑為1，

連接PO，則在PAO中，|PA||PO|212|PO|21，

1

所以四邊形PAOB的面積S2S2|PA|1|PA||PO|21，

PAO2

所以|PO|最大時，四邊形PAOB面積的最大值，

因?yàn)閨CO|(30)2(30)232，

所以|PO|max|CO|242，

所以四邊形PAOB面積的最大值為(42)2131.

故選：D.

2．已知點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|，點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，C0,7，則（）

A．當(dāng)PCA最小時，|PC|22B．當(dāng)PCA最大時，|PC|22

C．當(dāng)PAB面積最大時，|PA|22D．當(dāng)2|PC||PA|最大時，PAB面積為7

【答案】ABD

【分析】根據(jù)PA2PB可求得點(diǎn)P軌跡方程為(x3)2y28.當(dāng)直線PC與圓D相切時，PCA取最值，

判斷A，B；

當(dāng)P距離x軸最遠(yuǎn)時，PAB面積最大，判斷C；

P，B，C三點(diǎn)共線，P在CB的延長線與圓D的交點(diǎn)處時，2|PC||PA|最大，判斷D.

【詳解】設(shè)P(x,y)，由于A(1,0)，B(1,0)，且|PA|2|PB|，

所以(x1)2y22(x1)2y2，兩邊平方，整理得(x3)2y28，

即點(diǎn)P的軌跡為圓D:(x3)2y28，圓心D(3,0)，半徑為22.

當(dāng)直線PC與圓D相切時，PCA取最值，

如圖，當(dāng)P位于P1處時取PCA最小值，

當(dāng)位于處時取最大值，22222，

PP2PCACP1CP2CDPDOCODPD79822

A，B正確；

10

由于|AB|2，P為圓(x3)2y28上的點(diǎn)，所以當(dāng)P距離x軸最遠(yuǎn)時，PAB面積最大，

即P3,22或P3,22時，PAB面積最大，

不論P(yáng)3,22還是P3,22，|PA|的值相等，

2

都等于PA(31)22226，故C錯誤；

因?yàn)閨PA|2|PB|，所以2|PC||PA|2|PC|2|PB|2|BC|4，

此時P，B，C三點(diǎn)共線，P在CB的延長線與圓D的交點(diǎn)處，

xy

直線BC方程為1，即7xy70，

17

7xy701

與圓聯(lián)立，得2，解得x（舍去）或x2，

D222x5x20

x3y82

則y7(1x)7，則P2,7，

1

所以S7|AB|7，D正確.

△PAB2

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，本題考查了圓的軌跡方程和圓上的點(diǎn)產(chǎn)生的最值問題，本題解題方法的核心是數(shù)形結(jié)

合，從圖中找到最值問題對應(yīng)點(diǎn)，便可求得對應(yīng)結(jié)果.

2

3．已知圓C：x2y21，過直線x2y0上點(diǎn)P引圓C的切線，切點(diǎn)為A，B，則當(dāng)ABC的面積

最大時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

△

22

【答案】,或2,2

33

1π

【分析】依題意Sr2sinACB，從而得到面積最大值時對應(yīng)ACB時，再結(jié)合圓外一點(diǎn)引出的

ABC22

圓的兩條切線的性質(zhì)即可求出P的坐標(biāo).

11

12π1

【詳解】由題SrsinACB，所以ACB時，S△最大，

ABC22ABC2

由于PA，PB與圓相切，所以四邊形PACB是正方形，此時PC2r2，

2

又點(diǎn)P在直線x2y0上，所以設(shè)點(diǎn)P2a,a，則PC2a2a22，

222

解得a或a2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為,或2,2.

333

22

故答案為：,或2,2.

33

題型07切點(diǎn)弦

技巧積累與運(yùn)用

?

圓的切線常用結(jié)論：

2222

(1)過圓x＋y＝r上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為：x0x＋y0y＝r.

2222

(2)過圓(x－a)＋(y－b)＝r上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.

22

(3)過圓C：x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程的求法：

①以M為圓心，切線長為半徑求圓M的方程；②用圓M的方程減去圓C的方程即得；

222

(x－a)＋(y－b)＝r外一點(diǎn)P(x0，y0)做切線，切點(diǎn)所在直線方程（切點(diǎn)弦方程）為：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y

－b)＝r2.

1．已知點(diǎn)P在直線xy4上，過點(diǎn)P作圓O:x2y24的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B則點(diǎn)M4,2到直

線AB距離的最大值（）

A．10B．210C．310D．410

【答案】A

【分析】假設(shè)點(diǎn)Pa,b，求得以O(shè)P為直徑的圓的方程，與已知圓O的方程作差可得直線AB的方程，然后

可知直線AB過定點(diǎn)1,1，最后判斷和計算可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)Pa,b，則ab4，

22

ab122

則以O(shè)P為直徑的圓的方程為xyab，

224

與圓O的方程x2y24相減，得到直線AB的方程為：axby40，

又ab4，可得ax4ay40，即axy4y40，

xy0

可得，解得xy1，所以直線AB恒過定點(diǎn)N1,1，

4y40

22

點(diǎn)M到直線AB距離的最大值即為點(diǎn)M，N之間的距離，MN412110，

所以點(diǎn)M4,2到直線AB距離的最大值為10.

故選：A.

12

2．已知P是直線l:xy40上一動點(diǎn)，Q是圓O:x2y22上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切

點(diǎn)分別為A、B，則().

A．點(diǎn)Q到直線l的距離的取值范圍為2,42

11

B．直線AB恒過定點(diǎn),

22

C．四邊形PAOB的面積的最小值為23

D．PAPB的最小值為3

【答案】BCD

【分析】A：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解判斷即可；

B：根據(jù)圓的方程和相交弦方程的特征進(jìn)行求解判斷即可；

C：根據(jù)圓的切線性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可；

D：根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解判斷即可.

4

【詳解】對于A選項(xiàng)，圓心O到直線l的距離為d22，所以點(diǎn)Q到直線l的距離的取值范圍為：

1212

2,32，故A錯誤；

對于B選項(xiàng)，設(shè)Px0,4x0，則以線段OP為直徑的圓的方程為：

22

xx0xy4x0y0，即xyx0xx04y0，

22

與圓O的方程xy2作差得：x0xx04y20，

即為直線AB的方程，整理得x0xy4y20，

xy0111

由，可知：xy，所以直線AB恒過定點(diǎn),，

4y20222

故B正確；

對于C選項(xiàng)，因?yàn)镻AOA，PBOB，

所以四邊形的面積：2，

PAOBS2SPAOPAOAOP22

當(dāng)時，，所以四邊形的面積，故正確；

OPlOPmin22PAOBSmin23C

OA22

對于D選項(xiàng)，設(shè)APO，則sin，且PAOP2，

OPOP

24

因?yàn)閏os212sin12，

OP

224

所以PAPBPAPBcos2PA12sin2OP21

2

OP

28

OP26，

OP

42

因?yàn)镺P22，所以O(shè)P8，

1212

28

82

對勾函數(shù)yx在8,上單調(diào)遞增，當(dāng)OP8時，OP26有最小值3，