專(zhuān)題10數(shù)列遞推公式歸類(lèi)

內(nèi)容早知道

?第一層鞏固提升練

題型一：歸納型

題型二：遞推基礎(chǔ)：累加型

題型三：遞推基礎(chǔ)：累積型

題型四：累加與累積擴(kuò)展型：換元型

題型五：sn型求通項(xiàng)

題型六：待定系數(shù)或者同除構(gòu)造二階等比型

題型七：等差等比同構(gòu)型

題型八：周期數(shù)列型

題型九：分式倒數(shù)型

題型十：分式換元待定系數(shù)型

題型十一：奇偶分段型

題型十二：“和”定型

題型十三：“隱形和”型

?第二層能力提升練

?第三層高考真題練

鞏固提升練

題型01歸納型

技巧積累與運(yùn)用

?

小題的數(shù)歸法，大多數(shù)是先通過(guò)計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，再觀察數(shù)列中的項(xiàng)與系數(shù)，根據(jù)an與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系，

猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再證明.

1．大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生

原理．該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則該數(shù)列第18項(xiàng)為（）

A．200B．162C．144D．128

【答案】B

【詳解】偶數(shù)項(xiàng)分別為2，8，18，32，50，即21，24，29，216，225，即偶數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公

22

式為a2n2n，則數(shù)列的第18項(xiàng)為第9個(gè)偶數(shù)，即a18a2929281162．故選B．]

2．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德?tīng)柌剂_在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門(mén)新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決

眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一個(gè)樹(shù)形圖，記圖2中

第n行黑圈的個(gè)數(shù)為an，白圈的個(gè)數(shù)為bn，若an144，則bn（）

A．34B．35C．88D．89

【答案】D

【分析】由題可知，每個(gè)白圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈一個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈兩個(gè)黑圈，

從而可得遞推式，然后由遞推式可求得結(jié)果.

1

【詳解】由題可知，每個(gè)白圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈一個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈在下一行產(chǎn)生一個(gè)白圈兩個(gè)黑圈，

所以有an2an1bn1，bnan1bn1，

又因?yàn)閍10，b11，

所以a21，b21，a33，b32，a48，b45，

a521，b513，a655，b634，a7144，b789，

故選：D.

3．我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)

學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的

項(xiàng)，其余各項(xiàng)依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項(xiàng)為（）

A．11B．12C．13D．14

【答案】B

【分析】由題意可知，去除所有為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

求解即可.

【詳解】由題意可知：若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，...，

nn1

可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則T，

n2

可得當(dāng)n10，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為55，第56項(xiàng)為12，

故選：B.

題型02遞推基礎(chǔ)：累加法

技巧積累與運(yùn)用

?

數(shù)列求通項(xiàng)，可以借助對(duì)“形形色色”的累加法研究學(xué)習(xí)，積累各類(lèi)通項(xiàng)“變化”規(guī)律。

“等差”累加法

1.:an1an=AnB

“等比”累加法n

2.:an1an=tq

“裂項(xiàng)”累加法t

3.:aa=

n1nAn2Bn

無(wú)理根式裂項(xiàng)累加法1

4.:an1an=

n1n

1

1．在數(shù)列an中，a13,an1anlg1，則a10等于（）

n

A．4B．310lg3C．13D．122lg3

【答案】A

【分析】應(yīng)用累加法結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算求出通項(xiàng)公式.

1

【詳解】依題意，在數(shù)列an中，a13,an1anlg1，

n

n1

即aalglgn1lgn，

n1nn

所以a10a1a2a1a3a2a10a9

2

3lg2lg1lg3lg2lg10lg93lg1lg10314．

故選：A.

3111

2*

2．?dāng)?shù)列an滿足a1，an11anan，nN，則的整數(shù)部分是（）

2a1a2a23

A．3B．2C．1D．0

【答案】C

1111111

2

【分析】由an11anan，得到，再利用累加法得到2，再

an1an11ana1a2a23a241

根據(jù)2，得到，從而得到的范圍求解

an1anan10an1ana24.

2

【詳解】解：由an11anan，

1111

得2，

an11ananan1an

111

所以，

an1an11an

2

因?yàn)閍n1anan10，

所以an1an，

111111

則m2，

a1a2a23a11a241a241

3737

又a，a，a，

1224316

所以a24a23a22a32，

1

所以01，

a241

所以1m2，

所以m的整數(shù)部分為1，

故選：C

12*

3．?dāng)?shù)列an滿足a11，且an11annN，則a22等于（）

nn

A．19B．20C．21D．22

【答案】B

aa222

【分析】根據(jù)題意，將原式變形可得n1n，由累加法分析可得a﹒

n1nn(n1)nn1n

12*

【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足a11，且an11annN，

nn

aa2

即n1n(nN*)，

n1nn(n1)

aa222

變形可得n1n，

n1nn(n1)nn1

aaaaaaaa

則有，n(nn1)(n1n2)(21)1

nnn1n1n2211

2222222

()()()(1)1

n1nn2n112n

則ann2n2，故a2222220；

故選：B．

3

題型03遞推基礎(chǔ)：累積法

技巧積累與運(yùn)用

?

累積法：

a

若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：ng(n)(n2)的關(guān)系，可用“累乘法”求通項(xiàng).

an1

累積法主要有“分式型”和“指數(shù)型”。

af(n1)

分式型：n(n2)

an1f(n)

a

指數(shù)型：nqn(n2)

an1

1．若數(shù)列an滿足n1ann1an1n2，a12，則滿足不等式an930的最大正整數(shù)n為（）

A．28B．29C．30D．31

【答案】B

【分析】利用累乘法求得an，由此解不等式an930,求得正確答案.

【詳解】依題意，數(shù)列an滿足n1ann1an1n2，a12，

ann1a2a3an345nn1

n2，所以ana12

an1n1a1a2an1123n2n1

nn1，a1也符合，所以annn1，an是單調(diào)遞增數(shù)列，

由annn1930,n31n300，解得31n30，

所以n的最大值為29.

故選：B

a2a2

n1n

2．在數(shù)列an中，an0，a11，222n，則a113（）

an1an

A．414B．15C．223D．10

【答案】B

22

an1an2

【分析】依題意對(duì)222n化簡(jiǎn)，采用累乘法得到a113，從而得到a113

an1an

a2a2a22n1

n1n222222n1

【詳解】因?yàn)?22n，所以an1an2nan1an，即12nan12n1an，得2.

an1anan2n1

22222

2a113a112a111a3a2222522322153

所以a11322222a11225.

a112a111a110a2a122322121931

因?yàn)閍n0，所以a11315.

故選：B.

an

n1

3．已知數(shù)列an滿足，a1=1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是（）

ann2

21

A．a(chǎn)nB．a(chǎn)n

n(n1)n(n1)

1n1

C．a(chǎn)D．a(chǎn)

nnn2

【答案】A

【分析】利用累乘法計(jì)算可得.

an

【詳解】解：因?yàn)閚1，

ann2

4

an1an2a3a2a1

所以n，n1，，4，3，2，

an1n1an2na35a24a13

aaaaan1n2321

所以nn1432，

an1an2a3a2a1n1n543

a212

n

即，又a1=1，所以an；

a1n1nn(n1)

故選：A

題型04累加與累積擴(kuò)展：換元型

x11

1．已知函數(shù)f(x)sin，數(shù)列an滿足a11，且an11an（n為正整數(shù)）．則fa2022（）

3nn

33

A．1B．1C．D．

22

【答案】C

11x

【分析】將an11an進(jìn)行整理，可以求出其通項(xiàng)公式，再代入f(x)sin可得答案.

nn3

11an1an1

【詳解】由an11an,，

nnn1nnn1

aa11a1a1a1

n1n,n1n...12，

n1nnn1n1n1nn11

4043π3

a2n1,a4043,fasin.

n2022202232

故選：C

anan1*

2．已知數(shù)列an滿足a11,anan1nN，則nan的最小值是（）

(n1)(n2)

23

A．B．C．1D．2

54

【答案】C

anan11111

【分析】本題首先可以根據(jù)anan1得出，然后通過(guò)累加法求出

(n1)n2an1ann1n2

2n2

a，再然判斷數(shù)列na的單調(diào)性即可求出.

n3n1n

anan1*

【詳解】因?yàn)閍nan1nN，

n(n1)

aa1111111

所以nn1，即，

anan1(n1)n2n1n2an1ann1n2

11111111

則

ananan1an1an2a2a1a1

1111111

nn1n1n231

113n1

1(n2)，

2n12n2

2n22n22n

當(dāng)n1時(shí)，上式成立，故an，na，

3n1n3n1

5

2n22n

設(shè)b，

n3n1

2

2n12n12n22n6n210n4

則bb0，

n1n3n113n13n43n1

故數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列，

則當(dāng)n1時(shí)，bn即nan的最小值為1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決數(shù)列問(wèn)題的常用方法：

（1）根據(jù)定義判斷數(shù)列為等差等比數(shù)列；

a1,n1

（2）利用an求數(shù)列通項(xiàng)；

SnSn1,n2

（3）對(duì)于anan1fn，利用累加法求通項(xiàng)；

（4）對(duì)于anbn結(jié)構(gòu)，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和.

an1an1

3．在數(shù)列an中，a12，ln1，則an（）

n1nn

A．a(chǎn)8B．2n1lnnC．1nlnnD．2nnlnn

【答案】D

an1ann1an

【分析】根據(jù)ln，利用累加法先求出2lnn，進(jìn)而求得an即可.

n1nnn

aan1

【詳解】由題意得，n1nln，

n1nn

aanaan1aa2

則nn1ln，n1n2ln…，21ln，

nn1n1n1n2n2211

aann12

由累加法得，n1lnlnln，

n1n1n21

annn12

即a1ln，

nn1n21

a

則n2lnn，

n

所以an2nnlnn，

故選：D

題型05sn型求通項(xiàng)

技巧積累與運(yùn)用

?

S(n1)

a1

或nSS(n2)

若在已知數(shù)列中存在：Snf(an)Snf(n)的關(guān)系，可以利用項(xiàng)和公式nn1，求數(shù)列的

通項(xiàng).一定要檢驗(yàn)n=1是否成立，特別是大題時(shí)。

1．已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a11，an12Sn2n1，則S2023（）

A．2021B．2022C．2023D．2024

【答案】C

S1,n1

【分析】利用an求得an，進(jìn)而求得S2023.

SnSn1,n2

【詳解】當(dāng)n1時(shí)，a22S121，因?yàn)镾1a11，所以a21．

6

當(dāng)n2時(shí)，由an12Sn2n1得an2Sn12n1，

兩式相減可得an1an2an2，即anan12．

因?yàn)閍21，所以a31，a41，…，an1，可得Sna1a2ann，

所以S20232023.

故選：C

2．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，滿足2nSnn，則數(shù)列{an}的公差為（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意求出a1,a2，然后求解公差即可；

2

【詳解】因?yàn)?nSnn,所以Sn4nn，

令n1,解得：S1a13,

n2,解得：S2a1a214,

又因?yàn)閧an}為等差數(shù)列{an}，

由此解得：da2a11138,

故選：D

21

3．已知數(shù)列滿足a12a23a3nann，設(shè)bnnan，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（）

bnbn1

2024202340442022

A．B．C．D．

4047404740454045

【答案】B

2n11

【分析】根據(jù)題意先求出an，即可求出bn2n1則可寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消即

nbnbn1

可求出答案.

2

【詳解】因?yàn)閍12a23a3nann①，

當(dāng)n1時(shí)，a11；

2

當(dāng)n2時(shí)，a12a23a3n1an1(n1)②，

2n1

①-②化簡(jiǎn)得a，

nn

2112n1

當(dāng)n1時(shí)：a11，也滿足a，

11nn

11111

2n1

所以an，bnnan2n1，

nbnbn1(2n1)(2n1)22n12n1

1111111112023

所以的前2023項(xiàng)和11.

bnbn1233522023122023122202314047

故選：B.

題型06待定系數(shù)或者同除構(gòu)造二階等比

技巧積累與運(yùn)用

?

二階等比構(gòu)造法有兩種方法：

p

1.形如aqap(q0，1,p,q為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列a,。特殊情況下，

n1nnq1

當(dāng)q為2時(shí)，=p，

7

aaq

nn1pq0,p1

apaqpq0nn1n

2.形如nn1，變形為ppp，新數(shù)列累加法即可

23nn

1．已知數(shù)列an滿足2a12a22a32ann2，則an的通項(xiàng)公式為（）

1,n1n1

A．a(chǎn)nB．a(chǎn)n

n1,n22

1,n1

C．a(chǎn)nnD．a(chǎn)n

n1,n2

【答案】B

n1

【分析】由題中等式，可得2nan2nn12n1n12n1，再結(jié)合n1時(shí)a1，可得a.

n1n2

1

【詳解】當(dāng)n1時(shí)，有2a112，所以a11，

23nn23n1n1

當(dāng)n2時(shí)，由2a12a22a32ann2，2a12a22a32an1n12，

nnn1n1

兩式相減得2ann2n12n12，

n1

此時(shí)，a，a1也滿足，

n21

n1

所以a的通項(xiàng)公式為a.

nn2

故選：B.

2．在數(shù)列an中，a11，an2an11，則a5的值為（）

A．30B．31C．32D．33

【答案】B

【分析】由已知條件利用數(shù)列的遞推公式，依次令n2，3，4，5，結(jié)合遞推思想能求出結(jié)果．

【詳解】

在數(shù)列{an}中，a11，an2an11，

a22113，

a32317，

a427115，

a5215131．

故選：B．

*

3．已知數(shù)列an中，a11,an3an14（nN且n2，則數(shù)列an通項(xiàng)公式an為（）

A．3n1B．3n18

C．3n2D．3n

【答案】C

a2

n

【分析】由已知得a27，3進(jìn)而確定數(shù)列{an2}的通項(xiàng)公式，即可求an.

an12

a2

n

【詳解】由a11，an3an14知：a27且3(n2)，

an12

而a123，a229，

n

∴{an2}是首項(xiàng)、公比都為3的等比數(shù)列，即an32，

故選：C

8

題型07等差等比同構(gòu)型

技巧積累與運(yùn)用

?

二階f（n）型構(gòu)造法有兩種方法：

1.形如，為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列。

an1tanf(n)(q01,p,qannb

n

naaq

2.形如apaqpq0，變形為nn1，新數(shù)列累加法即可

nn1nn1pq0,p1

ppp

n

1．前n項(xiàng)和為Sn的數(shù)列an滿足an12an1n,a12，若Sn2119，則n的最小值為（）

A．15B．16C．17D．18

【答案】B

【分析】先判斷ann是等比數(shù)列，求得ann，進(jìn)而求得an，利用分組求和法求得Sn，由此化簡(jiǎn)不等式

n

Sn2119來(lái)求得n的范圍，進(jìn)而求得n的最小值.

【詳解】因?yàn)閍n12an1n，所以an1n12ann，

且a111，所以ann是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

n

n1n1121nnn1nn

所以ann2，所以an2n，所以S21，

n1222

1nn1nn

所以S2n1，令1119，

n22

解得n2n2400，所以n15，所以n的最小值為16.

故選：B

2．在數(shù)列an中，a13，an2an1n2n2,nN，若an980，則n的最小值是（）

A．8B．9C．10D．11

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，構(gòu)造數(shù)列，可得到ann2an1n1，由此證明ann是等比數(shù)列，

求出an，結(jié)合其單調(diào)性，可求得答案.

【詳解】因?yàn)閍n2an1n2n2,nN，

所以ann2an1n1n2,nN.

因?yàn)閍13，所以a112，

所以數(shù)列ann是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列，

nn

則ann2，即an2n,

n1

因?yàn)閍nan1210，所以數(shù)列an是遞增數(shù)列,

因?yàn)閍9521980，a101034980，

所以滿足an980的n的最小值是10,

故選：C

*S2014

3．等差數(shù)列an滿足an13an4nnN,Sn為其前n項(xiàng)和，那么（）

1007

A．4028B．4030C．4032D．4034

【答案】C

【分析】

*

根據(jù)an13an4nnN求出公差和首項(xiàng)，得到通項(xiàng)公式，得到答案.

【詳解】

*

等差數(shù)列an滿足an13an4nnN，

9

分別令n1，2得，a23a14①，a33a28②，

②-①可得d2③，將③代入①可知a13，

通項(xiàng)公式an2n1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

S2014aa

故201412014aa4032.故選：C

10072100712014

題型08周期數(shù)列

技巧積累與運(yùn)用

?

常見(jiàn)周期數(shù)列：

若數(shù)列{a}滿足，則周期T=6

nanan1an2an

，則周期T=2

若數(shù)列{an}滿足anan1san

，則周期T=3

若數(shù)列{an}滿足anan1an2san

若數(shù)列{a}滿足，則周期T=2

nanan1san

，則周期T=3

若數(shù)列{an}滿足anan1an2san

a2023

n*

1．已知無(wú)窮正整數(shù)數(shù)列an滿足an2nN，則a1的可能值有（）個(gè)

an11

A．2B．4C．6D．9

【答案】C

【分析】變形給定的遞推公式，由an2an0，推導(dǎo)出矛盾，從而得a3a1，再代入n1即可分析求解.

a2023

n

【詳解】由an2，得an2an2an1an2023，當(dāng)n2時(shí)，an1an1anan12023，

an11

兩式相減得an2an1an1(an2an)anan1，即an2anan1(an2an)an1an1，

于是(an2an)(an11)an1an1，依題意an111，

aaaa

若aa0，有aan1n1，則0|aa||n1n1||aa|，即{|aa|}是遞減數(shù)

n2nn2nn2n1n1n1n2n

an11an1

列，

*

由于an是無(wú)窮正整數(shù)數(shù)列，則必存在nN，使得|an2an|0與|an2an|0矛盾，

因此an2an0，即an2an，于是數(shù)列an是周期為2的周期數(shù)列，

a2023

1

當(dāng)n1時(shí)，由a3a1，得a1，即a1a220231202371717，

a21

從而a1{1,2023,7,17,119,289}，所以a1的可能值有6個(gè).

故選：C

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問(wèn)題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，結(jié)合已知條

件探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問(wèn)題.

111

2．若數(shù)列an滿足a13,1，則a985（）

anan1anan1

11

A．2B．C．3D．

23

【答案】C

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系推出數(shù)列的周期性即可.

1111an

【詳解】因?yàn)?，所以an1，

anan1anan11an

10

1a

1n

1an11an1

an2，

1a1ana

n11n

1an

11

aa

n41n，

an2

an

所以an是周期為4的數(shù)列，故a985a13.

故選：C

3

a

n13

3．已知在數(shù)列{an}中，a12，an(n2)，則數(shù)列{an}的周期為（）

3

1a

n13

A．3B．6C．9D．15

【答案】B

【分析】構(gòu)造數(shù)列，通過(guò)正切函數(shù)的周期性可得.

3

a

n13

【詳解】由an(n2)聯(lián)想到兩角和的正切公式，

3

1a

n13

把a(bǔ)n換為tanan，則

3π

tanatanatan

n13n16π

tanan=tanan1，

3π6

1tana1tanan1tan

n136

ππLππ

tanan1tanan22，，tanan1tanan66；

6666

π

所以tanantanan66tanan6，即anan6.

6

所以數(shù)列{an}的周期為6.

故選：B.

題型09分式倒數(shù)型

技巧積累與運(yùn)用

?

pa

an1

nqap11q

形如n1，可以取倒數(shù)變形為；

anan1p

2a

n

1．若數(shù)列an滿足遞推關(guān)系式an1，且a12，則a2024（）

an2

1212

A．B．C．D．

1012202310112021

【答案】A

11

111

【分析】利用取倒數(shù)法可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求解.

an1an2

2an1an211

【詳解】因?yàn)閍n1，所以，

an2an12an2an

11111

所以，又a12，所以，

an1an2a12

1

故數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

22

an

1111

2

則(n1)n，得an，

an222n

21

所以a2024.

20241012

故選：A

a

n1

2．在數(shù)列{an}中，已知a11，an1，若am，則m（）

12an7

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

11

1

【分析】通過(guò)取倒數(shù)的方法，證得數(shù)列{}是等差數(shù)列，求得2n1，進(jìn)而求出an，解決問(wèn)題

anan2n1

即可.

a11

n

【詳解】由an1，a11，取倒數(shù)得：2，

12anan1an

11

則{}是以=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．

ana1

1

1

所以1(n1)22n1，所以an；

an2n1

11

由于a，故m4．

m2m17

故選：C.

3a

n*

3．已知數(shù)列an中，a11且an1nN，則a22為（）

an3

1111

A．B．C．D．

8632

【答案】A

1

【分析】采用倒數(shù)法可證得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到an，得解.

an

3an1an31