專題10數(shù)列遞推公式歸類

內(nèi)容早知道

?第一層鞏固提升練

題型一：歸納型

題型二：遞推基礎(chǔ)：累加型

題型三：遞推基礎(chǔ)：累積型

題型四：累加與累積擴展型：換元型

題型五：sn型求通項

題型六：待定系數(shù)或者同除構(gòu)造二階等比型

題型七：等差等比同構(gòu)型

題型八：周期數(shù)列型

題型九：分式倒數(shù)型

題型十：分式換元待定系數(shù)型

題型十一：奇偶分段型

題型十二：“和”定型

題型十三：“隱形和”型

?第二層能力提升練

?第三層高考真題練

鞏固提升練

題型01歸納型

技巧積累與運用

?

小題的數(shù)歸法，大多數(shù)是先通過計算數(shù)列的前幾項，再觀察數(shù)列中的項與系數(shù)，根據(jù)an與項數(shù)n的關(guān)系，

猜想數(shù)列的通項公式，最后再證明.

1．大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生

原理．該數(shù)列從第一項起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則該數(shù)列第18項為（）

A．200B．162C．144D．128

2．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決

眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一個樹形圖，記圖2中

第n行黑圈的個數(shù)為an，白圈的個數(shù)為bn，若an144，則bn（）

A．34B．35C．88D．89

3．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)

學(xué)史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的

項，其余各項依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項為（）

1

A．11B．12C．13D．14

題型02遞推基礎(chǔ)：累加法

技巧積累與運用

?

數(shù)列求通項，可以借助對“形形色色”的累加法研究學(xué)習(xí)，積累各類通項“變化”規(guī)律。

“等差”累加法

1.:an1an=AnB

“等比”累加法n

2.:an1an=tq

t

3.“裂項”累加法:aa=

n1nAn2Bn

無理根式裂項累加法1

4.:an1an=

n1n

1

1．在數(shù)列an中，a13,an1anlg1，則a10等于（）

n

A．4B．310lg3C．13D．122lg3

3111

2*

2．?dāng)?shù)列an滿足a1，an11anan，nN，則的整數(shù)部分是（）

2a1a2a23

A．3B．2C．1D．0

12*

3．?dāng)?shù)列an滿足a11，且an11annN，則a22等于（）

nn

A．19B．20C．21D．22

題型03遞推基礎(chǔ)：累積法

技巧積累與運用

?

累積法：

a

若在已知數(shù)列中相鄰兩項存在：ng(n)(n2)的關(guān)系，可用“累乘法”求通項.

an1

累積法主要有“分式型”和“指數(shù)型”。

af(n1)

分式型：n(n2)

an1f(n)

a

指數(shù)型：nqn(n2)

an1

2

1．若數(shù)列an滿足n1ann1an1n2，a12，則滿足不等式an930的最大正整數(shù)n為（）

A．28B．29C．30D．31

22

an1an

2．在數(shù)列an中，an0，a11，222n，則a113（）

an1an

A．414B．15C．223D．10

an

n1

3．已知數(shù)列an滿足，a1=1，則數(shù)列an的通項公式是（）

ann2

21

A．a(chǎn)nB．a(chǎn)n

n(n1)n(n1)

1n1

C．a(chǎn)D．a(chǎn)

nnn2

題型04累加與累積擴展：換元型

x11

1．已知函數(shù)f(x)sin，數(shù)列an滿足a11，且an11an（n為正整數(shù)）．則fa2022（）

3nn

33

A．1B．1C．D．

22

anan1*

2．已知數(shù)列an滿足a11,anan1nN，則nan的最小值是（）

(n1)(n2)

23

A．B．C．1D．2

54

an1an1

3．在數(shù)列an中，a12，ln1，則an（）

n1nn

A．a(chǎn)8B．2n1lnnC．1nlnnD．2nnlnn

題型05sn型求通項

技巧積累與運用

?

S(n1)

a1

或nSS(n2)

若在已知數(shù)列中存在：Snf(an)Snf(n)的關(guān)系，可以利用項和公式nn1，求數(shù)列的

通項.一定要檢驗n=1是否成立，特別是大題時。

1．已知Sn為數(shù)列an的前n項和，a11，an12Sn2n1，則S2023（）

A．2021B．2022C．2023D．2024

2．等差數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，滿足2nSnn，則數(shù)列{an}的公差為（）

3

A．5B．6C．7D．8

21

3．已知數(shù)列滿足a12a23a3nann，設(shè)bnnan，則數(shù)列的前2023項和為（）

bnbn1

2024202340442022

A．B．C．D．

4047404740454045

題型06待定系數(shù)或者同除構(gòu)造二階等比

技巧積累與運用

?

二階等比構(gòu)造法有兩種方法：

p

1.形如aqap(q0，1,p,q為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列a,。特殊情況下，

n1nnq1

當(dāng)q為2時，=p，

aaq

nn1pq0,p1

apaqpq0nn1n

2.形如nn1，變形為ppp，新數(shù)列累加法即可

23nn

1．已知數(shù)列an滿足2a12a22a32ann2，則an的通項公式為（）

1,n1n1

A．a(chǎn)nB．a(chǎn)n

n1,n22

1,n1

C．a(chǎn)nnD．a(chǎn)n

n1,n2

2．在數(shù)列an中，a11，an2an11，則a5的值為（）

A．30B．31C．32D．33

*

3．已知數(shù)列an中，a11,an3an14（nN且n2，則數(shù)列an通項公式an為（）

A．3n1B．3n18

C．3n2D．3n

題型07等差等比同構(gòu)型

技巧積累與運用

?

二階f（n）型構(gòu)造法有兩種方法：

1.形如，為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列。

an1tanf(n)(q01,p,qannb

n

naaq

2.形如apaqpq0，變形為nn1，新數(shù)列累加法即可

nn1nn1pq0,p1

ppp

n

1．前n項和為Sn的數(shù)列an滿足an12an1n,a12，若Sn2119，則n的最小值為（）

A．15B．16C．17D．18

4

2．在數(shù)列an中，a13，an2an1n2n2,nN，若an980，則n的最小值是（）

A．8B．9C．10D．11

*S2014

3．等差數(shù)列an滿足an13an4nnN,Sn為其前n項和，那么（）

1007

A．4028B．4030C．4032D．4034

題型08周期數(shù)列

技巧積累與運用

?

常見周期數(shù)列：

，則周期T=6

若數(shù)列{an}滿足anan1an2an

，則周期T=2

若數(shù)列{an}滿足anan1san

，則周期T=3

若數(shù)列{an}滿足anan1an2san

，則周期T=2

若數(shù)列{an}滿足anan1san

，則周期T=3

若數(shù)列{an}滿足anan1an2san

a2023

n*

1．已知無窮正整數(shù)數(shù)列an滿足an2nN，則a1的可能值有（）個

an11

A．2B．4C．6D．9

111

2．若數(shù)列an滿足a13,1，則a985（）

anan1anan1

11

A．2B．C．3D．

23

3

a

n13

3．已知在數(shù)列{an}中，a12，an(n2)，則數(shù)列{an}的周期為（）

3

1a

n13

A．3B．6C．9D．15

題型09分式倒數(shù)型

技巧積累與運用

?

pa

an1

nqap11q

形如n1，可以取倒數(shù)變形為；

anan1p

5

2a

n

1．若數(shù)列an滿足遞推關(guān)系式an1，且a12，則a2024（）

an2

1212

A．B．C．D．

1012202310112021

a

n1

2．在數(shù)列{an}中，已知a11，an1，若am，則m（）

12an7

A．2B．3C．4D．5

3a

n*

3．已知數(shù)列an中，a11且an1nN，則a22為（）

an3

1111

A．B．C．D．

8632

題型10分式換元待定系數(shù)型

技巧積累與運用

?

1q1t

形如pan1，可以取倒數(shù)變形為，再構(gòu)造等比

an

apap

qan1tnn1

a

n*1

1．已知數(shù)列an滿足a11，an1（nN），則滿足an的n的最小取值為（）

3an2125

A．5B．6C．7D．8

2a

1n

2．設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，a1，an1，若S2024k,k1，則正整數(shù)k的值為（）

2an1

A．2024B．2023C．2022D．2021

12a

n

3．設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1,an1，若S2024(k1,k)，則正整數(shù)k的值為（）

2an1

A．2024B．2023C．2022D．2021

題型11奇偶分段型

技巧積累與運用

?

討論型：

1.分段數(shù)列

2.奇偶各自是等差，等比或者其他數(shù)列

6

a

n當(dāng)為偶數(shù)時

,an

1．已知數(shù)列an滿足：a1m,m為正整數(shù)，an12，若a42，則m所有可能的取值

當(dāng)為奇數(shù)時

3an1,an

的集合為（）

A．2B．16C．2,16D．2,4,16

為奇數(shù)

2ann1,n*

2．已知數(shù)列a滿足a1,a,nN.

n1n1為偶數(shù)

ann2,n

n2

①a78；②a2n1是等差數(shù)列；③a2n2n2是等比數(shù)列；④數(shù)列an前2n項和為32nn3.

上述語句正確的有（）

A．0個B．1個C．2個D．3個

，為奇數(shù)

2ann

3．?dāng)?shù)列a滿足a1且a，則a（）

n1n1，為偶數(shù)2024

an2n

A．521011B．210132C．3210124D．210124

題型12“和”定型

技巧積累與運用

?

滿足，稱為“和”數(shù)列，常見如下幾種：

an1anf(n)

aat

“和”常數(shù)型：n1n

1.，則數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項各自是常數(shù)數(shù)列

aaAnB

“和”等差型：n1n

2.則再寫一個做差，數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項各自是等差數(shù)列

2

“和”二次型：an1anAnB

3.，則可以則再寫一個做差，化歸為前邊”和“等差數(shù)列形式

4.“和”換元型：同構(gòu)換元，化歸為常見的形式

*

1．設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，若anan12n1，且存在kN，SkSk1210，則a1的取值集合為（）

A．20,21B．20,20

C．29,11D．20,19

*

2．已知數(shù)列an滿足an1an6n1nN，則a1a6（）

A．18B．19C．20D．21

n2

3．已知數(shù)列an滿足anan21n，則an的前100項和為（）

A．2475B．2500C．2525D．5050

7

題型13“隱形和”型

n1n1

1．已知a12a22ann2，記數(shù)列an20的前n項和為Sn，則下列說法正確的個數(shù)是（）

2

（1）an2n2（2）Snn19n（3）S8S9（4）Sn的最小值為72

A．1個B．2個C．3個D．4個

2．已知數(shù)列an滿足a13a25a32n1annnN*，若bnanan1，則bn的前2024項和為（）

2023202440464048

A．B．C．D．

4047404940474049

nn1n

3．若數(shù)列an滿足2a12a22an4，an的前n項和為Sn，則（）

2,n1

4n15

．n．

ASn44BSn

,n23

3

2n44n2

C．SD．S

n3n3

能力培優(yōu)

2

an143

1．已知正項數(shù)列an滿足an1且a1ka1ka110，則下列說法正確的（）

3an5

33

A．若k=，則a3B．若a3，則k=

2202420242

883

C．若k，則a2n1a1D．若a2n1a1，則k或

332

2

2．已知數(shù)列{an}滿足：nN，an1an2anbbR，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則（）

A．當(dāng)b6時，若{an}遞增，則a12或a13

B．當(dāng)b1時，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列

1113

C．當(dāng)b2，a13時，

a12a22an210

5

D．當(dāng)b，a2時，S4n1

41n

n

a,N*

n1

4mm1*

3．?dāng)?shù)列an滿足a11，an，n2，bm表示an落在區(qū)間2,2的項數(shù)，其中mN，

n

a1,N*

n14

則（）

3n3n3

A．b10B．a(chǎn)

34n4

4n2n

24n

C．a(chǎn)k6n3nD．bk41

k1k13

8

aa

nn1

4．已知數(shù)列an，bn滿足a12，n（n2），log2anbnn1log2n1，且數(shù)列bn的

anan1

前n項和為Tn，則（）

1

A．a(chǎn)nB．a(chǎn)aaa4

nn1123n

T8T

C．若n，則n的最小值為5D．當(dāng)n2時，n3

Tn13Tn1

*

5．滿足a12，a21，an2an1annN的數(shù)列an稱為盧卡斯數(shù)列，則（）

*

A．存在非零實數(shù)t，使得an1tannN為等差數(shù)列

*

B．存在非零實數(shù)t，使得an1tannN為等比數(shù)列

*

C．3an2an4annN

2024

i

D．1aia20233

i1

13

6．拋擲一枚不均勻的硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率為，記n次拋擲后得到偶數(shù)次正面向

44

上的概率為an，則數(shù)列an的通項公式an．

1

7．已知首項為的正項數(shù)列滿足a滿足an1an，若存在*，使得不等式

2nnn1nN

nn

m(1)anm(1)an30成立，則m的取值范圍為．

n

1n1

．已知數(shù)列滿足，（*），若，數(shù)列b的前n項和為，則

8an