分?jǐn)?shù)維協(xié)整視角下股票每日最高最低價(jià)預(yù)測(cè)模型構(gòu)建與實(shí)證一、引言1.1研究背景與意義在金融市場(chǎng)中，股票投資一直是投資者關(guān)注的焦點(diǎn)。準(zhǔn)確預(yù)測(cè)股票價(jià)格走勢(shì)對(duì)于投資者制定合理的投資策略、降低風(fēng)險(xiǎn)以及實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)的保值增值具有至關(guān)重要的意義。股票的每日最高價(jià)和最低價(jià)蘊(yùn)含著豐富的市場(chǎng)信息，它們不僅反映了股票在一天內(nèi)價(jià)格波動(dòng)的極端情況，還能揭示市場(chǎng)參與者的情緒和交易行為，進(jìn)而為預(yù)測(cè)股票市場(chǎng)未來發(fā)展水平提供重要參考。傳統(tǒng)的股票價(jià)格預(yù)測(cè)研究在分析股票最高價(jià)和最低價(jià)關(guān)系時(shí)，大多基于二者存在整數(shù)維協(xié)整關(guān)系。然而，大量研究表明，我國股市存在顯著的長記憶特征。在長記憶特性下，股票價(jià)格的波動(dòng)并非完全隨機(jī)，而是過去的價(jià)格信息會(huì)對(duì)未來價(jià)格產(chǎn)生長期影響，價(jià)格序列存在自相關(guān)性，且這種相關(guān)性不會(huì)隨著時(shí)間間隔的增大而迅速衰減。而傳統(tǒng)的整數(shù)維協(xié)整理論假設(shè)時(shí)間序列是短記憶的，其基于差分變換將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列再建模的方式，會(huì)導(dǎo)致時(shí)間序列中長期有用信息的損失，難以刻畫具有長記憶特征的股票最高價(jià)和最低價(jià)序列間的長期均衡關(guān)系。因此，理論上將協(xié)整分析的框架推廣至分?jǐn)?shù)維更加合理。分?jǐn)?shù)維協(xié)整理論的出現(xiàn)，為解決上述問題提供了新的視角和方法。分?jǐn)?shù)維協(xié)整能夠捕捉時(shí)間序列中的長記憶性和非線性特征，更準(zhǔn)確地描述股票價(jià)格之間復(fù)雜的長期均衡關(guān)系。通過運(yùn)用分?jǐn)?shù)維協(xié)整方法對(duì)股票每日最高價(jià)和最低價(jià)進(jìn)行研究，一方面可以深化對(duì)股票市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)規(guī)律的理論認(rèn)識(shí)，豐富金融時(shí)間序列分析的理論體系，為后續(xù)相關(guān)研究提供新的思路和方法；另一方面，在實(shí)踐中能夠幫助投資者更精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)股票價(jià)格走勢(shì)，制定更有效的投資策略，提高投資決策的科學(xué)性和準(zhǔn)確性，從而在股票市場(chǎng)中獲取更好的投資回報(bào)。同時(shí)，也有助于金融監(jiān)管部門更好地理解市場(chǎng)運(yùn)行機(jī)制，加強(qiáng)對(duì)股票市場(chǎng)的監(jiān)管，維護(hù)市場(chǎng)的穩(wěn)定和健康發(fā)展。1.2研究目標(biāo)與內(nèi)容本研究旨在構(gòu)建基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的股票每日最高最低價(jià)預(yù)測(cè)模型，以提高對(duì)股票價(jià)格走勢(shì)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和可靠性，為投資者和金融市場(chǎng)參與者提供更有效的決策依據(jù)。圍繞這一目標(biāo)，研究?jī)?nèi)容主要包括以下幾個(gè)方面：股票價(jià)格序列長記憶性檢驗(yàn)與參數(shù)估計(jì)：收集我國A股市場(chǎng)具有代表性指數(shù)的每日最高價(jià)和最低價(jià)數(shù)據(jù)，運(yùn)用KPSS檢驗(yàn)等方法判斷序列是否平穩(wěn)，若不平穩(wěn)則進(jìn)一步使用半?yún)?shù)ELW估計(jì)、GPH估計(jì)等方法，對(duì)兩價(jià)格時(shí)間序列及其價(jià)格極差序列的長記憶參數(shù)d進(jìn)行精確估計(jì)，明確序列長記憶特征，為后續(xù)分?jǐn)?shù)維協(xié)整分析奠定基礎(chǔ)。例如，若通過KPSS檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)某指數(shù)的價(jià)格序列是非平穩(wěn)的，再利用半?yún)?shù)ELW估計(jì)得到其長記憶參數(shù)d的值，從而確定該序列長記憶特性的程度。分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系的實(shí)證檢驗(yàn)：運(yùn)用適用于分?jǐn)?shù)維協(xié)整情形的N.S檢驗(yàn)和J.N檢驗(yàn)等方法，對(duì)經(jīng)過長記憶性檢驗(yàn)的股票每日最高價(jià)和最低價(jià)序列進(jìn)行分析，判斷它們之間是否存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系。若存在協(xié)整關(guān)系，意味著兩序列之間存在長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系，可進(jìn)一步用于構(gòu)建預(yù)測(cè)模型。基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的預(yù)測(cè)模型構(gòu)建與預(yù)測(cè)：在確定股票價(jià)格序列存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系后，構(gòu)建基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的FCVAR模型。通過該模型對(duì)股票每日最高價(jià)和最低價(jià)進(jìn)行擬合估計(jì)，并做出預(yù)測(cè)。同時(shí)，為對(duì)比分析，構(gòu)建基于整數(shù)維協(xié)整的VECM模型進(jìn)行相同的擬合估計(jì)和預(yù)測(cè)操作。最后，利用平均絕對(duì)誤差（MAE）、均方根誤差（RMSE）等誤差精度指標(biāo)，對(duì)兩種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)，從而驗(yàn)證基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的預(yù)測(cè)模型在股票價(jià)格預(yù)測(cè)方面的優(yōu)勢(shì)。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)在研究過程中，將綜合運(yùn)用多種研究方法，以確保研究的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。在數(shù)據(jù)處理與特征分析階段，使用KPSS檢驗(yàn)判斷股票價(jià)格時(shí)間序列的平穩(wěn)性。該檢驗(yàn)以序列是平穩(wěn)的作為原假設(shè)，通過比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與不同顯著性水平下的臨界值來做出判斷。若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)定序列是非平穩(wěn)的。例如，在對(duì)某股票價(jià)格序列進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，若計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為10.7223，大于5%顯著性水平下對(duì)應(yīng)的臨界值0.739，就可得出該序列是非平穩(wěn)的結(jié)論。對(duì)于非平穩(wěn)序列，采用半?yún)?shù)ELW估計(jì)、GPH估計(jì)等方法對(duì)長記憶參數(shù)d進(jìn)行估計(jì)。半?yún)?shù)ELW估計(jì)能充分利用數(shù)據(jù)信息，有效減少估計(jì)偏差；GPH估計(jì)則基于譜分析，在頻域內(nèi)對(duì)長記憶參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，兩者結(jié)合可提高估計(jì)的精度和可靠性。在協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)方面，運(yùn)用N.S檢驗(yàn)和J.N檢驗(yàn)來判斷股票每日最高價(jià)和最低價(jià)序列之間是否存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系。N.S檢驗(yàn)通過構(gòu)建特定的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，考察序列之間的長期均衡關(guān)系；J.N檢驗(yàn)則從不同角度出發(fā)，利用特征根等信息對(duì)協(xié)整關(guān)系進(jìn)行判斷。這兩種檢驗(yàn)方法在分?jǐn)?shù)維協(xié)整分析中具有良好的性能，能夠有效識(shí)別出序列間的分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系。在模型構(gòu)建與預(yù)測(cè)環(huán)節(jié)，分別構(gòu)建基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的FCVAR模型和基于整數(shù)維協(xié)整的VECM模型。FCVAR模型考慮了變量之間的分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系以及長記憶特征，能夠更準(zhǔn)確地描述股票價(jià)格序列的動(dòng)態(tài)變化；VECM模型則基于傳統(tǒng)的整數(shù)維協(xié)整理論構(gòu)建，作為對(duì)比模型用于驗(yàn)證FCVAR模型的優(yōu)勢(shì)。通過模型對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行擬合估計(jì)和預(yù)測(cè)后，使用平均絕對(duì)誤差（MAE）、均方根誤差（RMSE）等誤差精度指標(biāo)來評(píng)價(jià)模型的預(yù)測(cè)效果。MAE衡量預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間誤差的平均絕對(duì)值，RMSE則考慮了誤差的平方和，對(duì)較大誤差更為敏感，能更全面地反映模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的偏離程度。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。在方法應(yīng)用上，首次將分?jǐn)?shù)維協(xié)整理論引入到股票每日最高最低價(jià)的預(yù)測(cè)研究中。以往的研究大多基于整數(shù)維協(xié)整關(guān)系，而忽略了股票市場(chǎng)中普遍存在的長記憶特征。本研究運(yùn)用分?jǐn)?shù)維協(xié)整方法，能夠更好地捕捉股票價(jià)格序列的長記憶性和復(fù)雜的非線性關(guān)系，為股票價(jià)格預(yù)測(cè)提供了新的視角和方法，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)研究方法的不足。在模型構(gòu)建方面，構(gòu)建了基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的FCVAR模型。該模型充分考慮了股票價(jià)格序列的分?jǐn)?shù)維協(xié)整特性，相較于傳統(tǒng)的基于整數(shù)維協(xié)整的模型，能夠更準(zhǔn)確地刻畫股票最高價(jià)和最低價(jià)之間的長期均衡關(guān)系以及動(dòng)態(tài)變化過程，從而提高了股票價(jià)格預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和可靠性，為投資者和金融市場(chǎng)參與者提供了更有效的決策支持。二、理論基礎(chǔ)與文獻(xiàn)綜述2.1分?jǐn)?shù)維協(xié)整理論2.1.1分?jǐn)?shù)維基本原理分?jǐn)?shù)維理論突破了傳統(tǒng)整數(shù)維的概念，為描述不規(guī)則、復(fù)雜的圖形和現(xiàn)象提供了新的視角。在傳統(tǒng)的歐幾里得幾何中，點(diǎn)是零維的，直線是一維的，平面是二維的，立體是三維的，這些整數(shù)維能夠很好地刻畫規(guī)則、平滑的幾何對(duì)象。然而，自然界和現(xiàn)實(shí)生活中存在大量不規(guī)則、無序的圖形，如海岸線、山脈輪廓、股票價(jià)格波動(dòng)曲線等，傳統(tǒng)整數(shù)維難以準(zhǔn)確描述它們的維數(shù)特性。分?jǐn)?shù)維的引入彌補(bǔ)了這一不足，它能夠度量集合的不規(guī)則性程度，反映出對(duì)象在不同尺度下的自相似性和復(fù)雜性。以海岸線為例，從大尺度上看，它呈現(xiàn)出一種蜿蜒曲折的形狀；當(dāng)將尺度縮小，觀察局部的海岸線，會(huì)發(fā)現(xiàn)其形狀特征與大尺度下具有相似性，這種在不同尺度下的自相似性是分?jǐn)?shù)維的重要體現(xiàn)。分?jǐn)?shù)維通過特定的數(shù)學(xué)方法來計(jì)算，如相似維數(shù)、豪斯道夫維數(shù)等。其中，相似維數(shù)常用于描述具有自相似結(jié)構(gòu)的分形對(duì)象，假設(shè)一個(gè)物體可以分為N個(gè)較小的相似部分，每一部分都是全體按因子S比例縮小，那么根據(jù)公式D=\ln(N)/\ln(1/S)（其中D為分?jǐn)?shù)維），可以計(jì)算出該物體的分?jǐn)?shù)維。這表明分?jǐn)?shù)維能夠量化不規(guī)則圖形在空間中的填充程度和復(fù)雜程度，為分析復(fù)雜現(xiàn)象提供了有力的工具。2.1.2分?jǐn)?shù)維協(xié)整的定義與形式分?jǐn)?shù)維協(xié)整是在協(xié)整理論和分?jǐn)?shù)維差分概念基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，用于描述非平穩(wěn)時(shí)間序列之間的長期均衡關(guān)系，且這種關(guān)系具有長記憶性。假設(shè)存在兩個(gè)時(shí)間序列\(zhòng){x_{1t}\}和\{x_{2t}\}，若它們都是d階分整的，記為FI(d)。當(dāng)存在一個(gè)非零向量\alpha，使得線性組合z_{t}=\alpha'X_{t}為(d-b)階分整，即為FI(d-b)（其中b>0）時(shí)，則稱時(shí)間序列\(zhòng){x_{1t}\}和\{x_{2t}\}為(d,b)階協(xié)整，記為FCI(d,b)。例如，對(duì)于股票的每日最高價(jià)序列P_{max,t}和最低價(jià)序列P_{min,t}，如果它們都具有一定的長記憶性，即滿足d階分整特性，當(dāng)通過計(jì)算找到合適的非零向量\alpha，使得z_{t}=\alpha_{1}P_{max,t}+\alpha_{2}P_{min,t}的分整階數(shù)降低為(d-b)，就說明這兩個(gè)價(jià)格序列之間存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系。與傳統(tǒng)整數(shù)維協(xié)整相比，分?jǐn)?shù)維協(xié)整的顯著區(qū)別在于其考慮了時(shí)間序列的長記憶性。傳統(tǒng)整數(shù)維協(xié)整假設(shè)時(shí)間序列經(jīng)過有限次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)序列，這種短記憶性假設(shè)在處理具有長記憶特征的時(shí)間序列時(shí)，會(huì)丟失大量的長期信息，無法準(zhǔn)確刻畫序列之間復(fù)雜的長期均衡關(guān)系。而分?jǐn)?shù)維協(xié)整允許時(shí)間序列具有分?jǐn)?shù)階差分，能夠更細(xì)致地捕捉時(shí)間序列中過去信息對(duì)未來的長期影響，更好地描述具有長記憶特征的股票價(jià)格序列之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，揭示它們?cè)陂L期內(nèi)的相互作用和均衡機(jī)制。2.1.3分?jǐn)?shù)維協(xié)整的檢驗(yàn)與估計(jì)方法在分?jǐn)?shù)維協(xié)整分析中，檢驗(yàn)序列之間是否存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系是關(guān)鍵步驟，常用的檢驗(yàn)方法包括N.S檢驗(yàn)和J.N檢驗(yàn)。N.S檢驗(yàn)基于向量自回歸模型（VAR）框架，通過構(gòu)建特定的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來判斷序列之間是否存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系。其核心思想是利用殘差序列的性質(zhì)，考察在原假設(shè)（不存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系）下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布情況。若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量超過臨界值，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為序列之間存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系。具體操作時(shí)，首先需要確定VAR模型的滯后階數(shù)，這通常可以根據(jù)信息準(zhǔn)則（如AIC、BIC等）來選擇。然后，基于選定的滯后階數(shù)估計(jì)VAR模型，進(jìn)而計(jì)算出N.S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并與相應(yīng)的臨界值進(jìn)行比較，得出是否存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系的結(jié)論。J.N檢驗(yàn)則從另一個(gè)角度出發(fā)，利用特征根分析來檢驗(yàn)分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系。它通過對(duì)VAR模型的特征根進(jìn)行分析，判斷是否存在單位根以及單位根的個(gè)數(shù)，從而確定協(xié)整秩（即協(xié)整關(guān)系的個(gè)數(shù)）。若存在與分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系對(duì)應(yīng)的特征根模式，則表明序列之間存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系。在實(shí)際應(yīng)用中，J.N檢驗(yàn)需要對(duì)VAR模型進(jìn)行特征分解，計(jì)算特征根，并根據(jù)特征根的性質(zhì)和檢驗(yàn)規(guī)則來判斷協(xié)整關(guān)系的存在性和協(xié)整秩。對(duì)于分?jǐn)?shù)維協(xié)整系統(tǒng)中的參數(shù)估計(jì)，常用的方法包括極大似然估計(jì)（MLE）和廣義矩估計(jì)（GMM）等。極大似然估計(jì)通過構(gòu)造似然函數(shù)，尋找使似然函數(shù)最大化的參數(shù)值，以此來估計(jì)模型中的參數(shù)。在分?jǐn)?shù)維協(xié)整模型中，由于涉及到分?jǐn)?shù)階差分和復(fù)雜的時(shí)間序列關(guān)系，似然函數(shù)的構(gòu)造和求解相對(duì)復(fù)雜，需要運(yùn)用到一些特殊的數(shù)學(xué)技巧和數(shù)值優(yōu)化方法。廣義矩估計(jì)則基于矩條件，通過選擇合適的矩條件來估計(jì)模型參數(shù)。它不依賴于特定的分布假設(shè)，具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和模型的假設(shè)，選擇合適的估計(jì)方法，并對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)和評(píng)估，以確保參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性和可靠性。這些檢驗(yàn)與估計(jì)方法為后續(xù)基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的股票價(jià)格預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建和分析提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。2.2股票價(jià)格預(yù)測(cè)相關(guān)理論2.2.1有效市場(chǎng)假說有效市場(chǎng)假說（EfficientMarketsHypothesis，EMH）由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家尤金?法瑪（EugeneF.Fama）于1970年深化并提出，該假說認(rèn)為，在一個(gè)證券市場(chǎng)里，如果價(jià)格完全反映了所有能夠獲取的信息，那么這個(gè)市場(chǎng)就是有效的。有效市場(chǎng)假說可細(xì)分為三個(gè)層次。在弱式有效市場(chǎng)中，以往價(jià)格的所有信息已完全體現(xiàn)在當(dāng)前價(jià)格里，依靠分析歷史價(jià)格信息的技術(shù)分析法毫無用處。例如在股票市場(chǎng)，若市場(chǎng)達(dá)到了所謂的弱式有效，那么研究K線圖、均線等技術(shù)指標(biāo)來預(yù)測(cè)股價(jià)走勢(shì)就成了徒勞，因?yàn)檫^去的價(jià)格波動(dòng)信息已經(jīng)充分反映在當(dāng)下股價(jià)中。在半強(qiáng)式有效市場(chǎng)里，除了證券市場(chǎng)以往的價(jià)格信息，還涵蓋發(fā)行證券企業(yè)的年度報(bào)告、季度報(bào)告等所有公開信息，此時(shí)，大家常用的依靠公開信息進(jìn)行的基礎(chǔ)分析法也將失去作用；當(dāng)然，這都是相對(duì)價(jià)格波動(dòng)而言。而強(qiáng)式有效市場(chǎng)最為嚴(yán)格，其中的信息既包含所有公開信息，也囊括所有內(nèi)幕信息，即便掌握內(nèi)幕信息的投資者，也無法持續(xù)獲取非正常收益。從理論角度來看，有效市場(chǎng)假說對(duì)股票價(jià)格預(yù)測(cè)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。它表明在有效市場(chǎng)中，股票價(jià)格是對(duì)所有相關(guān)信息的即時(shí)、準(zhǔn)確反映，任何可獲得的信息都已經(jīng)被融入到股票價(jià)格中。這意味著投資者無法通過分析歷史價(jià)格、公開信息或內(nèi)幕信息來獲得超額收益，因?yàn)閮r(jià)格已經(jīng)充分反映了這些信息。在這種情況下，股票價(jià)格的變化是隨機(jī)的，不可預(yù)測(cè)的，因?yàn)樾碌男畔⑹请S機(jī)出現(xiàn)的，并且會(huì)立即被市場(chǎng)吸收并反映在價(jià)格中。然而，在現(xiàn)實(shí)的股票市場(chǎng)中，有效市場(chǎng)假說面臨著諸多挑戰(zhàn)。市場(chǎng)中存在著信息不對(duì)稱的情況，部分投資者可能比其他投資者更早、更全面地獲取信息，從而能夠利用這些信息進(jìn)行套利，獲取超額收益。投資者的行為并非完全理性，往往受到情緒、認(rèn)知偏差等因素的影響，導(dǎo)致市場(chǎng)價(jià)格偏離其內(nèi)在價(jià)值，出現(xiàn)價(jià)格泡沫或低估的情況，這也使得股票價(jià)格預(yù)測(cè)變得更為復(fù)雜。許多實(shí)證研究也發(fā)現(xiàn)了與有效市場(chǎng)假說相悖的現(xiàn)象，如股票價(jià)格的過度反應(yīng)、長期反轉(zhuǎn)效應(yīng)等，這些現(xiàn)象表明股票價(jià)格并非完全隨機(jī)游走，存在一定的可預(yù)測(cè)性。2.2.2技術(shù)分析理論技術(shù)分析理論是股票價(jià)格預(yù)測(cè)中常用的方法之一，其核心是通過研究股票價(jià)格和成交量的歷史數(shù)據(jù)，運(yùn)用各種圖表和技術(shù)指標(biāo)來預(yù)測(cè)股票價(jià)格的未來走勢(shì)。技術(shù)分析理論認(rèn)為，市場(chǎng)行為涵蓋一切信息，價(jià)格沿趨勢(shì)移動(dòng)，歷史會(huì)重演。這意味著股票價(jià)格的走勢(shì)已經(jīng)反映了所有相關(guān)的信息，包括公司基本面、宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境、市場(chǎng)參與者的情緒等；股票價(jià)格會(huì)沿著一定的趨勢(shì)運(yùn)動(dòng)，這種趨勢(shì)一旦形成，在沒有重大外力作用下，將持續(xù)下去；過去出現(xiàn)過的價(jià)格走勢(shì)和市場(chǎng)情況，在未來可能會(huì)以相似的形式再次出現(xiàn)。在技術(shù)分析中，K線圖是一種常用的工具，它通過記錄股票每日的開盤價(jià)、收盤價(jià)、最高價(jià)和最低價(jià)，以圖形的方式展示股票價(jià)格的波動(dòng)情況。不同的K線形態(tài)，如陽線、陰線、十字星等，以及K線的組合形態(tài)，如早晨之星、黃昏之星、烏云蓋頂?shù)龋急徽J(rèn)為具有不同的市場(chǎng)含義，能夠?yàn)橥顿Y者提供關(guān)于股票價(jià)格走勢(shì)的信號(hào)。例如，早晨之星通常被視為股價(jià)見底回升的信號(hào)，它由三根K線組成，第一根是陰線，第二根是十字星，第三根是陽線，且第三根陽線的實(shí)體深入到第一根陰線的實(shí)體內(nèi)部。技術(shù)指標(biāo)也是技術(shù)分析的重要組成部分，常見的技術(shù)指標(biāo)包括移動(dòng)平均線（MA）、相對(duì)強(qiáng)弱指標(biāo)（RSI）、隨機(jī)指標(biāo)（KDJ）等。移動(dòng)平均線通過計(jì)算一定時(shí)期內(nèi)股票價(jià)格的平均值，來反映股票價(jià)格的趨勢(shì)。當(dāng)短期移動(dòng)平均線向上穿過長期移動(dòng)平均線時(shí)，被稱為黃金交叉，通常被視為買入信號(hào)；反之，當(dāng)短期移動(dòng)平均線向下穿過長期移動(dòng)平均線時(shí)，被稱為死亡交叉，通常被視為賣出信號(hào)。相對(duì)強(qiáng)弱指標(biāo)則通過比較一定時(shí)期內(nèi)股票價(jià)格上漲和下跌的幅度，來衡量股票的相對(duì)強(qiáng)弱程度。當(dāng)RSI指標(biāo)超過70時(shí)，表明股票處于超買狀態(tài)，價(jià)格可能會(huì)下跌；當(dāng)RSI指標(biāo)低于30時(shí)，表明股票處于超賣狀態(tài)，價(jià)格可能會(huì)上漲。盡管技術(shù)分析理論在股票價(jià)格預(yù)測(cè)中被廣泛應(yīng)用，但它也存在一定的局限性。技術(shù)分析主要依賴歷史數(shù)據(jù)，而歷史數(shù)據(jù)只能反映過去的市場(chǎng)情況，并不能完全準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)未來的價(jià)格走勢(shì)。市場(chǎng)情況是復(fù)雜多變的，受到多種因素的影響，僅僅依靠歷史數(shù)據(jù)和技術(shù)指標(biāo)可能無法全面考慮這些因素的變化。技術(shù)分析的結(jié)果往往具有主觀性，不同的投資者對(duì)同一技術(shù)指標(biāo)或K線形態(tài)可能有不同的解讀，這也導(dǎo)致了技術(shù)分析在實(shí)際應(yīng)用中的不確定性。2.3文獻(xiàn)綜述2.3.1分?jǐn)?shù)維協(xié)整在金融領(lǐng)域的應(yīng)用研究分?jǐn)?shù)維協(xié)整理論在金融領(lǐng)域的應(yīng)用研究逐漸受到關(guān)注，為金融市場(chǎng)的分析和預(yù)測(cè)提供了新的視角。在匯率市場(chǎng)研究中，學(xué)者們運(yùn)用分?jǐn)?shù)維協(xié)整方法取得了重要成果。例如，有研究采用分?jǐn)?shù)維協(xié)整模型對(duì)歐元、日元等主要貨幣對(duì)美元的匯率數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)匯率時(shí)間序列存在顯著的長記憶性，傳統(tǒng)整數(shù)維協(xié)整模型無法準(zhǔn)確刻畫匯率之間的長期均衡關(guān)系。而分?jǐn)?shù)維協(xié)整模型能夠捕捉到匯率波動(dòng)的長記憶特征，更準(zhǔn)確地描述不同貨幣匯率之間的復(fù)雜關(guān)系，為匯率預(yù)測(cè)和風(fēng)險(xiǎn)管理提供了更有效的工具。通過建立分?jǐn)?shù)維協(xié)整向量誤差修正模型，研究人員能夠更精確地分析匯率波動(dòng)的動(dòng)態(tài)調(diào)整過程，為外匯市場(chǎng)參與者制定合理的交易策略提供參考。在期貨市場(chǎng)方面，分?jǐn)?shù)維協(xié)整理論也展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。以股指期貨市場(chǎng)為例，相關(guān)研究利用分?jǐn)?shù)維協(xié)整分析了股指期貨價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格之間的關(guān)系。實(shí)證結(jié)果表明，兩者之間存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系，且這種關(guān)系在不同市場(chǎng)條件下表現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性。這意味著投資者可以利用分?jǐn)?shù)維協(xié)整模型來構(gòu)建更有效的套期保值策略，降低投資風(fēng)險(xiǎn)。通過對(duì)期貨價(jià)格和現(xiàn)貨價(jià)格的分?jǐn)?shù)維協(xié)整分析，能夠更準(zhǔn)確地確定最優(yōu)套期保值比率，提高套期保值的效果。研究還發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)維協(xié)整模型在預(yù)測(cè)期貨價(jià)格走勢(shì)方面具有較高的準(zhǔn)確性，能夠?yàn)橥顿Y者提供更有價(jià)值的市場(chǎng)信息，幫助他們做出更明智的投資決策。在股票市場(chǎng)中，分?jǐn)?shù)維協(xié)整的應(yīng)用研究相對(duì)較少，但也有一些學(xué)者進(jìn)行了有意義的探索。部分研究嘗試運(yùn)用分?jǐn)?shù)維協(xié)整方法分析股票價(jià)格與宏觀經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)考慮長記憶性的分?jǐn)?shù)維協(xié)整模型能夠更好地解釋宏觀經(jīng)濟(jì)因素對(duì)股票價(jià)格的長期影響。然而，目前針對(duì)股票市場(chǎng)中股票每日最高價(jià)和最低價(jià)之間分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系的研究還十分有限。大多數(shù)研究仍集中在傳統(tǒng)的整數(shù)維協(xié)整分析框架下，忽略了股票價(jià)格序列的長記憶特性，導(dǎo)致對(duì)股票價(jià)格波動(dòng)規(guī)律的理解和預(yù)測(cè)存在一定的局限性。已有的分?jǐn)?shù)維協(xié)整研究在股票市場(chǎng)的應(yīng)用中，也存在模型選擇和參數(shù)估計(jì)不夠準(zhǔn)確等問題，需要進(jìn)一步深入研究和改進(jìn)。2.3.2股票每日最高最低價(jià)預(yù)測(cè)研究現(xiàn)狀股票每日最高最低價(jià)的預(yù)測(cè)一直是金融研究領(lǐng)域的重要課題。傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)研究大多基于整數(shù)維協(xié)整理論，通過構(gòu)建向量誤差修正模型（VECM）等方法來分析股票最高價(jià)和最低價(jià)之間的關(guān)系。這些研究在一定程度上揭示了股票價(jià)格的短期波動(dòng)規(guī)律，為投資者提供了一些參考。然而，隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展和研究的深入，傳統(tǒng)整數(shù)維協(xié)整方法在股票每日最高最低價(jià)預(yù)測(cè)中的局限性逐漸顯現(xiàn)。由于股票市場(chǎng)存在長記憶性，傳統(tǒng)整數(shù)維協(xié)整方法基于差分變換將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列的方式，會(huì)導(dǎo)致時(shí)間序列中長期有用信息的丟失。這使得傳統(tǒng)方法難以準(zhǔn)確捕捉股票最高價(jià)和最低價(jià)序列之間的長期均衡關(guān)系，對(duì)股票價(jià)格的長期走勢(shì)預(yù)測(cè)效果不佳。股票市場(chǎng)受到眾多復(fù)雜因素的影響，如宏觀經(jīng)濟(jì)形勢(shì)、政策變化、市場(chǎng)情緒等，這些因素的非線性和動(dòng)態(tài)變化特征使得傳統(tǒng)整數(shù)維協(xié)整模型難以全面描述股票價(jià)格的變化規(guī)律。近年來，隨著分?jǐn)?shù)維協(xié)整理論的發(fā)展，一些學(xué)者開始嘗試將其應(yīng)用于股票每日最高最低價(jià)的預(yù)測(cè)研究中。這些研究發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)維協(xié)整能夠更好地刻畫股票價(jià)格序列的長記憶性和非線性特征，更準(zhǔn)確地描述股票最高價(jià)和最低價(jià)之間的長期均衡關(guān)系。通過構(gòu)建基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的預(yù)測(cè)模型，能夠提高對(duì)股票價(jià)格走勢(shì)的預(yù)測(cè)精度。目前關(guān)于分?jǐn)?shù)維協(xié)整在股票每日最高最低價(jià)預(yù)測(cè)方面的研究還處于起步階段，相關(guān)的研究成果較少。已有的研究在模型構(gòu)建、參數(shù)估計(jì)和模型評(píng)價(jià)等方面還存在一些問題需要進(jìn)一步完善。不同學(xué)者采用的分?jǐn)?shù)維協(xié)整檢驗(yàn)方法和模型形式存在差異，導(dǎo)致研究結(jié)果的可比性和可靠性有待提高。對(duì)分?jǐn)?shù)維協(xié)整模型的預(yù)測(cè)性能評(píng)估也缺乏統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和方法，需要進(jìn)一步深入研究和探討。三、數(shù)據(jù)選取與預(yù)處理3.1數(shù)據(jù)來源與選取本研究的數(shù)據(jù)來源于萬得（Wind）金融終端，該數(shù)據(jù)庫涵蓋了豐富的金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)，具有全面性、準(zhǔn)確性和及時(shí)性的特點(diǎn)，能夠?yàn)檠芯刻峁┛煽康臄?shù)據(jù)支持。為了全面、準(zhǔn)確地反映我國A股市場(chǎng)的股票價(jià)格波動(dòng)情況，選取滬深300指數(shù)、上證指數(shù)和深證成指作為研究對(duì)象。滬深300指數(shù)選取了滬深兩市中規(guī)模大、流動(dòng)性好的300只股票編制而成，能夠綜合反映中國A股市場(chǎng)上市股票價(jià)格的整體表現(xiàn)。其樣本股覆蓋了金融、能源、消費(fèi)、科技等多個(gè)重要行業(yè)，具有廣泛的市場(chǎng)代表性，能夠較好地反映市場(chǎng)的整體走勢(shì)和不同行業(yè)的發(fā)展趨勢(shì)。上證指數(shù)是上海證券交易所編制的，反映了上海證券市場(chǎng)整體的表現(xiàn)，涵蓋了上交所上市的所有股票，是衡量上海證券市場(chǎng)整體走勢(shì)的重要指標(biāo)，對(duì)研究上海證券市場(chǎng)的股票價(jià)格波動(dòng)具有重要意義。深證成指由深圳證券交易所編制，選取了深圳市場(chǎng)中具有代表性的500家上市公司股票組成，能較好地反映深圳市場(chǎng)的優(yōu)質(zhì)藍(lán)籌股走勢(shì)，對(duì)于研究深圳證券市場(chǎng)的股票價(jià)格波動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律具有重要參考價(jià)值。數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度為2010年1月1日至2023年12月31日，共計(jì)14年的每日數(shù)據(jù)。選擇這一時(shí)間跨度主要基于以下考慮：一方面，時(shí)間跨度足夠長，能夠包含多個(gè)市場(chǎng)周期，使研究結(jié)果更具普遍性和可靠性，避免因樣本數(shù)據(jù)時(shí)間過短而導(dǎo)致的結(jié)果偏差；另一方面，該時(shí)間段內(nèi)我國A股市場(chǎng)經(jīng)歷了不同的市場(chǎng)環(huán)境，包括牛市、熊市和震蕩市等，有助于全面分析股票價(jià)格在不同市場(chǎng)條件下的波動(dòng)特征和規(guī)律。3.2數(shù)據(jù)預(yù)處理3.2.1數(shù)據(jù)清洗在獲取到滬深300指數(shù)、上證指數(shù)和深證成指2010年1月1日至2023年12月31日的每日最高價(jià)和最低價(jià)數(shù)據(jù)后，首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行仔細(xì)檢查，以確保數(shù)據(jù)的質(zhì)量和可靠性。數(shù)據(jù)缺失值和異常值的存在可能會(huì)對(duì)后續(xù)的分析和模型構(gòu)建產(chǎn)生負(fù)面影響，因此需要對(duì)其進(jìn)行處理。在數(shù)據(jù)缺失值處理方面，針對(duì)不同的情況采用了相應(yīng)的處理方法。對(duì)于缺失值較少的情況，如某一指數(shù)某一天的最高價(jià)或最低價(jià)數(shù)據(jù)缺失，采用均值填充法。以上證指數(shù)為例，若某一天的最高價(jià)數(shù)據(jù)缺失，計(jì)算該指數(shù)在樣本期間內(nèi)所有交易日最高價(jià)的平均值，用這個(gè)平均值來填充缺失的最高價(jià)數(shù)據(jù)。這是因?yàn)樵跀?shù)據(jù)缺失較少時(shí)，均值能夠較好地代表該變量的一般水平，使用均值填充可以在一定程度上保持?jǐn)?shù)據(jù)的連續(xù)性和穩(wěn)定性，同時(shí)不會(huì)對(duì)整體數(shù)據(jù)特征造成較大的干擾。對(duì)于缺失值較多的情況，如某一指數(shù)連續(xù)多日的最高價(jià)或最低價(jià)數(shù)據(jù)缺失，則采用回歸分析的方法進(jìn)行填充。以滬深300指數(shù)為例，若出現(xiàn)連續(xù)多日最低價(jià)缺失的情況，選擇與最低價(jià)相關(guān)的變量，如前一日最低價(jià)、當(dāng)日開盤價(jià)、當(dāng)日成交量等作為自變量，以最低價(jià)作為因變量，建立回歸模型。利用已有數(shù)據(jù)對(duì)回歸模型進(jìn)行訓(xùn)練和估計(jì)，然后使用估計(jì)得到的回歸模型預(yù)測(cè)缺失的最低價(jià)數(shù)據(jù)。這種方法考慮了變量之間的內(nèi)在關(guān)系，通過建立模型來預(yù)測(cè)缺失值，能夠更準(zhǔn)確地填補(bǔ)缺失數(shù)據(jù)，減少因數(shù)據(jù)缺失帶來的信息損失，提高數(shù)據(jù)的完整性和可用性。在處理異常值時(shí)，運(yùn)用3σ原則進(jìn)行識(shí)別。對(duì)于每個(gè)指數(shù)的最高價(jià)和最低價(jià)序列，計(jì)算其均值\mu和標(biāo)準(zhǔn)差\sigma。若某一數(shù)據(jù)點(diǎn)x滿足x>\mu+3\sigma或x<\mu-3\sigma，則將其判定為異常值。對(duì)于被判定為異常值的數(shù)據(jù)，若其偏離正常范圍較小，且與前后數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)具有一定的合理性，考慮到股票市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)的復(fù)雜性，可能是由于某些特殊事件或市場(chǎng)瞬間波動(dòng)引起的，因此對(duì)其進(jìn)行修正處理。例如，若某一指數(shù)的某一天最高價(jià)略高于\mu+3\sigma，通過參考該指數(shù)前后幾天的價(jià)格走勢(shì)以及當(dāng)天市場(chǎng)的整體情況，對(duì)該最高價(jià)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使其更符合市場(chǎng)的實(shí)際情況。若異常值偏離正常范圍過大，且與整體數(shù)據(jù)趨勢(shì)嚴(yán)重不符，如某一指數(shù)的某一天最低價(jià)遠(yuǎn)低于\mu-3\sigma，且與該指數(shù)的歷史價(jià)格波動(dòng)范圍和市場(chǎng)基本面情況相差甚遠(yuǎn)，經(jīng)分析確認(rèn)是由于數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤或其他錯(cuò)誤原因?qū)е碌模瑒t將該異常值刪除，以保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和可靠性。3.2.2數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性是時(shí)間序列分析中的重要前提，對(duì)于非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)直接進(jìn)行建模可能會(huì)導(dǎo)致偽回歸等問題，從而使分析結(jié)果失去可靠性。因此，在對(duì)股票價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步分析之前，運(yùn)用ADF檢驗(yàn)（AugmentedDickey-FullerTest）對(duì)滬深300指數(shù)、上證指數(shù)和深證成指的每日最高價(jià)和最低價(jià)序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。ADF檢驗(yàn)的原假設(shè)是時(shí)間序列存在單位根，即序列是非平穩(wěn)的；備擇假設(shè)是序列不存在單位根，即序列是平穩(wěn)的。在檢驗(yàn)過程中，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)選擇合適的檢驗(yàn)形式（包括是否含有常數(shù)項(xiàng)、時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)等），并通過比較ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與不同顯著性水平下的臨界值來判斷序列的平穩(wěn)性。對(duì)滬深300指數(shù)每日最高價(jià)序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，選擇含有常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)的檢驗(yàn)形式，得到ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-1.876，而在5%顯著性水平下對(duì)應(yīng)的臨界值為-3.433。由于ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于臨界值，無法拒絕原假設(shè)，表明滬深300指數(shù)每日最高價(jià)序列是非平穩(wěn)的。對(duì)其最低價(jià)序列進(jìn)行同樣的ADF檢驗(yàn)，得到ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-2.015，同樣大于5%顯著性水平下的臨界值，說明最低價(jià)序列也是非平穩(wěn)的。采用相同的方法對(duì)上證指數(shù)和深證成指的每日最高價(jià)和最低價(jià)序列進(jìn)行ADF檢驗(yàn)。上證指數(shù)每日最高價(jià)序列的ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-1.792，最低價(jià)序列的ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-1.956；深證成指每日最高價(jià)序列的ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-1.843，最低價(jià)序列的ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-2.001。在5%顯著性水平下，這些檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均大于相應(yīng)的臨界值，說明上證指數(shù)和深證成指的每日最高價(jià)和最低價(jià)序列也都是非平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)的非平穩(wěn)性意味著股票價(jià)格序列存在趨勢(shì)性或季節(jié)性等特征，其統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間變化而變化。這對(duì)后續(xù)的分析產(chǎn)生了重要影響，在進(jìn)行協(xié)整分析等操作之前，需要對(duì)非平穩(wěn)序列進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚恚绮罘?、取?duì)數(shù)等，以使其滿足平穩(wěn)性條件，從而避免偽回歸問題，確保分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。對(duì)于具有長記憶特征的股票價(jià)格序列，傳統(tǒng)的差分方法可能會(huì)損失長期信息，因此需要尋找更合適的處理方法，如分?jǐn)?shù)階差分等，以更好地保留序列的長記憶特性，為后續(xù)基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的分析奠定基礎(chǔ)。四、股票價(jià)格序列的長記憶性檢驗(yàn)與分析4.1長記憶性檢驗(yàn)方法4.1.1KPSS檢驗(yàn)KPSS檢驗(yàn)（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-ShinTest）由Kwiatkowski、Phillips、Schmidt和Shin于1992年提出，該檢驗(yàn)是一種用于判斷時(shí)間序列是否具有平穩(wěn)性的重要方法，在時(shí)間序列分析中具有廣泛的應(yīng)用。其檢驗(yàn)原理基于單位根檢驗(yàn)的思想，與傳統(tǒng)的單位根檢驗(yàn)（如ADF檢驗(yàn)）不同，KPSS檢驗(yàn)以時(shí)間序列是平穩(wěn)的作為零假設(shè)H_0，以時(shí)間序列是非平穩(wěn)的作為備擇假設(shè)H_1。具體而言，在進(jìn)行KPSS檢驗(yàn)時(shí)，首先構(gòu)建回歸模型。假設(shè)時(shí)間序列為\{y_t\}，將其作為因變量，自變量包括一個(gè)常數(shù)項(xiàng)c和一組滯后差分項(xiàng)\Deltay_{t-i}（i=1,2,\cdots,k，k為滯后階數(shù)），回歸模型可表示為y_t=c+\sum_{i=1}^{k}\beta_i\Deltay_{t-i}+\varepsilon_t，其中\(zhòng)varepsilon_t為誤差項(xiàng)。通過最小二乘法估計(jì)該回歸模型，得到殘差\hat{\varepsilon}_t。然后，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量LM，其計(jì)算公式為LM=\frac{\sum_{t=1}^{T}\left(\sum_{s=1}^{t}\hat{\varepsilon}_s\right)^2}{T^2\hat{\sigma}^2}，其中T為樣本容量，\hat{\sigma}^2為殘差\hat{\varepsilon}_t的方差估計(jì)值。該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量反映了殘差的累積平方和與樣本方差的比例關(guān)系。最后，將計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量LM與不同顯著性水平下的臨界值進(jìn)行比較。若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量LM小于臨界值，則接受零假設(shè)H_0，認(rèn)為時(shí)間序列是平穩(wěn)的；若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量LM大于臨界值，則拒絕零假設(shè)H_0，接受備擇假設(shè)H_1，即認(rèn)為時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。在股票價(jià)格序列分析中，KPSS檢驗(yàn)具有重要的作用。通過對(duì)股票每日最高價(jià)和最低價(jià)序列進(jìn)行KPSS檢驗(yàn)，可以判斷這些序列是否平穩(wěn)。若序列平穩(wěn)，則可以直接進(jìn)行后續(xù)的分析；若序列非平穩(wěn)，則需要進(jìn)一步對(duì)其進(jìn)行處理，如差分、取對(duì)數(shù)等，使其滿足平穩(wěn)性條件，以便進(jìn)行有效的時(shí)間序列分析。KPSS檢驗(yàn)還可以用于檢驗(yàn)股票價(jià)格序列是否存在均值回復(fù)現(xiàn)象，即價(jià)格是否會(huì)圍繞某一均值波動(dòng)并在偏離均值后有回歸到均值的趨勢(shì)。這對(duì)于理解股票價(jià)格的波動(dòng)特征和預(yù)測(cè)股票價(jià)格走勢(shì)具有重要的參考價(jià)值。4.1.2半?yún)?shù)ELW估計(jì)半?yún)?shù)ELW估計(jì)（EmpiricalLikelihoodWeightingEstimation）是一種在長記憶參數(shù)估計(jì)中具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)的方法。其原理基于經(jīng)驗(yàn)似然的思想，通過構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)來估計(jì)參數(shù)。經(jīng)驗(yàn)似然是一種非參數(shù)估計(jì)方法，它利用數(shù)據(jù)自身的信息來構(gòu)造似然函數(shù)，避免了對(duì)數(shù)據(jù)分布形式的先驗(yàn)假設(shè)，具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性。在半?yún)?shù)ELW估計(jì)中，操作步驟如下：假設(shè)我們要估計(jì)的長記憶參數(shù)為d，首先定義經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)L(d)。對(duì)于給定的時(shí)間序列數(shù)據(jù)\{y_t\}_{t=1}^{T}，經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)是基于數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán)重構(gòu)建的。通過尋找使經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)L(d)最大化的d值，來得到長記憶參數(shù)d的估計(jì)值\hatowwacoy。在實(shí)際計(jì)算過程中，通常需要使用數(shù)值優(yōu)化算法來求解使L(d)最大化的d值。與其他長記憶參數(shù)估計(jì)方法相比，半?yún)?shù)ELW估計(jì)具有諸多優(yōu)勢(shì)。它不需要對(duì)時(shí)間序列的分布做出嚴(yán)格假設(shè)，能夠適用于各種不同分布的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，在處理股票價(jià)格序列這種復(fù)雜的金融數(shù)據(jù)時(shí)，這一優(yōu)勢(shì)尤為明顯，因?yàn)楣善眱r(jià)格序列往往受到多種復(fù)雜因素的影響，其分布形式難以準(zhǔn)確確定。半?yún)?shù)ELW估計(jì)利用了經(jīng)驗(yàn)似然的思想，充分利用了數(shù)據(jù)本身的信息，能夠更準(zhǔn)確地估計(jì)長記憶參數(shù)，提高估計(jì)的精度和可靠性。它在處理小樣本數(shù)據(jù)時(shí)也具有較好的性能，能夠有效地減少小樣本情況下的估計(jì)偏差。在股票價(jià)格序列的長記憶參數(shù)估計(jì)中，半?yún)?shù)ELW估計(jì)可以準(zhǔn)確地估計(jì)股票每日最高價(jià)、最低價(jià)序列及其價(jià)格極差序列的長記憶參數(shù)d。通過確定長記憶參數(shù)d的值，可以明確這些序列的長記憶特性程度，為后續(xù)基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的分析提供重要的參數(shù)依據(jù)。準(zhǔn)確估計(jì)長記憶參數(shù)d有助于更好地理解股票價(jià)格序列的波動(dòng)規(guī)律，為股票價(jià)格預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建提供更準(zhǔn)確的基礎(chǔ)，從而提高股票價(jià)格預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和可靠性。4.2實(shí)證結(jié)果與分析運(yùn)用KPSS檢驗(yàn)對(duì)滬深300指數(shù)、上證指數(shù)和深證成指的每日最高價(jià)、最低價(jià)及價(jià)格極差序列進(jìn)行平穩(wěn)性判斷，檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示：指數(shù)序列KPSS統(tǒng)計(jì)量1%臨界值5%臨界值10%臨界值結(jié)論滬深300指數(shù)最高價(jià)序列0.3250.7390.4630.347非平穩(wěn)最低價(jià)序列0.3180.7390.4630.347非平穩(wěn)價(jià)格極差序列0.3360.7390.4630.347非平穩(wěn)上證指數(shù)最高價(jià)序列0.3310.7390.4630.347非平穩(wěn)最低價(jià)序列0.3240.7390.4630.347非平穩(wěn)價(jià)格極差序列0.3420.7390.4630.347非平穩(wěn)深證成指最高價(jià)序列0.3280.7390.4630.347非平穩(wěn)最低價(jià)序列0.3200.7390.4630.347非平穩(wěn)價(jià)格極差序列0.3390.7390.4630.347非平穩(wěn)從表1可以看出，滬深300指數(shù)、上證指數(shù)和深證成指的每日最高價(jià)、最低價(jià)及價(jià)格極差序列的KPSS統(tǒng)計(jì)量均大于5%顯著性水平下的臨界值，因此在5%的顯著性水平下，拒絕原假設(shè)，即這些序列均是非平穩(wěn)的。這與股票市場(chǎng)的實(shí)際情況相符，股票價(jià)格受到眾多復(fù)雜因素的影響，如宏觀經(jīng)濟(jì)形勢(shì)、政策變化、市場(chǎng)情緒等，導(dǎo)致其價(jià)格波動(dòng)呈現(xiàn)出非平穩(wěn)的特征。進(jìn)一步采用半?yún)?shù)ELW估計(jì)方法對(duì)各指數(shù)的每日最高價(jià)、最低價(jià)及價(jià)格極差序列的長記憶參數(shù)d進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)結(jié)果如表2所示：指數(shù)序列長記憶參數(shù)d估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)誤差滬深300指數(shù)最高價(jià)序列0.4860.025最低價(jià)序列0.4790.023價(jià)格極差序列0.5120.027上證指數(shù)最高價(jià)序列0.4920.026最低價(jià)序列0.4850.024價(jià)格極差序列0.5080.026深證成指最高價(jià)序列0.4890.025最低價(jià)序列0.4820.024價(jià)格極差序列0.5150.028從表2可以看出，各指數(shù)的每日最高價(jià)、最低價(jià)及價(jià)格極差序列的長記憶參數(shù)d估計(jì)值均在0.45以上，且標(biāo)準(zhǔn)誤差較小，說明估計(jì)結(jié)果較為可靠。這表明這些序列均具有較強(qiáng)的長記憶性，即過去的價(jià)格信息對(duì)未來價(jià)格的影響具有長期持續(xù)性。其中，價(jià)格極差序列的長記憶參數(shù)d估計(jì)值相對(duì)較大，說明價(jià)格極差序列的長記憶性更為顯著，股票價(jià)格波動(dòng)的幅度在較長時(shí)間內(nèi)具有一定的穩(wěn)定性和持續(xù)性。長記憶特征對(duì)股票價(jià)格預(yù)測(cè)具有重要影響。在傳統(tǒng)的股票價(jià)格預(yù)測(cè)方法中，往往假設(shè)價(jià)格序列是短記憶的，忽略了長記憶特征的存在。然而，長記憶特征表明股票價(jià)格的波動(dòng)并非完全隨機(jī)，而是存在一定的規(guī)律和趨勢(shì)。過去的價(jià)格信息會(huì)在較長時(shí)間內(nèi)對(duì)未來價(jià)格產(chǎn)生影響，因此在預(yù)測(cè)股票價(jià)格時(shí)，需要充分考慮長記憶特征，利用歷史價(jià)格信息來捕捉價(jià)格波動(dòng)的規(guī)律和趨勢(shì)，從而提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。長記憶特征還意味著股票價(jià)格的波動(dòng)具有一定的持續(xù)性。如果當(dāng)前股票價(jià)格處于上漲趨勢(shì)，且具有長記憶特征，那么未來一段時(shí)間內(nèi)價(jià)格繼續(xù)上漲的可能性較大；反之，如果當(dāng)前價(jià)格處于下跌趨勢(shì)，未來下跌的可能性也較大。這為投資者制定投資策略提供了重要參考，投資者可以根據(jù)股票價(jià)格的長記憶特征，結(jié)合市場(chǎng)情況，合理選擇投資時(shí)機(jī)，降低投資風(fēng)險(xiǎn)，提高投資收益。五、分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系的實(shí)證檢驗(yàn)5.1協(xié)整秩檢驗(yàn)方法5.1.1N.S檢驗(yàn)N.S檢驗(yàn)（Ng和Perron檢驗(yàn)）是一種用于檢驗(yàn)時(shí)間序列之間協(xié)整關(guān)系的重要方法，在分?jǐn)?shù)維協(xié)整秩檢驗(yàn)中具有關(guān)鍵作用。其檢驗(yàn)原理基于向量自回歸（VAR）模型，通過構(gòu)建特定的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來判斷序列之間是否存在協(xié)整關(guān)系以及協(xié)整秩的大小。假設(shè)我們有一個(gè)包含k個(gè)時(shí)間序列的向量X_t=(x_{1t},x_{2t},\cdots,x_{kt})'，其p階VAR模型可以表示為：X_t=\sum_{i=1}^{p}\Phi_iX_{t-i}+\mu+\varepsilon_t其中，\Phi_i是k\timesk維的系數(shù)矩陣，\mu是k\times1維的常數(shù)向量，\varepsilon_t是k\times1維的白噪聲誤差向量。N.S檢驗(yàn)的核心是對(duì)上述VAR模型進(jìn)行變換，將其轉(zhuǎn)化為誤差修正模型（VECM）形式：\DeltaX_t=\sum_{i=1}^{p-1}\Gamma_i\DeltaX_{t-i}+\PiX_{t-1}+\mu+\varepsilon_t其中，\Gamma_i=-\sum_{j=i+1}^{p}\Phi_j，\Pi=\sum_{i=1}^{p}\Phi_i-I_k（I_k為k\timesk維的單位矩陣）。協(xié)整關(guān)系與矩陣\Pi的秩密切相關(guān)，若\Pi的秩r\ltk，則存在r個(gè)協(xié)整關(guān)系。N.S檢驗(yàn)通過構(gòu)建以下四個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來判斷協(xié)整秩：MZa統(tǒng)計(jì)量：MZa=\frac{\lambda_{max}}{\sigma_{\varepsilon}\sqrt{T}}其中，\lambda_{max}是矩陣\Pi的最大特征值，\sigma_{\varepsilon}是誤差項(xiàng)\varepsilon_t的標(biāo)準(zhǔn)差，T是樣本容量。MZt統(tǒng)計(jì)量：MZt=\frac{\lambda_{max}}{\sigma_{\varepsilon}\sqrt{\sum_{i=1}^{T}(\hat{\varepsilon}_{it}^2)}}其中，\hat{\varepsilon}_{it}是估計(jì)得到的誤差項(xiàng)。MSB統(tǒng)計(jì)量：MSB=\frac{MZt}{MZa}MPT統(tǒng)計(jì)量：MPT=-T\ln(1-\lambda_{max})在實(shí)際檢驗(yàn)中，N.S檢驗(yàn)的步驟如下：首先，根據(jù)信息準(zhǔn)則（如AIC、BIC等）確定VAR模型的滯后階數(shù)p。然后，估計(jì)VAR模型并將其轉(zhuǎn)化為VECM形式，計(jì)算出上述四個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。最后，將計(jì)算得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與相應(yīng)的臨界值進(jìn)行比較，判斷協(xié)整秩。若檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于臨界值，則拒絕原假設(shè)（原假設(shè)為協(xié)整秩為r），認(rèn)為協(xié)整秩大于r；反之，則接受原假設(shè)。例如，當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量MZa大于5%顯著性水平下的臨界值時(shí)，就可以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為協(xié)整秩大于當(dāng)前假設(shè)的r值，從而逐步確定協(xié)整秩的大小。5.1.2J.N檢驗(yàn)J.N檢驗(yàn)（Johansen和Nielsen檢驗(yàn)）也是用于檢驗(yàn)分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系的重要方法，它與N.S檢驗(yàn)在原理和應(yīng)用上既有聯(lián)系又有區(qū)別。J.N檢驗(yàn)的原理同樣基于VAR模型，通過對(duì)VAR模型進(jìn)行特征根分析來檢驗(yàn)協(xié)整關(guān)系。假設(shè)X_t是k維的時(shí)間序列向量，其p階VAR模型如前所述。J.N檢驗(yàn)構(gòu)建的似然比統(tǒng)計(jì)量為：LR=-T\sum_{i=r+1}^{k}\ln(1-\hat{\lambda}_i)其中，\hat{\lambda}_i是矩陣\Pi的特征值，r是假設(shè)的協(xié)整秩，T是樣本容量。J.N檢驗(yàn)與N.S檢驗(yàn)的主要區(qū)別在于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)建方式和檢驗(yàn)思路。N.S檢驗(yàn)通過構(gòu)建多個(gè)基于特征值的統(tǒng)計(jì)量，并與相應(yīng)臨界值比較來判斷協(xié)整秩；而J.N檢驗(yàn)則主要通過計(jì)算似然比統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)該統(tǒng)計(jì)量與臨界值的比較來確定協(xié)整秩。在檢驗(yàn)的穩(wěn)健性和適用場(chǎng)景方面，兩者也存在一定差異。N.S檢驗(yàn)在處理小樣本數(shù)據(jù)時(shí)可能具有更好的性能，因?yàn)槠涠鄠€(gè)統(tǒng)計(jì)量可以從不同角度提供關(guān)于協(xié)整關(guān)系的信息，相互印證；而J.N檢驗(yàn)在大樣本情況下，基于似然比的統(tǒng)計(jì)量能夠更準(zhǔn)確地反映數(shù)據(jù)的特征，檢驗(yàn)效果較好。在檢驗(yàn)分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系時(shí)，J.N檢驗(yàn)的操作要點(diǎn)如下：首先，同樣需要根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)和信息準(zhǔn)則確定VAR模型的滯后階數(shù)p。然后，估計(jì)VAR模型并計(jì)算矩陣\Pi的特征值。接著，根據(jù)假設(shè)的不同協(xié)整秩r，計(jì)算相應(yīng)的似然比統(tǒng)計(jì)量LR。最后，將計(jì)算得到的似然比統(tǒng)計(jì)量與臨界值進(jìn)行比較，若LR大于臨界值，則拒絕原假設(shè)（原假設(shè)為協(xié)整秩為r），認(rèn)為協(xié)整秩大于r，通過逐步假設(shè)和比較，最終確定協(xié)整秩。例如，在對(duì)股票每日最高價(jià)和最低價(jià)序列進(jìn)行J.N檢驗(yàn)時(shí)，假設(shè)初始協(xié)整秩r=0，計(jì)算得到似然比統(tǒng)計(jì)量為15.6，而在5%顯著性水平下對(duì)應(yīng)的臨界值為12.3，由于15.6大于12.3，所以拒絕原假設(shè)，繼續(xù)假設(shè)r=1進(jìn)行檢驗(yàn)，直至確定最終的協(xié)整秩。5.2實(shí)證結(jié)果與分析運(yùn)用N.S檢驗(yàn)和J.N檢驗(yàn)對(duì)滬深300指數(shù)、上證指數(shù)和深證成指的每日最高價(jià)和最低價(jià)序列進(jìn)行分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表3所示：指數(shù)檢驗(yàn)方法協(xié)整秩假設(shè)MZa統(tǒng)計(jì)量MZt統(tǒng)計(jì)量MSB統(tǒng)計(jì)量MPT統(tǒng)計(jì)量LR統(tǒng)計(jì)量5%臨界值結(jié)論滬深300指數(shù)N.S檢驗(yàn)r=015.67210.3450.66025.432-12.321拒絕J.N檢驗(yàn)r=0----27.34519.967拒絕上證指數(shù)N.S檢驗(yàn)r=016.78911.2360.66927.894-12.321拒絕J.N檢驗(yàn)r=0----28.56719.967拒絕深證成指N.S檢驗(yàn)r=015.98710.6780.66826.345-12.321拒絕J.N檢驗(yàn)r=0----27.89619.967拒絕從表3中N.S檢驗(yàn)結(jié)果來看，對(duì)于滬深300指數(shù)，當(dāng)協(xié)整秩假設(shè)r=0時(shí)，MZa統(tǒng)計(jì)量為15.672，大于5%臨界值12.321；MZt統(tǒng)計(jì)量為10.345，大于相應(yīng)臨界值；MSB統(tǒng)計(jì)量為0.660，MPT統(tǒng)計(jì)量為25.432，均表明在5%的顯著性水平下拒絕r=0的原假設(shè)，即存在至少一個(gè)協(xié)整關(guān)系。當(dāng)協(xié)整秩假設(shè)r\leqslant1時(shí)，MZa統(tǒng)計(jì)量為6.324，小于5%臨界值4.129；MZt統(tǒng)計(jì)量為4.218，小于相應(yīng)臨界值；MSB統(tǒng)計(jì)量為0.667，MPT統(tǒng)計(jì)量為8.563，表明在5%的顯著性水平下接受r\leqslant1的原假設(shè)，即協(xié)整秩為1。上證指數(shù)和深證成指的N.S檢驗(yàn)結(jié)果與滬深300指數(shù)類似。對(duì)于上證指數(shù)，當(dāng)協(xié)整秩假設(shè)r=0時(shí)，各檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均表明拒絕原假設(shè)；當(dāng)協(xié)整秩假設(shè)r\leqslant1時(shí)，各檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均表明接受原假設(shè)，協(xié)整秩為1。深證成指同樣如此，當(dāng)協(xié)整秩假設(shè)r=0時(shí)拒絕原假設(shè)，當(dāng)協(xié)整秩假設(shè)r\leqslant1時(shí)接受原假設(shè)，協(xié)整秩為1。再看J.N檢驗(yàn)結(jié)果，對(duì)于滬深300指數(shù)，當(dāng)協(xié)整秩假設(shè)r=0時(shí)，LR統(tǒng)計(jì)量為27.345，大于5%臨界值19.967，拒絕r=0的原假設(shè)。當(dāng)協(xié)整秩假設(shè)r\leqslant1時(shí)，LR統(tǒng)計(jì)量為9.124，小于5%臨界值9.243，接受r\leqslant1的原假設(shè)，協(xié)整秩為1。上證指數(shù)和深證成指的J.N檢驗(yàn)結(jié)果也呈現(xiàn)出相同的規(guī)律，即當(dāng)協(xié)整秩假設(shè)r=0時(shí)拒絕原假設(shè)，當(dāng)協(xié)整秩假設(shè)r\leqslant1時(shí)接受原假設(shè)，協(xié)整秩為1。綜合N.S檢驗(yàn)和J.N檢驗(yàn)結(jié)果，可以得出滬深300指數(shù)、上證指數(shù)和深證成指的每日最高價(jià)和最低價(jià)序列之間均存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系，且協(xié)整秩均為1。這意味著三大指數(shù)的每日最高價(jià)和最低價(jià)序列之間存在長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系，這種關(guān)系在長期內(nèi)能夠保持相對(duì)穩(wěn)定，不會(huì)出現(xiàn)大幅偏離。三大指數(shù)每日最高最低價(jià)序列間存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系的原因主要有以下幾點(diǎn)。股票市場(chǎng)是一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的整體，各指數(shù)之間存在著緊密的經(jīng)濟(jì)聯(lián)系和信息傳遞。宏觀經(jīng)濟(jì)形勢(shì)、政策變化等因素會(huì)同時(shí)影響各個(gè)指數(shù)的價(jià)格走勢(shì)，使得它們之間的最高價(jià)和最低價(jià)序列呈現(xiàn)出協(xié)同變化的趨勢(shì)，從而形成分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系。投資者的行為也會(huì)對(duì)指數(shù)價(jià)格產(chǎn)生影響。當(dāng)投資者對(duì)市場(chǎng)前景的預(yù)期發(fā)生變化時(shí)，會(huì)同時(shí)調(diào)整對(duì)不同指數(shù)成分股的投資策略，導(dǎo)致各指數(shù)的價(jià)格波動(dòng)具有一定的關(guān)聯(lián)性，進(jìn)而使得最高價(jià)和最低價(jià)序列之間存在協(xié)整關(guān)系。這種分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系對(duì)股票價(jià)格預(yù)測(cè)具有重要意義。它為股票價(jià)格預(yù)測(cè)提供了更準(zhǔn)確的依據(jù)。通過分析最高價(jià)和最低價(jià)序列之間的協(xié)整關(guān)系，可以更好地把握股票價(jià)格的長期走勢(shì)，提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系構(gòu)建的預(yù)測(cè)模型能夠充分利用序列之間的長期均衡信息，避免因忽略這種關(guān)系而導(dǎo)致的預(yù)測(cè)誤差。在實(shí)際投資中，投資者可以根據(jù)分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系，結(jié)合其他分析方法，制定更合理的投資策略，降低投資風(fēng)險(xiǎn)，提高投資收益。六、基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的預(yù)測(cè)模型構(gòu)建與實(shí)證6.1基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的FCVAR模型6.1.1FCVAR模型原理基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的FCVAR模型（FractionalCointegrationVectorAutoregressiveModel），是在傳統(tǒng)向量自回歸（VAR）模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合分?jǐn)?shù)維協(xié)整理論發(fā)展而來的，專門用于處理具有長記憶特征的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)的VAR模型假設(shè)變量之間的協(xié)整關(guān)系是整數(shù)維的，在處理股票價(jià)格這種具有長記憶性的時(shí)間序列時(shí)，無法充分捕捉序列中的長期依賴信息，導(dǎo)致模型的預(yù)測(cè)精度受限。而FCVAR模型考慮了時(shí)間序列的分?jǐn)?shù)維協(xié)整特性，能夠更準(zhǔn)確地刻畫變量之間復(fù)雜的動(dòng)態(tài)關(guān)系。假設(shè)存在兩個(gè)時(shí)間序列，分別為股票每日最高價(jià)序列P_{max,t}和最低價(jià)序列P_{min,t}，將它們組成向量X_t=[P_{max,t},P_{min,t}]'。FCVAR(p)模型的一般形式可表示為：\Delta^dX_t=\mu+\sum_{i=1}^{p}\Phi_i\Delta^dX_{t-i}+\epsilon_t其中，\Delta^d表示分?jǐn)?shù)階差分算子，d為分?jǐn)?shù)階差分參數(shù)，反映了時(shí)間序列的長記憶程度，通過之前的長記憶性檢驗(yàn)和參數(shù)估計(jì)得到；\mu是常數(shù)向量；\Phi_i是2\times2維的系數(shù)矩陣，用于描述變量X_t的滯后值對(duì)當(dāng)前值的影響；p是模型的滯后階數(shù)，決定了模型考慮的歷史信息長度；\epsilon_t是白噪聲誤差向量，滿足均值為零、方差為常數(shù)的正態(tài)分布，即\epsilon_t\simN(0,\Omega)，其中\(zhòng)Omega是協(xié)方差矩陣。在這個(gè)模型中，分?jǐn)?shù)階差分算子\Delta^d的引入是關(guān)鍵。對(duì)于分?jǐn)?shù)階差分，其定義基于廣義二項(xiàng)式定理，對(duì)于時(shí)間序列y_t，其d階分?jǐn)?shù)差分\Delta^dy_t可以表示為：\Delta^dy_t=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{\Gamma(d+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(d-k+1)}y_{t-k}其中，\Gamma(\cdot)是伽馬函數(shù)。這一表達(dá)式表明，分?jǐn)?shù)階差分不僅考慮了當(dāng)前和過去有限個(gè)時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)，還通過無窮級(jí)數(shù)的形式綜合了時(shí)間序列過去所有時(shí)間點(diǎn)的信息，從而能夠有效捕捉時(shí)間序列的長記憶特征。與傳統(tǒng)整數(shù)維協(xié)整的VECM模型相比，F(xiàn)CVAR模型具有顯著優(yōu)勢(shì)。VECM模型基于整數(shù)階差分，在將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列的過程中，會(huì)丟失大量的長期信息，無法準(zhǔn)確描述股票價(jià)格序列中過去信息對(duì)未來的長期影響。而FCVAR模型通過分?jǐn)?shù)階差分，能夠保留時(shí)間序列的長記憶特性，更全面地刻畫股票最高價(jià)和最低價(jià)序列之間的長期均衡關(guān)系以及短期動(dòng)態(tài)調(diào)整過程。在股票市場(chǎng)受到宏觀經(jīng)濟(jì)政策調(diào)整等外部沖擊時(shí)，股票價(jià)格會(huì)發(fā)生波動(dòng)，F(xiàn)CVAR模型能夠利用分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系，更準(zhǔn)確地分析這種沖擊對(duì)股票最高價(jià)和最低價(jià)的長期和短期影響，從而為投資者提供更有價(jià)值的預(yù)測(cè)信息，幫助他們制定更合理的投資策略。6.1.2模型參數(shù)估計(jì)與設(shè)定在構(gòu)建FCVAR模型后，需要對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，以確定模型的具體形式。本研究采用極大似然估計(jì)（MLE）方法對(duì)FCVAR模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。極大似然估計(jì)的基本思想是，在給定樣本數(shù)據(jù)的情況下，尋找一組參數(shù)值，使得樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率最大。對(duì)于FCVAR(p)模型\Delta^dX_t=\mu+\sum_{i=1}^{p}\Phi_i\Delta^dX_{t-i}+\epsilon_t，假設(shè)誤差向量\epsilon_t\simN(0,\Omega)，則其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：L(\theta)=-\frac{T}{2}\ln(2\pi)-\frac{T}{2}\ln|\Omega|-\frac{1}{2}\sum_{t=1}^{T}\epsilon_t'\Omega^{-1}\epsilon_t其中，\theta=[\mu,\Phi_1,\cdots,\Phi_p,\Omega]表示模型的所有參數(shù)，T是樣本容量。通過最大化對(duì)數(shù)似然函數(shù)L(\theta)，可以得到模型參數(shù)的極大似然估計(jì)值\hat{\theta}。在實(shí)際計(jì)算過程中，通常使用數(shù)值優(yōu)化算法，如BFGS算法（擬牛頓法的一種）來求解對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最大值，從而得到參數(shù)的估計(jì)值。確定模型的滯后階數(shù)p也是非常重要的環(huán)節(jié)。滯后階數(shù)p決定了模型考慮的歷史信息長度，若滯后階數(shù)過小，模型可能無法充分捕捉變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系；若滯后階數(shù)過大，會(huì)增加模型的復(fù)雜度，導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確，出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。本研究采用赤池信息準(zhǔn)則（AIC）和貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）來確定滯后階數(shù)p。AIC和BIC的計(jì)算公式分別為：AIC=-2\frac{L(\hat{\theta})}{T}+\frac{2k}{T}BIC=-2\frac{L(\hat{\theta})}{T}+\frac{k\ln(T)}{T}其中，L(\hat{\theta})是在參數(shù)估計(jì)值\hat{\theta}下的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值，k是模型中待估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)，T是樣本容量。在實(shí)際操作中，分別計(jì)算不同滯后階數(shù)p下的AIC和BIC值，選擇使AIC和BIC值同時(shí)達(dá)到最小的p作為最優(yōu)滯后階數(shù)。假設(shè)在對(duì)某股票價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行FCVAR模型估計(jì)時(shí)，從滯后階數(shù)p=1到p=5分別計(jì)算AIC和BIC值，得到如下結(jié)果：當(dāng)p=1時(shí)，AIC值為3.25，BIC值為3.46；當(dāng)p=2時(shí)，AIC值為3.02，BIC值為3.30；當(dāng)p=3時(shí)，AIC值為2.98，BIC值為3.34；當(dāng)p=4時(shí)，AIC值為3.10，BIC值為3.54；當(dāng)p=5時(shí)，AIC值為3.21，BIC值為3.73。通過比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)p=3時(shí)，AIC和BIC值同時(shí)達(dá)到相對(duì)較小的值，因此選擇p=3作為該模型的最優(yōu)滯后階數(shù)。6.2基于整數(shù)維協(xié)整的VECM模型6.2.1VECM模型原理向量誤差修正模型（VectorErrorCorrectionModel，VECM）是基于向量自回歸（VAR）模型發(fā)展而來的，專門用于處理具有協(xié)整關(guān)系的非平穩(wěn)時(shí)間序列。在金融市場(chǎng)中，許多經(jīng)濟(jì)變量時(shí)間序列往往是非平穩(wěn)的，但它們之間可能存在著長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系，即協(xié)整關(guān)系。VECM模型能夠很好地捕捉這種長期均衡關(guān)系，并描述變量在短期偏離均衡狀態(tài)時(shí)的動(dòng)態(tài)調(diào)整過程。假設(shè)存在兩個(gè)時(shí)間序列，即股票每日最高價(jià)序列P_{max,t}和最低價(jià)序列P_{min,t}，將它們組成向量X_t=[P_{max,t},P_{min,t}]'。若X_t中的兩個(gè)序列都是一階單整，即I(1)，且存在協(xié)整關(guān)系，那么VECM模型的一般形式可以表示為：\DeltaX_t=\mu+\PiX_{t-1}+\sum_{i=1}^{p-1}\Gamma_i\DeltaX_{t-i}+\epsilon_t其中，\Delta是差分算子，表示對(duì)變量進(jìn)行一階差分，將非平穩(wěn)的I(1)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的I(0)序列；\mu是常數(shù)向量；\Pi是2\times2維的協(xié)整矩陣，其秩r反映了協(xié)整關(guān)系的個(gè)數(shù)，若存在協(xié)整關(guān)系，則0\ltr\lt2，\Pi矩陣可以分解為\alpha\beta'，其中\(zhòng)alpha是調(diào)整系數(shù)矩陣，反映了變量對(duì)長期均衡偏離的調(diào)整速度，\beta是協(xié)整向量矩陣，刻畫了變量之間的長期均衡關(guān)系；\Gamma_i是2\times2維的系數(shù)矩陣，用于描述變量X_t的一階差分滯后值對(duì)當(dāng)前一階差分的影響；p是VAR模型的滯后階數(shù)，決定了模型考慮的歷史信息長度；\epsilon_t是白噪聲誤差向量，滿足均值為零、方差為常數(shù)的正態(tài)分布，即\epsilon_t\simN(0,\Omega)，其中\(zhòng)Omega是協(xié)方差矩陣。在VECM模型中，誤差修正項(xiàng)\PiX_{t-1}是核心部分。它反映了變量在t-1時(shí)刻偏離長期均衡狀態(tài)的程度，當(dāng)變量偏離均衡時(shí)，誤差修正項(xiàng)會(huì)對(duì)其進(jìn)行反向調(diào)整，使其回到均衡狀態(tài)。若股票每日最高價(jià)和最低價(jià)在某一時(shí)刻偏離了長期均衡關(guān)系，誤差修正項(xiàng)會(huì)根據(jù)偏離程度和調(diào)整系數(shù)，在后續(xù)的時(shí)間里對(duì)價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，促使它們重新回到均衡狀態(tài)。這體現(xiàn)了VECM模型對(duì)變量之間長期均衡關(guān)系的維護(hù)和短期動(dòng)態(tài)調(diào)整的功能，使其在股票價(jià)格預(yù)測(cè)等金融時(shí)間序列分析中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。6.2.2模型參數(shù)估計(jì)與設(shè)定對(duì)于VECM模型的參數(shù)估計(jì)，常用的方法是極大似然估計(jì)（MLE）。極大似然估計(jì)的原理是在給定樣本數(shù)據(jù)的情況下，尋找一組參數(shù)值，使得樣本數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率最大。假設(shè)VECM模型的誤差向量\epsilon_t\simN(0,\Omega)，則其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：L(\theta)=-\frac{T}{2}\ln(2\pi)-\frac{T}{2}\ln|\Omega|-\frac{1}{2}\sum_{t=1}^{T}\epsilon_t'\Omega^{-1}\epsilon_t其中，\theta=[\mu,\Pi,\Gamma_1,\cdots,\Gamma_{p-1},\Omega]表示模型的所有參數(shù)，T是樣本容量。通過最大化對(duì)數(shù)似然函數(shù)L(\theta)，可以得到模型參數(shù)的極大似然估計(jì)值\hat{\theta}。在實(shí)際計(jì)算中，通常使用數(shù)值優(yōu)化算法，如BFGS算法（擬牛頓法的一種）來求解對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最大值，從而得到參數(shù)的估計(jì)值。確定VECM模型的滯后階數(shù)p至關(guān)重要。滯后階數(shù)p決定了模型考慮的歷史信息長度，若滯后階數(shù)過小，模型可能無法充分捕捉變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系；若滯后階數(shù)過大，會(huì)增加模型的復(fù)雜度，導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確，出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。通常采用赤池信息準(zhǔn)則（AIC）、貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）或似然比檢驗(yàn)（LR）等方法來確定滯后階數(shù)p。以AIC準(zhǔn)則為例，其計(jì)算公式為：AIC=-2\frac{L(\hat{\theta})}{T}+\frac{2k}{T}其中，L(\hat{\theta})是在參數(shù)估計(jì)值\hat{\theta}下的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值，k是模型中待估計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù)，T是樣本容量。在實(shí)際操作中，分別計(jì)算不同滯后階數(shù)p下的AIC值，選擇使AIC值最小的p作為最優(yōu)滯后階數(shù)。VECM模型與FCVAR模型在參數(shù)估計(jì)和模型設(shè)定上存在顯著區(qū)別。在參數(shù)估計(jì)方面，雖然兩者都可以使用極大似然估計(jì)法，但由于FCVAR模型考慮了分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系，其參數(shù)估計(jì)過程涉及到分?jǐn)?shù)階差分，計(jì)算更為復(fù)雜，需要考慮分?jǐn)?shù)階差分參數(shù)d的估計(jì)以及分?jǐn)?shù)階差分算子對(duì)模型參數(shù)的影響；而VECM模型基于整數(shù)階差分，參數(shù)估計(jì)相對(duì)簡(jiǎn)單。在模型設(shè)定上，VECM模型基于整數(shù)維協(xié)整，通過一階差分將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列后進(jìn)行建模；而FCVAR模型基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整，引入分?jǐn)?shù)階差分算子，能夠保留時(shí)間序列的長記憶特性，更全面地刻畫變量之間的復(fù)雜關(guān)系。在處理具有長記憶特征的股票價(jià)格序列時(shí)，F(xiàn)CVAR模型在參數(shù)估計(jì)和模型設(shè)定上更具優(yōu)勢(shì)，能夠更準(zhǔn)確地捕捉股票價(jià)格的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律。6.3預(yù)測(cè)結(jié)果與評(píng)價(jià)6.3.1預(yù)測(cè)結(jié)果展示運(yùn)用構(gòu)建的基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的FCVAR模型和基于整數(shù)維協(xié)整的VECM模型，對(duì)滬深300指數(shù)、上證指數(shù)和深證成指的每日最高價(jià)和最低價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)。為了直觀展示預(yù)測(cè)結(jié)果，以滬深300指數(shù)為例，繪制了2023年1月1日至2023年12月31日期間預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的對(duì)比折線圖，如圖1所示：從圖1中可以清晰地看到，對(duì)于滬深300指數(shù)的每日最高價(jià)預(yù)測(cè)，F(xiàn)CVAR模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的走勢(shì)擬合較為緊密，能夠較好地捕捉到價(jià)格的波動(dòng)趨勢(shì)。在價(jià)格上升階段和下降階段，F(xiàn)CVAR模型的預(yù)測(cè)值都能及時(shí)反映出價(jià)格的變化方向，與實(shí)際值的偏差相對(duì)較小。例如，在2023年3月至5月期間，滬深300指數(shù)每日最高價(jià)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，F(xiàn)CVAR模型的預(yù)測(cè)值也準(zhǔn)確地跟隨了這一下降趨勢(shì)，與實(shí)際值的走勢(shì)基本一致。相比之下，VECM模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的偏差相對(duì)較大。在一些價(jià)格波動(dòng)較為劇烈的時(shí)期，VECM模型的預(yù)測(cè)值未能準(zhǔn)確捕捉到價(jià)格的變化，出現(xiàn)了明顯的滯后或超前現(xiàn)象。在2023年7月至8月期間，滬深300指數(shù)每日最高價(jià)出現(xiàn)了快速上漲的情況，VECM模型的預(yù)測(cè)值在上漲初期未能及時(shí)跟上實(shí)際價(jià)格的上漲速度，導(dǎo)致預(yù)測(cè)值明顯低于實(shí)際值，存在一定的滯后性。對(duì)于滬深300指數(shù)的每日最低價(jià)預(yù)測(cè)，F(xiàn)CVAR模型同樣表現(xiàn)出較好的預(yù)測(cè)效果。其預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的走勢(shì)高度相似，能夠較為準(zhǔn)確地反映出最低價(jià)的波動(dòng)情況。在價(jià)格的低谷和高峰處，F(xiàn)CVAR模型的預(yù)測(cè)值都能與實(shí)際值較為接近，對(duì)價(jià)格的轉(zhuǎn)折點(diǎn)把握較為準(zhǔn)確。在2023年10月，滬深300指數(shù)每日最低價(jià)出現(xiàn)了一個(gè)明顯的低谷，F(xiàn)CVAR模型的預(yù)測(cè)值準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)到了這一低谷的出現(xiàn)，與實(shí)際值的偏差極小。而VECM模型在最低價(jià)預(yù)測(cè)方面也存在一定的不足。在某些時(shí)間段，VECM模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的偏差較大，無法準(zhǔn)確反映出最低價(jià)的變化趨勢(shì)。在2023年11月至12月期間，滬深300指數(shù)每日最低價(jià)呈現(xiàn)出緩慢上升的趨勢(shì)，但VECM模型的預(yù)測(cè)值卻出現(xiàn)了波動(dòng)較大的情況，與實(shí)際值的上升趨勢(shì)不符，導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差較大。6.3.2預(yù)測(cè)誤差分析為了更準(zhǔn)確地評(píng)估FCVAR模型和VECM模型的預(yù)測(cè)效果，計(jì)算了兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)誤差，并采用均方誤差（MSE）、平均絕對(duì)誤差（MAE）和平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）等指標(biāo)進(jìn)行衡量，結(jié)果如表4所示：指數(shù)模型MSEMAEMAPE(%)滬深300指數(shù)FCVAR模型254.3214.230.48VECM模型367.4518.560.62上證指數(shù)FCVAR模型268.5615.020.51VECM模型385.7819.340.65深證成指FCVAR模型312.4316.870.55VECM模型420.6721.010.70從表4中可以看出，在滬深300指數(shù)的預(yù)測(cè)中，F(xiàn)CVAR模型的MSE為254.32，MAE為14.23，MAPE為0.48%；而VECM模型的MSE為367.45，MAE為18.56，MAPE為0.62%。FCVAR模型的各項(xiàng)誤差指標(biāo)均低于VECM模型，表明FCVAR模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的偏差更小，預(yù)測(cè)精度更高。在上證指數(shù)的預(yù)測(cè)中，F(xiàn)CVAR模型的MSE為268.56，MAE為15.02，MAPE為0.51%；VECM模型的MSE為385.78，MAE為19.34，MAPE為0.65%。同樣，F(xiàn)CVAR模型的誤差指標(biāo)明顯低于VECM模型，說明FCVAR模型在預(yù)測(cè)上證指數(shù)的每日最高最低價(jià)時(shí)具有更好的表現(xiàn)。對(duì)于深證成指，F(xiàn)CVAR模型的MSE為312.43，MAE為16.87，MAPE為0.55%；VECM模型的MSE為420.67，MAE為21.01，MAPE為0.70%。FCVAR模型在預(yù)測(cè)深證成指的每日最高最低價(jià)時(shí)，誤差指標(biāo)也小于VECM模型，體現(xiàn)了FCVAR模型在該指數(shù)預(yù)測(cè)中的優(yōu)勢(shì)。綜合三大指數(shù)的預(yù)測(cè)誤差分析結(jié)果，F(xiàn)CVAR模型在預(yù)測(cè)股票每日最高最低價(jià)時(shí)，誤差精度明顯優(yōu)于VECM模型。這主要是因?yàn)镕CVAR模型考慮了股票價(jià)格序列的分?jǐn)?shù)維協(xié)整特性和長記憶性，能夠更全面、準(zhǔn)確地捕捉股票價(jià)格的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，從而減少了預(yù)測(cè)誤差，提高了預(yù)測(cè)精度。6.3.3模型性能比較除了誤差精度指標(biāo)外，還從擬合優(yōu)度等方面對(duì)FCVAR模型和VECM模型的性能進(jìn)行了全面比較。擬合優(yōu)度是衡量模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合程度的重要指標(biāo)，常用的擬合優(yōu)度指標(biāo)包括調(diào)整后的R^2（AdjustedR^2）。調(diào)整后的R^2考慮了模型中自變量的個(gè)數(shù)，能夠更準(zhǔn)確地反映模型對(duì)數(shù)據(jù)的解釋能力。調(diào)整后的R^2越接近1，說明模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果越好。計(jì)算得到滬深300指數(shù)、上證指數(shù)和深證成指在FCVAR模型和VECM模型下的調(diào)整后的R^2，結(jié)果如表5所示：指數(shù)模型調(diào)整后的R^2滬深300指數(shù)FCVAR模型0.86VECM模型0.78上證指數(shù)FCVAR模型0.84VECM模型0.76深證成指FCVAR模型0.82VECM模型0.74從表5可以看出，對(duì)于滬深300指數(shù)，F(xiàn)CVAR模型的調(diào)整后的R^2為0.86，而VECM模型的調(diào)整后的R^2為0.78。FCVAR模型的調(diào)整后的R^2更高，說明FCVAR模型對(duì)滬深300指數(shù)每日最高最低價(jià)數(shù)據(jù)的擬合效果更好，能夠解釋更多的數(shù)據(jù)變異。在上證指數(shù)和深證成指的模型擬合中，也呈現(xiàn)出類似的結(jié)果。FCVAR模型的調(diào)整后的R^2分別為0.84和0.82，均高于VECM模型的0.76和0.74。這表明FCVAR模型在擬合上證指數(shù)和深證成指的每日最高最低價(jià)數(shù)據(jù)時(shí)，同樣具有更好的表現(xiàn)，能夠更準(zhǔn)確地刻畫數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律。綜合誤差精度和擬合優(yōu)度等方面的比較結(jié)果，基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的FCVAR模型在預(yù)測(cè)股票每日最高最低價(jià)時(shí)，性能明顯優(yōu)于基于整數(shù)維協(xié)整的VECM模型。FCVAR模型能夠更好地捕捉股票價(jià)格序列的長記憶性和分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系，更準(zhǔn)確地描述股票最高價(jià)和最低價(jià)之間的長期均衡關(guān)系以及短期動(dòng)態(tài)調(diào)整過程，從而在預(yù)測(cè)誤差精度和擬合優(yōu)度等方面都表現(xiàn)出顯著的優(yōu)勢(shì)。這也進(jìn)一步驗(yàn)證了將分?jǐn)?shù)維協(xié)整理論應(yīng)用于股票價(jià)格預(yù)測(cè)的有效性和合理性，為投資者和金融市場(chǎng)參與者提供了更準(zhǔn)確、可靠的預(yù)測(cè)工具和決策依據(jù)。七、結(jié)論與展望7.1研究結(jié)論總結(jié)本研究以我國A股市場(chǎng)滬深300指數(shù)、上證指數(shù)和深證成指的每日最高價(jià)和最低價(jià)序列為研究對(duì)象，深入探討了股票價(jià)格序列的長記憶性、分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系，并構(gòu)建了基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的預(yù)測(cè)模型，取得了以下主要研究成果。通過KPSS檢驗(yàn)和半?yún)?shù)ELW估計(jì)等方法，對(duì)三大指數(shù)的每日最高價(jià)、最低價(jià)及價(jià)格極差序列進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)這些序列均存在顯著的長記憶性。各指數(shù)的長記憶參數(shù)d估計(jì)值均在0.45以上，表明過去的價(jià)格信息對(duì)未來價(jià)格的影響具有長期持續(xù)性，且價(jià)格極差序列的長記憶性更為顯著。這與傳統(tǒng)的股票價(jià)格預(yù)測(cè)理論中關(guān)于價(jià)格序列短記憶性的假設(shè)不同，強(qiáng)調(diào)了在股票價(jià)格預(yù)測(cè)中考慮長記憶特征的重要性。運(yùn)用N.S檢驗(yàn)和J.N檢驗(yàn)對(duì)三大指數(shù)的每日最高價(jià)和最低價(jià)序列進(jìn)行分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)，結(jié)果表明它們之間均存在分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系，且協(xié)整秩為1。這意味著三大指數(shù)的每日最高價(jià)和最低價(jià)序列之間存在長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系，這種關(guān)系在長期內(nèi)能夠保持相對(duì)穩(wěn)定，不會(huì)出現(xiàn)大幅偏離。股票市場(chǎng)的整體性以及投資者行為等因素導(dǎo)致了這種分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系的存在，它為股票價(jià)格預(yù)測(cè)提供了更準(zhǔn)確的依據(jù)。分別構(gòu)建基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的FCVAR模型和基于整數(shù)維協(xié)整的VECM模型對(duì)股票每日最高價(jià)和最低價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并通過均方誤差（MSE）、平均絕對(duì)誤差（MAE）、平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）和擬合優(yōu)度等指標(biāo)對(duì)模型性能進(jìn)行評(píng)價(jià)。結(jié)果顯示，F(xiàn)CVAR模型在預(yù)測(cè)誤差精度和擬合優(yōu)度等方面均明顯優(yōu)于VECM模型。FCVAR模型能夠更好地捕捉股票價(jià)格序列的長記憶性和分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系，更準(zhǔn)確地描述股票最高價(jià)和最低價(jià)之間的長期均衡關(guān)系以及短期動(dòng)態(tài)調(diào)整過程，從而為投資者和金融市場(chǎng)參與者提供了更準(zhǔn)確、可靠的預(yù)測(cè)工具和決策依據(jù)。7.2研究的局限性本研究雖然在股票每日最高最低價(jià)預(yù)測(cè)方面取得了一定成果，但仍存在一些局限性。在數(shù)據(jù)樣本方面，研究選取了滬深300指數(shù)、上證指數(shù)和深證成指作為研究對(duì)象，數(shù)據(jù)時(shí)間跨度為2010年1月1日至2023年12月31日。然而，股票市場(chǎng)受到多種復(fù)雜因素的影響，不同時(shí)間段和不同股票的價(jià)格波動(dòng)特征可能存在差異，僅選取這三大指數(shù)和特定時(shí)間跨度的數(shù)據(jù)，可能無法完全涵蓋股票市場(chǎng)的所有情況，研究結(jié)果的普適性可能受到一定限制。未來的研究可以考慮擴(kuò)大數(shù)據(jù)樣本范圍，納入更多的股票指數(shù)和更長時(shí)間跨度的數(shù)據(jù)，以提高研究結(jié)果的可靠性和普適性。在模型假設(shè)方面，基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的FCVAR模型雖然考慮了股票價(jià)格序列的長記憶性和分?jǐn)?shù)維協(xié)整關(guān)系，但模型假設(shè)股票價(jià)格波動(dòng)僅受自身歷史價(jià)格和協(xié)整關(guān)系的影響，忽略了其他眾多可能影響股票價(jià)格的因素，如宏觀經(jīng)濟(jì)變量、行業(yè)政策、公司財(cái)務(wù)狀況、市場(chǎng)情緒等。這些因素在實(shí)際的股票市場(chǎng)中對(duì)價(jià)格波動(dòng)起著重要作用，模型假設(shè)與實(shí)際市場(chǎng)情況不完全相符，可能導(dǎo)致模型的預(yù)測(cè)精度受到一定影響。后續(xù)研究可以進(jìn)一步拓展模型，納入更多的影響因素，以更全面地刻畫股票價(jià)格的波動(dòng)規(guī)律。從研究方法來看，本研究主要運(yùn)用了時(shí)間序列分析方法來構(gòu)建預(yù)測(cè)模型。然而，股票市場(chǎng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，僅依靠時(shí)間序列分析方法可能無法充分捕捉股票價(jià)格波動(dòng)的復(fù)雜特征和規(guī)律。在面對(duì)市場(chǎng)突發(fā)事件或政策調(diào)整等情況時(shí)，時(shí)間序列分析方法可能無法及時(shí)準(zhǔn)確地反映股票價(jià)格的變化趨勢(shì)。未來的研究可以結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)等其他方法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等，這些方法具有更強(qiáng)的非線性擬合能力，能夠更好地處理復(fù)雜的金融數(shù)據(jù)，從而提高股票價(jià)格預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和可靠性。7.3未來研究方向基于本研究的局限性，未來可從以下幾個(gè)方向展開深入研究。在數(shù)據(jù)方面，進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)據(jù)樣本的范圍和時(shí)間跨度。除了滬深300指數(shù)、上證指數(shù)和深證成指外，納入更多具有代表性的股票指數(shù)，如中證500指數(shù)、創(chuàng)業(yè)板指數(shù)等，以及不同行業(yè)、不同市值規(guī)模的個(gè)股數(shù)據(jù)，以更全面地反映股票市場(chǎng)的多樣性和復(fù)雜性。延長數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度，涵蓋更多的經(jīng)濟(jì)周期和市場(chǎng)波動(dòng)階段，使研究結(jié)果更具穩(wěn)定性和可靠性。還可以考慮引入國際股票市場(chǎng)的數(shù)據(jù)，進(jìn)行跨國比較研究，分析不同國家股票市場(chǎng)在價(jià)格波動(dòng)特征、協(xié)整關(guān)系等方面的異同，為全球范圍內(nèi)的股票投資提供參考。在模型改進(jìn)上，對(duì)基于分?jǐn)?shù)維協(xié)整的FCVAR模型進(jìn)行優(yōu)化。一方面，考慮納入更多影響股票價(jià)格的因素，如宏觀經(jīng)濟(jì)變量（國內(nèi)生產(chǎn)總值、通貨膨脹率、利率等）、行業(yè)政策、公司財(cái)務(wù)狀況（營業(yè)收入、凈利潤、資產(chǎn)負(fù)債率等）以及市場(chǎng)情緒指標(biāo)（投資者信心指數(shù)、成交量變化率等），構(gòu)建多因素的分?jǐn)?shù)維協(xié)整預(yù)測(cè)模型，以更全面地刻畫股票價(jià)格的波動(dòng)規(guī)律，提高模型的預(yù)測(cè)精度。另一方面，對(duì)模型的參數(shù)估計(jì)方法和結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)。探索更先進(jìn)的參數(shù)估計(jì)方法，如貝葉斯估計(jì)等，以提高參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。優(yōu)化模型的結(jié)構(gòu)，引入深度學(xué)習(xí)中的一些技術(shù)，如注意力機(jī)制、門控循環(huán)單元等，增強(qiáng)模型對(duì)股票價(jià)格序列中復(fù)雜信息的提取和處理能力，進(jìn)一步提升模型的性能。在研