第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年貴州省貴陽市觀山湖第一高級中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U=N，集合A={x|x=3k,k∈N}，B={x|x=6k,k∈N}，則正確的關(guān)系是(

)A.A∪B=B B.B∩(?UA)=? C.B∪(2.曲線y=x3+ax在x=1處的切線斜率為2，則a=A.?1 B.1 C.0 D.e3.本學(xué)期某校舉行了有關(guān)垃圾分類知識競賽，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，則(

)A.圖中x的值為0.020 B.估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)值為90

C.估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第80%分位數(shù)為95 D.估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)4.已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)，若|z|=1，則x4x2+1A.14 B.13 C.125.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1A.39 B.156 C.395 D.6.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是該拋物線上一動點(diǎn)，且|AF|的最小值為1，點(diǎn)P(2,3)，則|AP|+|AF|的最小值為(

)A.10 B.4 C.2 D.7.下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是(

)

①已知變量x、y線性相關(guān)，其一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,?,10)，其中i=110xi=30，i=110yi=90，用最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2x+a，則a=?3．

②根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2=4.712，根據(jù)小概率值α=0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)A.0 B.1 C.2 D.38.把△D1D2D3沿三條中位線折疊成四面體ABCD，其中D1D2=12A.77π B.77π4 C.77π8 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知2a+a=log2A.ab<1 B.2a?b>14

C.10.對于函數(shù)f(x)=?2sin(3x+π4)+1A.函數(shù)的最小值是?32

B.圖象的對稱軸是直線x=kπ3?π12(k∈Z)

C.圖象的振幅為11.在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)A.異面直線C1P與CB1所成角的大小為定值

B.三棱錐D?BPC1的體積是定值

C.直線CP和平面ABC1D1所成的角的大小是定值

D.若點(diǎn)Q是線段BD上動點(diǎn)，則直線PQ與12.雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F13.某學(xué)校組織學(xué)生參加勞動實(shí)踐活動，其中4名男生和2名女生參加農(nóng)場體驗(yàn)活動，體驗(yàn)活動結(jié)束后，農(nóng)場主與6名同學(xué)站成一排合影留念，則2名女生相鄰且農(nóng)場主站在中間的概率等于______(用數(shù)字作答)．14.已知f(x)=xex+1e+e2，g(x)=?x2?2x?1+a，若存在x1∈R四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2,a2n+1=2an+3(n∈N?)，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且16.(本小題15分)

在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，DA=AB=PD=2，DC=4，E，F(xiàn)分別為棱CD，PD的中點(diǎn)．

(1)求證：AB⊥平面PAD；

(2)求證：PB//平面AEF；

(3)求二面角P?BC?A的正弦值．17.(本小題15分)

某電視臺綜藝節(jié)目舉行闖關(guān)答題的活動，具體規(guī)則如下：

(1)第一關(guān)，有三個(gè)必答問題，至少答對兩個(gè)問題參與者就可以過關(guān)；

(2)進(jìn)入第二關(guān)，還有三個(gè)問題，參與者只要連續(xù)答對兩個(gè)題目就可以獲得獎品，并終止答題，如果參與者連續(xù)答錯兩個(gè)題也終止答題沒有獎品.只要沒有出現(xiàn)連對或者連錯的情況，答題就不終止，直到答完這三個(gè)問題.已知紅星中學(xué)的李華同學(xué)參加了這個(gè)活動，并且李華同學(xué)答對第一關(guān)每一個(gè)問題的概率都是23，答對第二關(guān)三個(gè)問題的概率依次為34，12，13，請問：

(1)李華同學(xué)可以闖過第一關(guān)的概率是多少？

(2)李華同學(xué)進(jìn)入第二關(guān)后，她可以獲得獎品的概率是多少？

(3)設(shè)李華同學(xué)結(jié)束此次活動后，兩關(guān)加一起共答對X個(gè)題目，請列出18.(本小題17分)

19世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且蒙日圓的半徑為a2+b2(a為橢圓的長半軸長，b為橢圓的短半軸長).已知橢圓E上任一點(diǎn)到點(diǎn)(2,0)的距離與到直線x=322的距離之比為63，橢圓E的蒙日圓為圓O．

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓E上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓左右焦點(diǎn)，直線OP與圓O相交于M，N兩點(diǎn)，求證：|PM||PF1|?|PN||PF2|19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex?aln(x+1)，g(x)=sinx?x，其中a∈R．

(1)證明：當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，g(x)≤0；

(2)若x>0時(shí)，f(x)有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)對任意的x∈[0,π]，2[f(x)?1]≥g′(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a參考答案1.B

2.A

3.C

4.A

5.D

6.B

7.C

8.D

9.ABD

10.AD

11.AB

12.713.410514.[e15.(1)由等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2,a2n+1=2an+3(n∈N?)，

可得4a1+6d=4(2a1+d)，即d=2a1，又a3=a1+2d=2a1+3，即a1=2d?3，解得a1=1d=2．

所以an=1+(n?1)×2=2n?1．

在等比數(shù)列{bn}中，當(dāng)n≥2時(shí)，由bn+1=Tn+2(n∈N?)，可得b16.解：(1)證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AB?面ABCD，則PD⊥AB，

又AB//DC，AD⊥DC，則AB⊥AD，

又AD∩PD=D，AD，PD?平面PAD，

所以AB⊥平面PAD．

(2)證明：設(shè)AE∩BD=H，連接BF，F(xiàn)H，

因?yàn)锳B=2，DC=4，AB//DC，E是DC的中點(diǎn)，

所以DE//AB，且DE=AB，AD⊥DC，

則ABED為正方形，所以H為BD中點(diǎn)，

又F是PD的中點(diǎn)，所以HF//PB，

又HF?平面AEF，PD?平面AEF，

所以PB//平面AEF．

(3)由(2)知BE⊥DC，又E是DC中點(diǎn)，則DB=BC，

又DB=22,DC=4，所以BD2+BC2=DC2，則DB⊥BC，

又PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，則PD⊥BC，

又PD∩DB=D，PD，DB?平面PDB，

所以BC⊥平面PDB，又PB?平面PDB，

所以BC⊥PB，則∠PBD為二面角P?BC?A的平面角，

在Rt△PDB中，PD=2，DB=22，17.解：(1)李華答對2題或3題，即可闖過第一關(guān)，

所以李華同學(xué)可以闖過第一關(guān)的概率P=C32×(23)2×13+(23)3=2027．

(2)李華答對第1，2題，或是第一題錯，2，3題答對，即可獲得獎品，

所以李華獲得獎品的概率P=34×12+14×12×13=512．

(3)第一關(guān)答題數(shù)為3，若能進(jìn)入第二關(guān)，則答題數(shù)目為2或3，

則X=0X012345P12155513E(X)=0×12718.(1)設(shè)E(x,y)，

因?yàn)闄E圓E上任一點(diǎn)到點(diǎn)(2,?0)的距離與到直線x=322的距離之比為63，

所以(x?2)2+y2=63|x?322|，

整理可得x23+y2=1，

則橢圓E的方程為x23+y2=1；

(2)證明：由(1)得該橢圓E的蒙日圓O為x2+y2=4，

設(shè)P(x0,y0)，

因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，

所以y02=1?x023，

又F1(?2,?0)，F(xiàn)2(2,?0)，

所以|PF1|=(x0+2)2+y02=(x0+2)2+1?x023=23x02+22x0+3=3+63x0，

同理得|PF2|=3?63x0，

所以|PF1|?|PF2|=3?23x02，

|PM|?|PN|=(2+|OP|)?(2?|OP|)=4?|OP|2=4?x02?y02=4?x02?(1?13x02)=3?19.(1)證明：因?yàn)間(x)=sinx?x，因此g′(x)=cosx?1≤0對任意x∈[0,+∞)恒成立，

可知g(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，因此g(x)≤g(0)=0，

所以當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，g(x)≤0．

(2)f′(x)=ex?ax+1=(x+1)ex?ax+1，

令?(x)=(x+1)ex?a，x>0，因此?′(x)=(x+2)ex>0對任意x>0恒成立，

可知?(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，因此?(x)>?(0)=1?a，

當(dāng)1?a≥0，因此a≤1時(shí)，因此?(x)>0對任意x>0恒成立，因此f′(x)>0，

可知f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，不合題意；

當(dāng)1?a<0，因此a>1時(shí)，因此?(x)在(0,+∞)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x0>0