淘寶：學(xué)思創(chuàng)想

第08講三角形全等的判定

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

【知識(shí)點(diǎn)1判定兩個(gè)三角形全等的基本事實(shí)（邊邊邊）】

1.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）．

2.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：如圖所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，則△ABC≌△A′B′C′.

【知識(shí)點(diǎn)2判定兩個(gè)三角形全等的基本事實(shí)（邊角邊）】

1.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）．

2.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：如圖所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，則△ABC≌△A′B′C′.

【知識(shí)點(diǎn)3判定兩個(gè)三角形全等的基本事實(shí)（角邊角）】

1.兩邊和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）．

2.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：如圖所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，則△ABC≌△A′B′C′.

1

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【知識(shí)點(diǎn)4判定兩個(gè)三角形全等的基本事實(shí)（角角邊）】

1.兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）．

2.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：如圖所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，則△ABC≌△A′B′C′.

【知識(shí)點(diǎn)5直角三角形全等的判定（斜邊、直角邊）】

1.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）．

2.數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：如圖所示，AB=A′B′，BC=B′C′，則△ABC≌△A′B′C′.

【題型1利用SSS證明三角形全等】

【例1】如圖，是上一點(diǎn)，．求證：．

?????=??,??+??=??,??=??△???≌△???

【變式1-1】如圖，已知在同一條直線上，，，．

求證：．?,?,?,???=????=????=??

△???≌△???

【變式1-2】如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，，

判斷與的數(shù)量關(guān)系并加?以??說(shuō)?明．∠?=∠?=90°??????=????=??

????

2

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【變式1-3】如圖，在線段上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，在線段的異側(cè)有兩點(diǎn)A，D，且滿足，，，

連接．??????=????=????=??

??

(1)求證：；

(2)若△??，?≌△???，平分時(shí)，求的度數(shù)．

【題型∠2?=利4用0°SA∠S?證??明=三2角0°形全??等】∠???∠???

【例2】如圖，在和中，，，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)F，且．求

證：△???．△?????=????=??????∠???=∠???

∠?+∠???=180°

【變式2-1】如圖，，，，，，連接，點(diǎn)恰好在

°°

上，求的度數(shù)．??=????=??∠???=∠???∠1=25∠2=30?????

∠3

【變式2-2】如圖，已知在中，，，在中，，，

連接，，延長(zhǎng)交Rt于△點(diǎn)??F?．試說(shuō)∠?明?：?=90°??=??．Rt△???∠???=90°??=??

????????△???≌△???

3

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【變式2-3】如圖，在中，、，垂足分別為、，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段，

且△，?連??接?、?⊥．????⊥??????????

??=??,??=??????

(1)求證：；

(2)求的△度?數(shù)?．?≌△???

【題型∠3?利用ASA證明三角形全等】

【例3】如圖，點(diǎn)D是的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，過(guò)D作，且，連接

交于點(diǎn)F，若△???，?求?證：??．=????∥????=????

??∠???=∠???△???≌△???

【變式3-1】如圖，已知，，求證：．

??=??∠1=∠2=∠3△???≌△???

【變式3-2】如圖，在四邊形中，，連接，點(diǎn)E在上，，連

接，．?求??證?：??∥??．??????=??

??∠?+∠???=180°??=??

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【變式3-3】如圖，已在與中，，，，，求證：．

△???△?????=??∠???=∠?????⊥????⊥????=??

【題型4利用AAS證明三角形全等】

【例4】如圖，在四邊形中，，，，．求證：．

??????=????=??∠???=∠???∠?=∠???=??

【變式4-1】如圖，點(diǎn)，在射線，上，．點(diǎn)，在射線上，，．

????????=??????∠???=∠???∠???+∠???=180°

(1)求證：．

(2)試判斷線△?段??≌，△??，?的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【變式4-2】如圖?，?????，，，，垂足分別為D，E，，．求

的長(zhǎng)．∠???=90°??=????⊥????⊥????=2.4cm??=1.6cm

??

【變式4-3】如圖，在四邊形中，，，垂足為，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

????∠???=∠???=90°??⊥???????5

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，．

???=??

(1)請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由；

(2)連接，交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．

【題型5??利用?H?L證明三?角形∠全??等?】=115°∠???

【例5】如圖，已知在線段上，與交于點(diǎn)，且，，求證：

．??⊥??,??⊥??,?,??????????=????=??Rt△

???≌Rt△???

【變式5-1】如圖，，、分別是、上的點(diǎn)，、分別是、上的點(diǎn)，若、

，，求??證=：???????．?????????⊥????⊥

????=??Rt△???≌Rt△???

【變式5-2】如圖，在中，，直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作l的垂線，，E，F(xiàn)

為垂足，且；△?????=??????

??=??

求證：

(1)

．

(2)∠???=∠???

【變?式?⊥5-3?】?如圖，在中，，，D是上一點(diǎn)，E在的延長(zhǎng)線上，且，

Rt△???∠???=90°??=????????=??

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的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)F．試通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想等方法來(lái)探索與有何特殊的位置關(guān)系，并證明

?你?的猜想．??????

【題型6添加條件使三角形全等】

【例6】如圖，在中，、兩點(diǎn)分別在、邊上，且，現(xiàn)增加一個(gè)條件，使得

一定成立，則該△條?件??可以是?下?列中的???．???=??△???≌△???

①；②；③；④．

??=??∠???=∠???∠???=∠?????⊥??

【變式6-1】如圖，，．給出下列條件：①；②，③，④．從

這四個(gè)條件中再選∠一1個(gè)=使∠2??=??，符合條件的有??=??（填?符?號(hào)=）?．?∠?=∠?∠?=∠?

△???≌△???

【變式6-2】如圖，在和中，為公共邊，且，O為、的交點(diǎn)．要證明

，需補(bǔ)充一個(gè)△條??件?，在△給??出?的以?下?四個(gè)條件中：∠①?=∠?=9；0°②????；③△???≌；

△④???，能作為添加條件的是．（填寫(xiě)序號(hào)）??=??∠???=∠???∠???=∠???

??=??

【變式6-3】如圖，，，分別為，上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．要，

還須添加一個(gè)條件，??如=添?加???，可運(yùn)??用??，證得????．?請(qǐng)寫(xiě)出添??加的其△它?一??個(gè)≌條△件?，??仍

能證得：??=?．?（說(shuō)明：原SA圖S不再添△加?點(diǎn)??和≌線△，?要??求寫(xiě)出所有可能）

△???≌△???

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【題型7兩次證明全等】

【例7】如圖所示，已知，，，交于點(diǎn)，連接．試說(shuō)明：．

??=??∠?=∠???=?????????∠???=∠???

【變式7-1】如圖，在五邊形中，，，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接、

，有?，??求??證：∠?=∠?．=90°??=????=??????

??∠???=∠???=90°??=??

【變式7-2】如圖，于E，于F，、相交于點(diǎn)D，且．求證：．

??⊥????⊥????????=????=??

【變式7-3】如圖，在中，，于點(diǎn)D，，且，過(guò)C作．

Rt△???∠???=90°??⊥????=????=????∥??

(1)求證：；

∠???=∠???

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(2)求證：．

【題型8?全?等=三?角?形的實(shí)際應(yīng)用】

【例8】如圖，為了測(cè)量水池兩邊A，B間的距離，可以先過(guò)點(diǎn)A作射線，再過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，

在延長(zhǎng)線上截取，連接，則的長(zhǎng)就是A，B間的距離，?以?此來(lái)判斷??⊥??的理由

是（??）??=??????△???≌△???

A．B．C．D．

【變式8S-1S】S要測(cè)量A，B間S的AS距離（無(wú)法直接測(cè)出A）SA，兩位同學(xué)提供了測(cè)A量AS方案：

方案Ⅰ：①如圖1，選定點(diǎn)O；②連接，并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使，連接圖1：，并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使；

③連接，測(cè)量的長(zhǎng)度即可．????=??????=??

方案Ⅱ：?①?如圖2?，?選定點(diǎn)O；②連接，，并分別延長(zhǎng)到點(diǎn)F，E，使，；③連接，

測(cè)量的長(zhǎng)度即可．??????=????=????

對(duì)于方??案Ⅰ、Ⅱ，下列說(shuō)法正確的是（）

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C．Ⅰ、Ⅱ都不可行D．Ⅰ、Ⅱ都可行

【變式8-2】小明不慎將一塊三角形的玻璃碎成如圖所示的四塊（圖中所標(biāo)1、2、3、4），你認(rèn)為將其中的

哪一塊帶去，就能配一塊與原來(lái)大小一樣的三角形玻璃？應(yīng)該帶第塊去，這利用了三角形全等中的

原理．

【變式8-3】小明與爸爸媽媽在公園里蕩秋千，如圖，小明坐在秋千的起始位置A處，與地面垂直，兩腳

在地面上用力一蹬，媽媽在距地面高的C處接住他后用力一推，爸爸在B處接住?他?，若媽媽與爸爸到

的水平距離、分別為1和.2m，．

??????1.4m2m∠???=90°

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(1)與全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)△爸爸??是?在距△離??地?面多高的地方接住小明的？

1．根據(jù)下列已知條件，能畫(huà)出唯一的的是（）

A．，，△???

B．??=5，??=4??，=1

C．∠?=40，°∠?=，50°∠?=90°

D．??=5，??=4∠?，=60°

2．如圖∠，?已=知30°∠?，=60°??，=5，以下結(jié)論：①；②；③；

④；⑤??=????=，??其中??正=確?的?個(gè)數(shù)為（）△???≌△???∠?=∠???=??+??

∠1=∠2?△???=?△???

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A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)

3．如圖，已知為小明根據(jù)所作的圖形，若，則他作圖的根據(jù)是（）

△???,△???△???△???≌△???

A．B．C．D．

4．如圖，S點(diǎn)SSA，B，C，D在同一A條SA直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別A在AS直線的兩側(cè)，且SAS，，，

若，，則的長(zhǎng)為（）????=??∠?=∠?∠???=∠???

??=16??=4??

A．4B．6C．8D．10

5．在中，，將沿圖中虛線剪開(kāi)，剪下的兩個(gè)三角形不一定全等的是（）

△???∠?=∠?=50°△???

A．B．

C．D．

6．如圖所示，，，，，，則

??=????=??∠???=∠???∠1=25°∠2=30°∠3=

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7．如圖，已知，，要使，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是．

??=??∠???=∠???△???≌△???

8．工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來(lái)平分一個(gè)角，如圖，在的兩邊、上分別在取

，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)、重合，這時(shí)過(guò)∠角??尺?頂點(diǎn)的?射?線??就是

?的?平=分?線?．這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是．?????∠???

9．如圖，在中，D是邊上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別

交、于△點(diǎn)??、?；②以點(diǎn)?D?為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為

′′

半徑??作弧??，在??內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)；?④?過(guò)點(diǎn)作射線交??于點(diǎn)?E．若?，??，則

′′′

∠??．???????∠?=44°∠?=60°

∠???=°

10．生活情境·滑滑梯如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，左邊滑梯的高度與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度相

等，且左邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度與右邊滑梯的高度相等，若??，則．??

????∠???=32°∠???=

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11．如圖，在中，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,BC,AC上，且．求證：．

△?????=??,∠???=∠?=∠?△???≌△???

12．如圖，點(diǎn)E在的邊上，點(diǎn)D、F分別在、的延長(zhǎng)線上，連接、，，

△???，求?證?：．????????∠?=∠???=

??,∠???+∠???=180°??=??

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