第09講角的平分線(xiàn)

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

【知識(shí)點(diǎn)1作已知角的平分線(xiàn)】

已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分線(xiàn)．

作法：

（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N．

（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于1/2MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C．

（3）畫(huà)射線(xiàn)OC．射線(xiàn)OC即為所求．

如圖所示：

★作圖依據(jù)：構(gòu)造△OMC≌△ONC（SSS）．

【知識(shí)點(diǎn)2角的平分線(xiàn)的性質(zhì)】

內(nèi)容：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．

如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.

結(jié)論：PD=PE.

【提示】

（1）這里的距離指的是點(diǎn)到角的兩邊垂線(xiàn)段的長(zhǎng)；

（2）該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線(xiàn)段相等的依據(jù)，不需要再用全等三角形；

（3）使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線(xiàn)、有垂直；

（4）運(yùn)用角的平分線(xiàn)時(shí)常添加的輔助線(xiàn)：由角的平分線(xiàn)上的已知點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)段，利用其相等來(lái)推導(dǎo)其

他結(jié)論．

【知識(shí)點(diǎn)3角的平分線(xiàn)的判定】

內(nèi)容：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上．

如圖，△ABC的角平分線(xiàn)BM，CN相交于點(diǎn)P.

結(jié)論：①點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等；②△ABC的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn).

【提示】角的平分線(xiàn)的判定的前提條件是指在角的內(nèi)部的點(diǎn)到角兩邊的距離相等時(shí)，它才是在角的平分線(xiàn)上，

角的外部的點(diǎn)不會(huì)在角的平分線(xiàn)上．

【題型1角平分線(xiàn)的性質(zhì)直接應(yīng)用】

【例1】如圖，在中，，平分，，垂足為點(diǎn)E，，，則

的長(zhǎng)是（）Rt△???∠?=90°??∠?????⊥????=6??=10??

A．2B．3C．4D．6

【變式1-1】如圖，，平分交于，于，的延長(zhǎng)線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于．求

證：．∠???=90°??∠????????⊥????????

??=??

【變式1-2】如圖，在中，，是的平分線(xiàn)，于E，F(xiàn)在上，且．

△???∠?=90°??∠?????⊥??????=??

(1)求證：；

(2)試判斷??與=??，之間存在的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由．

【變式1-3】??如圖??，在??中，為的平分線(xiàn)，于，于，面積是，

2

，△?，??求的??長(zhǎng)．∠?????⊥?????⊥???△???56cm

??=20?cm??=8cm??

【題型2作一邊的垂線(xiàn)】

【例2】如圖，在中，為的平分線(xiàn)，于點(diǎn)，，，則的面

積為（）△?????∠?????⊥?????=2??+??=16△???

A．32B．20C．16D．8

【變式2-1】如圖，在中，為邊上的中線(xiàn)，于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，連接．若

平分，，△???，則????的面積為（?）?⊥????????????

∠?????=3??=9△???

A．B．C．D．6

27927

【變式2-22】如圖，平行2，和分別平分4和，過(guò)點(diǎn)P，且與垂直，若，

，求四邊形??的?面?積?？???∠???∠?????????=8cm??=

10cm????

【變式2-3】如圖，在四邊形中，平分于．

??????∠???,??⊥???,∠???+∠?=180°

(1)求證：．

(2)當(dāng)2??=??+時(shí)?，?______（直接寫(xiě)出結(jié)果）

【題型?3?=作4兩,?邊?的=垂3線(xiàn)】??=

【例3】如圖，在四邊形中，是它的對(duì)角線(xiàn)，，若平分，，則的

度數(shù)為（）????????=????∠???∠?=119°∠???

A．B．C．D．

【變式36-12】°如圖，在6中1°，是它的角平分線(xiàn)60，°是它的中線(xiàn)，59°，，，則長(zhǎng)

為（）△?????????=5??=3??=7??

A．B．C．D．

157715

【變式3-72】如圖，在15中，，分別平分8，，8于點(diǎn)D．若，的面

積是50，則的△周?長(zhǎng)?為?（?）???∠???∠?????⊥????=3△???

△???

A．B．25C．D．50

50100

【變式3-33】已知是的平分線(xiàn)，P是射線(xiàn)3上一點(diǎn)，點(diǎn)C，D分別在射線(xiàn)上，連接．

??∠???????,????,??

(1)如圖①，當(dāng)，時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是______；

(2)如圖②，點(diǎn)?C?，D⊥?分?別在??射⊥線(xiàn)??上??運(yùn)動(dòng)??，且．當(dāng)時(shí)，與在（1）

問(wèn)中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)?明?,理??由．∠???=90°∠???+∠???=180°????

【題型4尺規(guī)作角平分線(xiàn)】

【例4】尺規(guī)作圖：已知點(diǎn)、和．

??∠???

(1)畫(huà)直線(xiàn)；

(2)在直線(xiàn)??上求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到的兩邊的距離相等．

【變式4-1】??如圖，在中.∠???

△???

(1)尺規(guī)作圖：作的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

(2)若，∠???，的??面積?為?12，求的面積

【變式?4?-2=】8如圖??，=已6知在△???中．△???

△???

(1)分別作，的平分線(xiàn)，它們交于點(diǎn)O（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

∠?∠?

(2)當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_____．

(3)當(dāng)∠?=60時(shí)°，用∠含??的?代數(shù)式表示的度數(shù)．

【變式∠4?-3=】?如圖，在?中，用圓∠規(guī)?和??無(wú)刻度直尺在AB上方作．（保留作圖痕跡，不要求

1

寫(xiě)作圖過(guò)程）△???∠???=2∠?

【題型5證角平分線(xiàn)】

【例5】如圖，，M是的中點(diǎn)，平分．求證：平分．

∠?=∠?=90°????∠?????∠???

【變式5-1】如圖，，于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，且，求證：是

的平分線(xiàn)．??=????⊥????⊥??????=????∠???

【變式5-2】如圖，是內(nèi)部的一條射線(xiàn)，點(diǎn)在上，連接、，，過(guò)點(diǎn)作，

，，分?別?是∠垂?足??，且，求證：??平?分．??????=?????⊥??

??⊥??????=????∠???

【變式5-3】如圖：，，，，

??⊥????⊥????=????=??

(1)圖中、有怎樣的位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論．

(2)連接??，?求?證：平分．

【題型6??角平分線(xiàn)的?判?定與∠性?質(zhì)?綜?合】

【例6】如圖，在中，，點(diǎn)在的外部，且平分，過(guò)點(diǎn)作，交

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，△???，∠交???于=點(diǎn)50°，連接?△．?若???，?∠???，求?的?度?數(shù)⊥????

???⊥???????∠???=104°??=??∠???

【變式6-1】如圖，，分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角及一個(gè)外角的平分線(xiàn)，，垂足為點(diǎn)Q，連接．

??????⊥????

(1)若，求的度數(shù)；

(2)設(shè)∠???=，60°，∠???，求線(xiàn)段、的長(zhǎng)度（用含，，的式子表示）．

【變式?6?-2=】?如圖?在?=??中?，=點(diǎn)?D在邊?上?，??，?的?平?分線(xiàn)交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，

交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)△F?，??且??，連接∠?．??=40°∠???????⊥??

??∠???=20°??

(1)求證：平分；

(2)若??∠???，且，求的面積．

【變式?6?-3=】6如,?圖?，=在5,??=中7，點(diǎn)D?△在???=邊1上2，△???，平分交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作

交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)△F，?且???，?連接∠．???=110°??∠???????⊥??

??∠???=55°??

(1)求的度數(shù)；

(2)求證∠?：??平分；

(3)若??，∠???，且，求的長(zhǎng)．

??=4??=8?△???=15??

1．如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，分別交、于點(diǎn)M、N，

再分別以點(diǎn)MR、t△N?為?圓?心，∠大?于=90°的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)交?邊??于?點(diǎn)D，點(diǎn)E在

1

2??????

邊上，連結(jié)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

????

A．

B．連??結(jié)=??、，根據(jù)可判定

C．????SAS△???≌△???

D．∠??的?最=小∠值??是?的長(zhǎng)

2．如圖?，?平分??，于點(diǎn)D，若，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于線(xiàn)段敘述正確的是

（）??∠?????⊥????=4.5????

A．B．C．D．

3．如圖?，?在=4.5中，??>4.5，平分??≤，4.5于點(diǎn)．若??≥4.5，則的面積為（）

△?????+??=18??∠?????⊥?????=4△???

A．B．C．D．

4．如圖1，2在中，D是18延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，24與的角平分線(xiàn)3交6于點(diǎn)E，連接．若要求

的度數(shù)，只需△要?知??道下列哪個(gè)??角的度數(shù)（）∠???∠?????∠???

A．B．C．D．

5．如圖∠，???的角平分線(xiàn)∠為???，過(guò)點(diǎn)D作∠??，?垂足為F，E是線(xiàn)段∠??的?中點(diǎn)．若，，

△，則???的面積是?（?）??⊥?????△???=6??=2

??=7.5△???

A．3.5B．4C．4.5D．5

6．如圖，中，，平分交于點(diǎn)D，E為線(xiàn)段上一點(diǎn)，連接，且．若

，Rt△???，則∠?的=長(zhǎng)90為°??；∠?????????∠?=∠???

??=16??=7??

7．如圖，的外角和的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，點(diǎn)到的距離為．若，，則

四邊形△?的?面?積為∠???．∠???????4??=7??=9

????

8．如圖，在中，，，是的平分線(xiàn)，如果的面積為，那么的面

3

積為△?．????=2??=3??∠???△???2△???

9．如圖，在銳角三角形中，，，分別為的角平分線(xiàn)．，相交于點(diǎn)，

平分，已知?，??∠，???=60的°面?積???，求△??的?面積．???????

∠?????=3??=2△???=2.5△???=

10．如圖，在四邊形中，，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，，若，，則

四邊形的周長(zhǎng)為????．??∥??∠????????⊥????=12??=8

????

11．如圖，中，，，垂足為D．

△???∠???=90°??⊥??

(1)求作的平分線(xiàn)（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法；）

(2)若∠??的?平分線(xiàn)分別交，于，兩點(diǎn)，證明：．

12．如∠?圖?，?四邊形中，??平??分??，，∠???=于∠點(diǎn)???，，，則求線(xiàn)段

的長(zhǎng)為多少？?????