第15講等邊三角形內容導航——預習三步曲第一步：學析教材學知識：教材精講精析、全方位預習練題型強知識：7大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握第三步：測過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升【知識點1等邊三角形的性質】性質：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60° ．【注意】（1）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質．【知識點2等邊三角形的判定】1.定義法：：三邊都相等的三角形是等邊三角形．2.三個角都相等的三角形是等邊三角形．3.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【知識點3含30°角的直角三角形的性質】性質：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．證明：如圖，延長BC到D，使CD=BC，連接AD，則AC是BD的垂直平分線，所以AB=AD.又因為∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°，所以△ABD是等邊三角形，所以BD=AB.又BD=2BC，所以BC=12AB.由此可以得到【題型1利用等邊三角形的性質求角度】【例1】如圖，△ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，過點D的直線與AC相交于點E，與AB的延長線相交于點F，當AE=AD時，則∠F=．【變式1-1】如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AB，BD=AB，則∠ADC的度數為（

）A．15° B．20° C．22.5° D．30°【變式1-2】如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于點Q，求∠BPD的度數.【變式1-3】如圖，D，E分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，且AD=CE，求∠BOD的度數.【題型2利用等邊三角形的性質求線段長度】【例2】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=6，BD是∠ABC的平分線，延長BC到E，使CE=CD，則BE的長為（

）A．7 B．8 C．172 【變式2-1】如圖，△ABC和△DEF都是等邊三角形，點D,E,F分別在邊AB,BC,AC上，若△ABC的周長為15,AF=2，則BE的長為．【變式2-2】如圖，△ABC，△CDE都是等邊三角形，點A，D，E在同一條直線上，連接BE．若BE=1，AE=4，求CE的長．【變式2-3】如圖，等邊三角形ABC中，BD是中線，延長BC至E使得CE=12BC，過點D作DF⊥BE于F【題型3含30°角的直角三角形的性質簡單應用】【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB交BC于點D，AD=2，則BC的長是（）A．12 B．10 C．8 D．6【變式3-1】如圖，點O是邊長為3的等邊△ABC一邊BC上的一點，OE、OF分別與兩邊垂直，則BE+CF（

）A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2【變式3-2】如圖，在等邊三角形ABC中，BC=8，點D是AB的中點，過點D作DF⊥AC于點F，過點F作EF⊥BC于點E，則BE的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3-3】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線分別交AB和AC于點D、E，CE=3，AC的長為（

）A．6 B．8 C．9 D．12【題型4作垂線構造含30°角的直角三角形】【例4】如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=24，點D在BA的延長線上，CA=CD，BD=15，則AD的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【變式4-1】如圖，在等邊三角形ABC中，D是AC延長線上一點，E是AB上一點，連接BD，ED．若DE=DB，AD+AE=10，BE=2，則BC的長為．【變式4-2】如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC，點E，F在等腰三角形ABC的內部，連接AE，EF，CF，使∠BAE=∠AEF=60°，且CF平分∠ACB．若AE=5，EF=3【變式4-3】如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，以AC為邊在△ABC外作等邊△ACD，過點D作DE⊥BC．若AB=5.4，CE=3，則BE=．【題型5等邊三角形的判定】【例5】如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，DF⊥BC于點F，延長FD、CA交于點E．若∠E=30°，AD=AE．求證：△ABC為等邊三角形．【變式5-1】等邊△ABC中，點P在△ABC內，點Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結論．【變式5-2】已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，DE⊥AB,DF⊥AC，點E、F為垂足，且DE=DF，∠A=120°．(1)求證；△BDE≌(2)求證：△DEF是等邊三角形．【變式5-3】在△ABC中，∠B=90°，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接EA，EC，ED．(1)如圖（1），當∠BAC=50°時，則∠AED=_____°；(2)如圖（2），當∠BAC=60°時，連接AD，判斷△AED的形狀，并給予證明．【題型6等邊三角形的判定與性質】【例6】如圖，△ABC與△ABD都是等邊三角形，點E、F分別在BC，AC上，BE=CF，AE與BF交于點G．(1)求∠AGB的度數；(2)連接DG，求證：DG=AG+BG．【變式6-1】如圖1，在等邊△ABC中，E為邊AC上一點，D為BC上一點，且AE=CD，連接AD與BE相交于點F．(1)AD與BE的數量關系是，AD與BE構成的銳角夾角∠BFD的度數是；并說明理由．(2)深入探究，將圖1中的AD延長至點G，使FG=BF，連接BG，CG，如圖2所示．求證：GA平分∠BGC（第一問的結論，本問可直接使用）【變式6-2】如圖，△ABC和△ADE是等邊三角形，CE、BD交于點F，連接AF．(1)求證：CE=BD；(2)求證：∠AFC=60°；(3)判斷線段AF、BF、CF的數量關系，并說明理由．【變式6-3】如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC上，點E在BC的延長線上，且BD=DE．(1)如圖（1），若點D是AC的中點，求證：AD=CE；(2)如圖（2），若點D不AC的中點，AD=CE是否成立？證明你的結論；(3)如圖（3），若點D在線段AC的延長線上，試判斷AD與CE的大小關系，并說明理由．【題型7等邊三角形中多結論問題】【例7】如圖，△ABC中，BF，CF分別平分∠ABC和∠ACB，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結論錯誤的是（

）A．∠DFB=∠DBF B．∠ECF=∠EFCC．∠BFC=90°+12∠A D．△ADE【變式7-1】如圖，已知等邊三角形ABC，AB=2，點D在AB上，點F在AC延長線上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G．DF交BC于點P．則下列結論：①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1．其中一定正確的是（

）A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④【變式7-2】如圖，分別以△ABC的邊AB，AC所在直線為對稱軸作△ABC的對稱圖形△ABD和△ACE．∠BAC=150°，線段BD與CE相交于點O，連接BE、ED、DC、OA．有如下結論：①∠EAD=90°；②∠BOE=60°；③△ABE是等邊三角形；④BP=EQ，其中正確的結論個數是（A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-3】如圖，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABF和等邊△ACE，CF和BE交于O點，則下列結論：①CF=BE；②∠COE=60°；③OA平分∠FOE；④OE=OA+OC．其中正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個1．如圖，△ABC是等邊三角形，BC⊥CD，且AC=CD，則∠BAD的度數為（）A．50° B．45° C．40° D．35°2．滿足下列條件的三角形是等邊三角形的個數是（

）①有兩個角是60°的三角形

②有兩個外角相等的等腰三角形③腰上的高也是中線的等腰三角形

④三個外角都相等的三角形⑤有一個角為60°的等腰三角形．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE，若BE=2，AE=8，則CE的長是（

）A．4 B．5 C．6 D．74．如圖，在△ABC中，∠C=30°，AD⊥AB，垂足為點A，交BC于點D，過點D的直線m恰好垂直平分線段AC，AD=5，則BC的長是（

）A．12 B．15 C．18 D．205．如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點O在AC上，且AO=3，P是AB上一動點，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉60°得到線段OD，若使點D恰好落在BC上，則線段AP的長是（

）A．4 B．5 C．6 D．86．如圖，在△ABC中，∠BAC=120°,AC=8，D為BC的中點，AD⊥AB，則AB的長為．7．如圖，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點B,D,E在同一直線上，若∠EBC=35°，則∠ECA的度數為．8．如圖，D為等邊三角形ABC內一點，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，則∠BPD=度．9．如圖，∠AOB=60°，點C是BO延長線時的一點，OC=6cm，動點P從點C出發(fā)沿射線CB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿射線OA以1cm/s的速度移動，如果點P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間，當t=s

10．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ．以下五個結論：①AD=BE；②PQ//AE；③OP=OQ；④△CPQ為等邊三角形；⑤∠AOB=60°；其中正確的有（注：把你認為正確的答案序號都寫上）11．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于點M，BN⊥AC于點N，連接MN．(1)證明：AB=BC；(2)若∠CAB=30°，證明：△AMN是等邊三角形．12．如圖，過邊長為4的等邊三角形的邊AB上一點P，作PE⊥AC于點E，Q為BC延長線上一點，當PA=CQ時，連接PQ交AC邊于點D．(1)求證：D為PQ中點；(2)DE的長為？13．如圖，在△ABC中，AB=AC,∠ACB>60°，在AC邊上取點D，連接BD，使BD=BC．以AD為一邊作等邊△ADE，且使點E與點B位于直線AC的同側，∠EAB=2∠BAC．(1)求∠BDE的度數；(2)點F在AB上，連接DF,DF=BD，請判斷△BDF是否是等邊三角形，并說明理由．14．如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，連接BE，CD，點M，N分別是BE，CD的中點，連接AM，AN，MN．(1)求證：BE=CD；(2)求證：△AMN是等邊三角形；(3)如圖2，△ABD與△AEC都是等腰直角三角形，連接BE，CD，點M，N