銜接點04一元二次方程

初中階段高中階段

1、能用配方法，公式法，因式分解法解一元二次1、能熟練運用十字相乘法對一元二次方程因式分解

方程2、能數(shù)列使用根與系數(shù)的關(guān)系

2、會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有3、能靈活講一元二次方程轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的一元二次函

實根數(shù)

3、能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義，能針對具體

問題列出方程，理解方程解的意義。

銜接指引

初中階段考查形式：選擇填空題。

高中階段考查形式：選擇填空題。

1、初中知識再現(xiàn)

一元二次方程根的判別式

2

一元二次方程axbxc0(a0)（a、b、c均為常數(shù)）的判別式b24ac.

（1）0時，ax2bxc0（a0）有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）0時，ax2bxc0（a0）有兩個相等的實數(shù)根；

（3）0時，ax2bxc0（a0）沒有實數(shù)根.

注意：(1)在使用根的判別式之前，應(yīng)將一元二次方程化成一般式；

(2)在確定一元二次方程待定系數(shù)的取值范圍時，必須檢驗二次項系數(shù)a0

(3)證明b24ac恒為正數(shù)的常用方法：把△的表達式通過配方化成“完全平方

式+正數(shù)”的形式.

2、高中相關(guān)知識

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）

2

一元二次方程axbxc0(a0)有兩個根分別是x1,x2，則：

bb24acbb24ac

x，x，則

12a22a

bb24acbb24ac

xx

122a2a

bb24acbb24ac2bb

.

2a2aa

bb24acbb24acb2(b24ac)4acc

xx

122a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在如下關(guān)系

2

如果axbxc0(a0)的兩個根分別為x1,x2，則：

b

xx

12a

，這一關(guān)系式也被稱為韋達定理.

c

xx

12a

對點集訓(xùn)一：利用根的判別式判斷一元二次方程根的個數(shù)

典型例題

例題1．（24-25九年級下·浙江溫州·開學(xué)考試）關(guān)于x的一元二次方程3x2x60根的情況是（）

A．有一個實數(shù)根是x3B．有兩個相等的實數(shù)根

C．有兩個不相等的實數(shù)根D．無實數(shù)根

【答案】C

【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況、判斷是否是一元二次方程的解

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式．根據(jù)一元二次方程的解和根的判別式計算判斷即可．

【詳解】解：∵3x2x60，

2

∴Δ1436730，

故方程有兩個不相等的實數(shù)根，

當(dāng)x3時，33236180，

∴x3不是方程3x2x60的實數(shù)根，

故選：C．

例題2．（24-25九年級上·福建漳州·期中）方程3x24x10的根的情況是（）

A．沒有實數(shù)根B．只有一個實數(shù)根

C．有兩個相等的實數(shù)根D．有兩個不相等的實數(shù)根

【答案】D

【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】本題考查了一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式b24ac，解題的關(guān)鍵是熟知不同

情況下根的情況（當(dāng)0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)0，

方程沒有實數(shù)根）．求出判別式的符號，進行判斷即可．

【詳解】解：3x24x10，

2

∴4431161240，

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

故選D．

例題3．（24-25九年級上·湖北武漢·期末）下列關(guān)于一元二次方程x24x20的根說法正確的是（）

A．沒有實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根

C．有兩個不相等的實數(shù)根D．有兩個負的實數(shù)根

【答案】C

【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；0，方程有兩

個相等的實數(shù)根；0，方程沒有實數(shù)根是解題關(guān)鍵．根據(jù)方程得出80，即可得到答案．

【詳解】解：x24x20，

2

441280，

有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：C．

例題4．（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程m1x2m2x2m0，求證：無

論m為何值，方程總有實數(shù)根．

【答案】見解析

【知識點】解一元一次方程（一）——合并同類項與移項、一元二次方程的定義、根據(jù)判別式判斷一元二

次方程根的情況、判斷是否是一元一次方程

【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義和解法、一元二次方程的定義即判別式等知識，解題關(guān)鍵是

分類討論，避免遺漏．分m10和m10兩種情況，結(jié)合一元一次方程的解法和一元二次方程的根的判

別式，即可獲得答案．

【詳解】解：①當(dāng)m10時，即m1，

代入方程得x20，解x2，

22

②當(dāng)m10時，m24m12m3m2，

2

∵3m20，此時方程總有實數(shù)根．

綜上所述，無論m為何值，方程總有實數(shù)根．

精練

1．（24-25九年級上·山東濱州·期末）下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（）

A．x22x8B．x220

C．x212xD．x23x0

【答案】C

【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，有兩個相等實數(shù)根的一元二次方程就是判別式的值是0

的一元二次方程．由此逐項判斷即可．

2

【詳解】A、x22x8變形為x22x8=0，此時2418360，此方程有兩個不相等的實

數(shù)根，故選項A不合題意；

B、x220中041280，此時方程無實數(shù)根，故選項B不合題意；

2

C、x212x整理為x22x10，此時24110，此方程有兩個相等的實數(shù)根，故選項C符

合題意；

2

D、x23x0中，341090，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選項D不合題意；

故選C．

2．（24-25九年級下·浙江溫州·期末）已知二次函數(shù)yax2bxc(a，b，c是實數(shù)，且a0)的圖象開口

向下，過A1,0，Bt,0．若1t2，則當(dāng)a1時，下列關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc1根的個

數(shù)判斷正確的是（）

A．必有兩個相等的實數(shù)根B．沒有實數(shù)根

C．必有兩個不相等的實數(shù)根D．條件不夠，無法確定

【答案】C

【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的根的判別式等知識，解題時要能靈活運用二次函

數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．

依據(jù)題意，根據(jù)根的判別式0，進而可以判斷得解．

【詳解】解：由題意，拋物線過A1，0，Bt，0，

設(shè)拋物線的解析式為yax1xt，

令ax1xt1，

ax2a1txat10.

Δ[a1t]24aat1

a2(t1)24a，

1t2，a1，

0，

關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc1必有兩個不相等的實數(shù)根．

故選：C

3．（24-25九年級上·河南駐馬店·期末）關(guān)于x的一元二次方程5x2mx7的根的情況是（）

A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根

C．沒有實數(shù)根D．無法確定

【答案】A

【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】根據(jù)方程的根的判別式，計算Δb24acm2457m2140>0判斷解答即可．

本題考查了根的判別式應(yīng)用，熟練掌握判別式是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵x的一元二次方程5x2mx7，

即5x2mx70，

∴a5,bm,c7，

∴Δb24acm2457m2140>0，

故此方程有兩個不相等的實數(shù)根．

故選：A．

4．（24-25九年級上·湖南永州·期末）一元二次方程x2x10的根情況是（）

A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根

C．沒有實數(shù)根D．只有一個實數(shù)根

【答案】B

【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

【分析】本題考查一元二次方程的根的判別式的意義，熟練掌握一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)

鍵．根據(jù)一元二次方程的根的判別式進行判斷即可．

2

【詳解】解：∵a1,b1,c1，b24ac14111450，

∴一元二次方程x2x10有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：B．

對點集訓(xùn)二：根據(jù)根的個數(shù)求參數(shù)

典型例題

例題1．（24-25九年級上·貴州遵義·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程k1x22x20有兩個不相等的

實數(shù)根，則k的取值范圍是（）

11

A．k且k1B．k

22

11

C．k且k1D．k

22

【答案】A

【知識點】一元二次方程的定義、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的定義，掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．

根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式大于0，根據(jù)一元二次方程的定義得到二次項系

數(shù)不等于0，解兩個不等式即可得到k的取值范圍．

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程k1x22x20有兩個不相等的實數(shù)根，

k10

2，

Δ24k120

1

解得：k且k1，

2

1

k的取值范圍是k且k1，

2

故選：A．

例題2．（24-25八年級上·貴州遵義·期中）關(guān)于x的一元二次方程x24xa0的判別式的值為4，則a

的值為（）

A．4B．4C．3D．3

【答案】C

【知識點】解一元一次方程（一）——合并同類項與移項、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元一次方程等知識點，熟練掌握一元二次方程根

的判別式是解題的關(guān)鍵．

2

由題意可得Δ441a164a4，解方程即可求出a的值．

【詳解】解：由題意可得：

2

Δ441a164a4，

解得：a3，

故選：C．

例題3．（24-25八年級上·上海奉賢·期末）若關(guān)于x的一元二次方程k2x24x10有實數(shù)根，則k的

取值范圍．

【答案】k2且k2

【知識點】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)、求不等式組的解集

【分析】本題主要考查了一元二次方程ax2bxc0（a,b,c為常數(shù)且a0）根的判別式b24ac，當(dāng)

0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)0時，方程無實數(shù)根．

2

44k210

根據(jù)題意得出，計算即可得到答案．

k20

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程k2x24x10有實數(shù)根，

2

44k210

，

k20

解得：k2且k2，

k的取值范圍為k2且k2.

22

例題4．（24-25九年級上·湖南衡陽·期末）已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2(k1)xk30的兩

實根．

(1)求k的取值范圍；

(2)若x1是方程的根，求k的值．

【答案】(1)k2

(2)k0或k2

【知識點】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)、由一元二次方程的解求參數(shù)

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式和己知方程的根求參數(shù)，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵，

（1）根據(jù)方程有兩實根可得b24ac0，代入數(shù)值解不等式即可得到答案；

（2）由x1是方程的根，代入即可求k的值．

【詳解】（1）解：∵x22(k1)xk230有兩實根，

∴b24ac0，

22

∴2k141k30，

解得：k2，

（2）解：∵x1是方程x22(k1)xk230的根，

2

∴12k11k230，

解得：k0或k2．

精練

1．（2025·陜西·模擬預(yù)測）若一元二次方程x25xm0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是．

25

【答案】m

4

【知識點】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解題關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，列

出不等式，再解不等式即可．

【詳解】解：∵一元二次方程x25xm0有兩個不相等的實數(shù)根，

∴(5)24m0，

25

解得，m，

4

25

故答案為：m．

4

2．（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）已知方程kx22x10有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值（）

A．k1B．k1C．k1且k0D．k1且k0

【答案】D

【知識點】一元二次方程的定義、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】根據(jù)一元二次方程定義及根的判別式求出k的取值范圍，此題考查一元二次方程的根的個數(shù)及根

的判別式．

【詳解】解：根據(jù)題意得k0且Δ＝224k10，

所以k1且k0．

故選：D．

3．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元二次方程x22xm0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取

值范圍是．

【答案】m1

【知識點】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)0解答即可求解，掌握一元二次方程根的判別式與

一元二次方程根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，

∴2241m44m0，

∴m1，

故答案為：m1．

9

4．（2025·河南鄭州·一模）若關(guān)于x的一元二次方程kx23x0有兩個不相等的實數(shù)根，則整數(shù)k的

4

最小值是．

【答案】1

【知識點】一元二次方程的定義、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)

【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，根據(jù)題意可得b24ac0，解方程即可，注意k不等

于0的情況是解題的關(guān)鍵．

29

【詳解】解：由題意可得b4ac94k0，

4

解得k1，

根據(jù)一元二次方程的定義k0，

k1且k0，

則整數(shù)k的最小值為1，

故答案為：1．

對點集訓(xùn)三：解一元二次方程

角度1：直接開平方法

典型例題

2

例題1．（24-25九年級上·云南玉溪·期中）一元二次方程x325的根是（）

A．x18，x22B．x15，x25

C．x18，x22D．x18，x22

【答案】A

【知識點】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用直接開平方解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵．

直接運用直接開平方解一元二次方程即可．

2

【詳解】解：x325，

所以x35，

所以x18、x22．

故選：A．

2

例題2．（24-25九年級上·江蘇南京·期末）方程x11的解是．

【答案】x12，x20

【知識點】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握常見的解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．

直接運用直接開平方法求解即可．

2

【詳解】解∶x11，

x11，

x11，

所以該方程組的解為：x12，x20．

故答案為：x12，x20．

2

例題3．（24-25九年級上·湖北襄陽·期末）解一元二次方程：x250．

【答案】x125，x225

【知識點】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用直接開平方法解一元二次方程即可，選擇合適的方法進行計算

是解此題的關(guān)鍵．

2

【詳解】解：∵x250，

2

∴x25，

∴x25，

∴x125，x225．

例題4．（24-25九年級上·福建泉州·期中）解方程：4(x1)2360；

【答案】x14，x22

【知識點】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題考查了一元二次方程的解法．利用直接開方法解一元二次方程．

【詳解】解：4(x1)2360

(x1)29

x13

解得：x14，x22．

精練

2

1．（24-25九年級上·山東德州·期末）將一個關(guān)于x的一元二次方程配方為xmp，若23是該方

程的兩個根，則p的值是．

【答案】3

【知識點】解一元二次方程——直接開平方法、解一元二次方程——配方法

【分析】本題考查了解一元二次方程，掌握直接開平方法是解題的關(guān)鍵．

運用直接開平方法求解即可．

2

【詳解】解：將一個關(guān)于x的一元二次方程配方為xmp，

xmp

∴xmp，

∴p3，

故答案為：3．

2．（24-25七年級下·全國·課后作業(yè)）求下列各式中x的值：

(1)25x2160；

(2)(x1)2490；

(3)(2x1)281．

44

【答案】(1)x,x

1525

(2)x16,x28

(3)x15,x24

【知識點】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題主要考查直接開方法解一元二次方程，掌握直接開方的計算方法是解題的關(guān)鍵．

（1）先移項，再直接開方，即可求解；

（2）先移項，再直接開方，即可求解；

（3）先移項，再直接開方，即可求解．

【詳解】（1）解：25x2160，

移項得，25x216，

16

∴x2，

25

44

直接開方得，x,x．

1525

（2）解：(x1)2490，

移項得，(x1)249，

直接開方得，x17或x17，

∴x16,x28．

（3）解：(2x1)281，

直接開方得，2x19或2x19，

∴x15,x24．

2

3．（24-25九年級上·陜西延安·期末）解方程：2x118．

【答案】x12，x21

【知識點】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題考查了一元二次方程的求解知識點，解題的關(guān)鍵是利用直接開平方法將方程轉(zhuǎn)化為兩個一元

一次方程．

先對原方程進行移項，得到完全平方式等于一個常數(shù)的形式，再利用直接開平方法求解．

2

【詳解】解：2x118，

2

移項，得2x19，

2x13，

x12，x21．

2

4．（24-25九年級上·寧夏中衛(wèi)·期末）解方程2x1810．

，=-

【答案】x15x24

【知識點】解一元二次方程——直接開平方法

【分析】本題主要考查解一元二次方程，方程移項后，運用運用直接開平方法求解即可

2

【詳解】解：2x1810

2

方程變形得：2x181，

開方得：2x19，

，=-

解得x15x24．

角度2：配方法

典型例題

2

例題1．（24-25九年級上·四川宜賓·期末）若將一元二次方程x26x20化成xmn0的形式，則

2mn的值為（）

A．15B．17C．5D．17

【答案】C

【知識點】解一元二次方程——配方法

【分析】本題主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．先利用配方法將方程

2

化成x3110的形式，從而可得m,n的值，再代入計算即可得．

【詳解】解：x26x20，

x26x9920，

2

x3110，

2

∵將一元二次方程x26x20化成xmn0的形式，

∴m3,n11，

∴2mn23116115，

故選：C．

例題2．（24-25八年級上·上海奉賢·期末）用配方法解方程x24x20，下列配方正確的是（）

2222

A．x26B．x26C．x22D．x22

【答案】C

【知識點】解一元二次方程——配方法

【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握用配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

先把常數(shù)項移到等號右邊，等號兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，最后配方即可.

【詳解】解：x24x20，

x24x2，

x24x424，

2

x22，

故選：C.

例題3．（24-25八年級上·上海奉賢·期末）解方程：41xxx40．

【答案】x1425，x2425

【知識點】解一元二次方程——配方法

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，

公式法，因式分解法等．

首先將方程整理成一般式，然后利用配方法解一元二次方程即可．

【詳解】解：41xxx40

44xx24x0

x28x40

x28x4

x28x16416

2

x420

x425

解得x1425，x2425．

例題4．（24-25九年級上·江蘇南京·期末）解方程x24x30．

【答案】x127，x227

【知識點】解一元二次方程——配方法

【分析】本題考查了解一元二次方程．配方法解一元二次方程，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．

【詳解】解：移項，得x24x3，

2

配方，得x24x434，即x27，.

開平方，得x27，

移項，得x127，x227．

精練

1．（24-25九年級上·湖南永州·期末）用配方法解一元二次方程x24x10配方后得到的方程是（）

22

A．x45B．x29

22

C．x25D．x49

【答案】C

【知識點】解一元二次方程——配方法

2

【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，把原式變形為x24x22122，即可得到x25．

【詳解】解：x24x10

∴x24x1

則x24x22122

2

得到x25，

故選：C．

2．（24-25九年級上·湖南衡陽·階段練習(xí)）用配方法解方程x24x10，經(jīng)過配方，得到（）

2222

A．x25B．x25C．x23D．x23

【答案】D

【知識點】解一元二次方程——配方法

【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確使用．選擇用配方法解一元二

次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．據(jù)此求解即可．

【詳解】解：原方程移項得：x24x1,

x24x414,

(x2)23.

故選：D.

3．（24-25九年級上·四川成都·期末）用配方法解方程x212x5，下列配方正確的是（）

2222

A．x611B．x641C．x641D．x611

【答案】B

【知識點】解一元二次方程——配方法

【分析】此題考查了配方法解一元二次方程．把方程變形為x212x62562，即可得到答案．

【詳解】解：x212x5

∴x212x62562，

2

∴x641

故選：B

4．（24-25九年級上·河北保定·期末）用配方法解方程x218x，變形后的結(jié)果正確的是（）

2222

A．x415B．x417C．x415D．x417

【答案】C

【知識點】解一元二次方程——配方法

【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊同時加上一次

項系數(shù)一半的平方進行配方即可得到答案．

【詳解】解：x218x，

移項得：x28x1，

配方，得：x28x42142，

2

即x415，

故選：C．

角度3：因式分解法

典型例題

例題1．（24-25九年級上·廣東惠州·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋簒23x40

【答案】x14,x21

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．

【詳解】解：x23x40，

x4x10，

x40或x10，

解得x14,x21；

例題2．（24-25九年級上·全國·期末）解方程：

(1)xx42x8

(2)x24x50

【答案】(1)x12，x24

(2)x11，x25

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，解題方法多樣，關(guān)鍵在于熟練掌握解一元二次方程的步驟，

第（1）題要特別注意先進行移項使方程右邊為零．

（1）先移項，使方程右邊為零，然后將方程左邊進行因式分解，使分解后的兩個一次因式分別為零，即可

解答；

（2）根據(jù)因式分解法即可求解．

【詳解】（1）解：xx42x8，

x24x2x8，

x26x80，

x2x40，

令x20或x40，

解得：x12，x24；

（2）解：x24x50，

x1x50，

令x10或x50，

解得：x11，x25．

例題3．（2025·湖北恩施·一模）解下列方程：

(1)x22x40；

(2)3x(x1)2(x1)．

1515

【答案】(1)x，x

1222

2

(2)x1，x．

123

【知識點】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．

（1）運用配方法進行解方程，即可作答．

（2）先移項，再運用因式分解法進行解方程，即可作答．

【詳解】（1）解：x22x40

移項得x22x4，

配方得x22x141

2

∴x15

∴x15，

1515

∴x，x；

1222

（2）解：3x(x1)2(x1)，

3x(x1)2(x1)0，

(x1)(3x2)0，

2

∴x1，x．

123

2

例題4．（23-24九年級上·廣西河池·期末）解方程：x23x2．

【答案】x12,x21

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式

法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關(guān)鍵．

移項后用因式分解法求解即可．

2

【詳解】解：原方程可變形為x23x20，

x2x10，

∴x20或x10，

x12,x21．

精練

1．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）解方程：x22x30

【答案】x13，x21

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．

利用因式分解法解一元二次方程即可．

【詳解】解：x22x30，

分解因式，得：x3x10，

x30或x10，

解得：x13，x21．

2．（24-25九年級上·江蘇常州·期末）解下列方程：

(1)x24x210；

(2)xx42x40；

(3)2x1x36．

【答案】(1)x17,x23

(2)x14,x22

3

(3)x,x1

122

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這

種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

（1）先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x70或x30，然后解兩個一次方程即可；

（2）先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x40或x20，然后解兩個一次方程即可；

（3）先把方程化為一般式，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為2x30或x10，然后解兩個一次方程即

可．

【詳解】（1）解：x24x210，

∴(x7)(x3)0，

∴x70或x30，

∴x17,x23；

（2）解：xx42x40，

∴(x4)(x2)0，

∴x40或x20，

∴x14,x22；

（3）解：方程2x1x36化為一般式為2x25x30，

∴(2x3)(x1)0，

∴2x30或x10，

3

∴x,x1．

122

3．（24-25九年級上·江西贛州·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>

(1)x2x10

(2)xx2x20

5151

【答案】(1)x，x

1222

，

(2)x12x21

【知識點】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了一元二次方程的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解法；

2

15

（1）根據(jù)配方法，得x，從而完成求解；

24

（2）先去括號，再根據(jù)因式分解法求解一元二次方程即可得到答案．

【詳解】（1）x2x10

15

∴x2x0

44

2

15

∴x

24

15

∴x

22

5151

x，x

1222

（2）xx2x20

∴x22xx20

∴x2x20

∴x2x10

，

x12x21．

4．（24-25九年級上·福建漳州·期中）解下列方程：

(1)x22x30

2

(2)1x23x1

【答案】(1)x13，x21

(2)x10，x21

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，

公式法，因式分解法等．

（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）移項，然后把x1看成整體利用因式分解法解一元二次方程即可．

【詳解】（1）解：x22x30，

x3x10，

x30或x10，

解得x13，x21；

2

（2）解：1x23x1，

2

x13x120，

x11x120，

xx10，

x0或x10；

解得x10，x21．

角度4：利用求根公式求解

典型例題

例題1．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）解方程：x25x30．

513513

【答案】x，x

1222

【知識點】公式法解一元二次方程

【分析】本題考查了一元二次方程的解法，解題關(guān)鍵是熟練運用公式法解一元二次方程．

【詳解】解：x25x30，

∵a1,b5,c3，

∴b24ac2512130，方程有兩個不相等的實數(shù)根，

bb24ac513

x，

2a2

513513

x，x．

1222

例題2．（24-25九年級下·甘肅張掖·開學(xué)考試）解方程：

(1)x27x120

(2)x2x31

【答案】(1)x14，x23；

5555

(2)x，x．

1222

【知識點】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程公式法，因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的

方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

（1）利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x40或x30，然后解兩個一次方程即可；

（2）整理后，利用公式法解方程即可．

【詳解】（1）解：因式分解可得，x3x40，

即x40或x30，

解得：x14，x23；

（2）解：整理得x25x50，

a1，b5，c5，

5241550，

55

∴x，

2

5555

∴x，x．

1222

例題3．（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）解方程：

2

(1)9y4490

(2)x2x34x6

(3)9x26x10

(4)3x2x50

519

【答案】(1)y,y

1323

3

(2)x,x2

122

1212

(3)x,x

1323

161161

(4)x,x

1626

【知識點】解一元二次方程——直接開平方法、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程、因

式分解法解一元二次方程

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的常用方法，如：直接開

方法、配方法、公式法、因式分解法等．

249

（1）將原方程整理為y4，利用直接開方法求解即可；

9

（2）將原方程整理為2x3x20，然后利用因式分解法求解即可；

2

（3）將原方程配方為3x12，利用配方法求解即可；

（4）利用公式法求解該方程即可．

2

【詳解】（1）解：9y449，

249

y4，

9

7

y4，

3

519

∴y，y；

1323

（2）解：x2x34x6，

x2x322x30

2x3x20，

∴2x30或x20，

3

∴x，x2；

122

（3）解：9x26x10，

9x26x12，

2

3x12，

3x12，

1212

∴x，x；

1323

（4）解：3x2x50，

∵a3,b1,c5，

∴Δb24ac12435610，

bb24ac161

∴x，

2a6

161161

∴x，x．

1626

例題4．（24-25九年級下·內(nèi)蒙古通遼·開學(xué)考試）解下列方程：

(1)3xx24x8

(2)3x24x10

4

【答案】(1)x2，x

123

2727

(2)x，x

1323

【知識點】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，

公式法，因式分解法等．

（1）移項，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）利用公式法解一元二次方程即可．

【詳解】（1）解:3xx24x8

3xx24x2

3xx24x20

x23x40

x20或3x40

4

解得x12，x；

23

（2）3x24x10

a3，b4，c1

Δ4243128

42842727

∴x

23233

2727

解得x，x．

1323

精練

1．（24-25九年級上·山西晉中·期末）解方程：

(1)x28x120；

(2)xx23x6．

【答案】(1)x16，x22

(2)x12，x23

【知識點】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程

【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，并適當(dāng)選用是解題的關(guān)鍵．

（1）利用配方法或公式法解一元二次方程即可；

（2）先化簡為一般式，再利用公式法解一元二次方程即可．

【詳解】（1）解：x28x120，

移項，得：x28x12，

配方，得：x28x161216，

2

即x44，

直接開平方，得：x42，

∴x426或x422，

∴方程的解為：x16，x22；

（2）解：xx23x6，

化簡得：x2x60，

2

∵a1，b1，c6，Δ141625，

12515

∴x，

212

1515

∴x2或x3，

22

∴方程的解為：x12，x23．

2．（24-25九年級上·河南南陽·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?/p>

(1)x22x；

(2)x214x．

【答案】(1)x10，x22；

(2)x125，x225．

【知識點】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，

公式法，因式分解法等．

（1）移項，然后利用直接開方法解一元二次方程即可；

（2）移項，然后利用公式法解一元二次方程即可．

【詳解】（1）解：x22x，

x22x0，

x(x2)0，

x0或x20，

所以x10，x22；

（2）解：x214x，

x24x10，

a1，b4，c1，

(4)241(1)20，

425

x25，

21

x125，x225．

3．（24-25九年級上·陜西榆林·期末）解方程：2x3x16．

173173

【答案】x，x

1424

【知識點】公式法解一元二次方程

【分析】本題考查了解一元二次方程，根據(jù)方程的特點靈活選取解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵；先

把方程整理為一般形式：2x2x90，利用公式法求解即可．

【詳解】解：原方程整理為：2x2x90，

∵1242(9)730，

173173

∴x，

224

173173

即x，x．

1424

4．（24-25九年級上·黑龍江齊齊哈爾·期末）解方程

(1)x24x30；

(2)3x25x80．

【答案】(1)x11，x23

8

(2)x，x1

132

【知識點】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程

【分析】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，

因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．

（1）利用因式分解法解一元二次方程即可．

（2）利用公式法解一元二次方程即可．

【詳解】（1）解：x1x30．

x11，x23；

（2）解：a3，b5，c8，

2

54381210，

5121511

x，

236

8

x，x1

132

角度5：換元法求解

典型例題

2

例題1．（24-25九年級上·全國·期中）若a2b22a2b230則代數(shù)式a2b2的值為（）

A．1或3B．1或3C．1D．3

【答案】D

【知識點】因式分解法解一元二次方程、換元法解一元二次方程

【分析】本題考查了用換元法解一元二次方程，設(shè)a2b2x0，把原方程轉(zhuǎn)化為x22x30，然后利

用因式分解法求解即可．

【詳解】設(shè)a2b2x0，

原方程變形為：x22x30，

x3x10

x30或x10

解得x3或1，

∵a2b20，

∴a2b23．

故選：D．

例題2．（24-25九年級下·廣東江門·階段練習(xí)）已知x2y21x2y227，則x2y2的值為．

【答案】329

2

【知識點】公式法解一元二次方程、換元法解一元二次方程

【分析】此題考查了換元法解一元二次方程，設(shè)tx2y2，原方程變形為t23t50，然后利用公式法

329329

解得t，t，進而求解即可．

1222

【詳解】解：設(shè)tx2y2，

∵x2y21x2y227，

∴t1t27，

∴t22tt270，

∴t23t50，

∴b24ac941529，

329

∴t，

2

329329

∴t，t，

1222

∵