第01講集合的概念

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1集合的概念

1)元素：把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，用小寫拉丁字母a、b、c表示.

2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合，或簡稱集，用大寫字母A、B、C表示.

3)集合中元素的特征：

一個(gè)集合中的元素必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素要么是該集合中的

確定性

元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合

集合中的元素必須是互異的．對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的．這

互異性

個(gè)特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素

集合與其中元素的排列順序無關(guān)，如，，組成的集合與，，組成的集合是相同

無序性abcbca

的集合．這個(gè)特性通常被用來判斷兩個(gè)集合的關(guān)系

4)只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.

注意：集合的判斷從元素的三要素入手，考察確定性的問題一般出現(xiàn)在自然語言表示的集合，要注意題目

中不明確的詞語，例如：“很大”、“著名”等?？疾旎ギ愋缘膯栴}一般是針對(duì)數(shù)字類的題目，注意同一個(gè)數(shù)字

不同的表示方法。

知識(shí)點(diǎn)2元素與集合的關(guān)系

如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記做aA；

如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記做aA.

熟記數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法

符號(hào)名稱含義

N非負(fù)數(shù)集或自然數(shù)集全體非負(fù)整數(shù)組成的集合

或正整數(shù)集所有正整數(shù)組成的集合

N*N

Z整數(shù)集全體整數(shù)組成的集合

Q有理數(shù)集全體有理數(shù)組成的集合

R實(shí)數(shù)集全體實(shí)數(shù)組成的集合

注意：當(dāng)元素屬于集合時(shí)，應(yīng)該進(jìn)行分類討論求出參數(shù)，參數(shù)代入驗(yàn)證集合中的元素是否滿足元素的三個(gè)

特征。

知識(shí)點(diǎn)3集合的分類與表示

集合的分類：

（1）按元素的數(shù)量分為有限集、無限集；

（2）按元素的屬性分為數(shù)集、點(diǎn)集以及其他集合.

表示方法：

（1）自然語言描述法.

（2）列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號(hào)“｛｝”括起來表示集合的方法叫做列舉法。

（3）描述法：設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為｛x

∈A｜P(x)｝，這種表示集合的方法稱為描述法．

解題方法

0是自然數(shù)，則0N；3不是自然

教材習(xí)題01

用符號(hào)“”或“”填空：數(shù)，則3N；0.5,2不是整數(shù)，

0N；3N；0.5Z；2Z；則0.5Z,2Z；

111

Q；R.是有理數(shù)，則Q；是無理數(shù)，

333

則R

【答案】

教材習(xí)題02解題方法

判斷下列各組對(duì)象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指（1）因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣的名稱是確定

出是有限集還是無限集；若不能構(gòu)成集合，試說明理的，故北京各區(qū)縣的名稱能構(gòu)成集

由．合；因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣是有限的，故該

(1)北京各區(qū)縣的名稱；集合為有限集；

(2)尾數(shù)是5的自然數(shù)；（2）因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是確定

(3)我們班身高大于1.7m的同學(xué)．的，故尾數(shù)是5的自然數(shù)能構(gòu)成集

合；因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是無限

的，故該集合為無限集；

（3）因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥?.7m的同

學(xué)是確定的，故我們班身高大于

1.7m的同學(xué)能構(gòu)成集合；因?yàn)槲覀?/p>

班身高大于1.7m的同學(xué)是有限的，

故該集合為有限集.

【答案】(1)能；有限集；(2)能；無限集；(3)能；有限集.

解題方法

（1）2x47x230，

x232x210，

1

解得x23或x2，故x3、

2

22

3、、，

22

教材習(xí)題03

求下列方程的解集：方程2x47x230的解集為

42禳

（1）2x7x30；镲22

睚,-,3,-3.

镲

21鉿22

（）

2210

xx21

（2）10，

x2x

2+x-x2=0(x10)，

x2x10，

解得x2或1，

21

方程10的解集為1,2.

x2x

镲禳22

睚,-,3,-3

镲221,2

【答案】（1）鉿；（2）.

考點(diǎn)一判斷元素能否構(gòu)成集合

1．若3a3,2a1,a21，則a的值為（）

A．－1B．0C．1D．2

2．下列說法正確的是（）

A．我校很喜歡足球的同學(xué)能組成一個(gè)集合

B．聯(lián)合國安理會(huì)常任理事國能組成一個(gè)集合

2364

C．?dāng)?shù)1,0,5,，，，組成的集合中有7個(gè)元素

3795

D．由不大于4的自然數(shù)組成的集合的所有元素為1,2,3,4

3．下列給出的對(duì)象中能構(gòu)成集合的是（）

A．著名物理家B．很大的數(shù)C．聰明的人D．小于3的實(shí)數(shù)

考點(diǎn)二判斷是否為同一集合

1．有下列說法：其中正確的說法是（）

（1）0與0表示同一個(gè)集合

（2）由1，2，3組成的集合可表示為1,2,3或3,2,1；

2

（3）方程x1x20的所有解的集合可表示為1,1,2；

（4）集合x4x5是有限集.

A．（1）、（4）B．（1）、（3）、（4）C．（2）D．（3）

2．下列四組中表示同一集合的為（）

A．M1,3，N3,1B．M1,3，N3,1

C．Mx,y|yx23x，Nx|yx23xD．M0，N0

3．集合xx3與集合tt3表示同一個(gè)集合嗎？

考點(diǎn)三判斷元素與集合之間的關(guān)系

（多選題）1．下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．集合{x?N|x3=x}用列舉法表示為0,1

B．實(shí)數(shù)集可以表示為{xx為所有實(shí)數(shù)}或R

C．能被4整除余3的所有自然數(shù)組成的集合用描述法可表示為x|x4n3,nN

D．集合y|yx2與x,y|yx2是同一個(gè)集合

2．若a2{1,3,a2}，a的值為.

x

（多選題）3．已知非空數(shù)集M具有如下性質(zhì)：①若x,yM，則M；②若x,yM，則xyM.下列

y

說法中正確的有（）.

A．1M.B．2025M.

C．若x,yM，則xyM.D．若x,yM，則xyM.

考點(diǎn)四集合中元素互異性的應(yīng)用

1．下列所給對(duì)象不能組成集合的是．

（1）高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題；

（2）某班16歲以下的學(xué)生；

（3）某中學(xué)的大個(gè)子；

（4）某學(xué)校身高超過1.80米的學(xué)生．

（多選題）2．若集合Aa22a,3a2,8，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）

A．2B．3C．4D．5

3．設(shè)集合Ax2x1m.若2A，則m的取值范圍是（）

A．m3B．m3C．m3D．m3

考點(diǎn)五集合的表示方法

1．用符號(hào)或填空：3.1N，3.1Z，3.1N，3.1Q，3.1R.

2．用列舉法表示集合xZxx0,x5為．

3．把下列集合用另一種方法表示出來：

(1)2,4,6,8,10；

(2)由1，2，3這三個(gè)數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所組成的一切自然數(shù)；

(3)xN3x7；

考點(diǎn)六集合的分類

（判斷題）1．判斷下列命題是否正確．

（1）集合2,4,6與集合4,2,6表示同一集合；()

（2）集合2,3與集合3,2表示同一集合；()

（3）集合xx3與集合tt3不表示同一集合；()

（4）集合yy2x,xR與集合x,yy2x,xR表示同一集合．()

2．下列命題中正確的有（）．

①很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；

②R表示一切實(shí)數(shù)組成的集合；

③給定的一條長度為0.3的線段上的所有點(diǎn)組成的集合是有限集；

④2023年聯(lián)合國所有常任理事國組成一個(gè)集合．

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

3．（多選）下列集合是有限集的是（）

A．不超過π的正整數(shù)構(gòu)成的集合

B．平方后等于自身的數(shù)構(gòu)成的集合

C．高一（2）班中體重在55kg以上的同學(xué)構(gòu)成的集合

D．所有小于2的整數(shù)構(gòu)成的集合

知識(shí)導(dǎo)圖記憶

知識(shí)目標(biāo)復(fù)核

1．集合的概念。

2．集合中元素的三大特征。

3．元素與集合的關(guān)系。

4．集合相等。

5．集合的表示方法與分類。

1．已知集合A{1,2}，B{2,4}，則C{xy∣xA,yB}的元素個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

2．以下對(duì)象的全體不能構(gòu)成集合的個(gè)數(shù)是（）

（1）高一（1）班的高個(gè)子同學(xué)；（2）所有的數(shù)學(xué)難題；

（3）北京市中考分?jǐn)?shù)580以上的同學(xué)；（4）中國古代四大發(fā)明；

（5）我國的大河流；（6）大于3的偶數(shù)．

A．2B．3C．4D．6

3．現(xiàn)有1、3、7、9四個(gè)數(shù)，從這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相加，可以得到多少個(gè)不同的數(shù)（）

A．5B．6C．7D．12

2

4．已知集合AxZ∣x2x0，則A的元素個(gè)數(shù)為（）

A．4B．3C．2D．0

5．集合Pxx2k,kZ,Qxx2k1,kZ,Rxx4k1,kZ，且a撾P,bQ，則有（）

A．a(chǎn)+b?PB．a(chǎn)+b?QC．a(chǎn)bRD．a(chǎn)b不屬于P,Q,R中的任意一個(gè)

6．已知x2{1,0,x}，則實(shí)數(shù)x的值為（）

A．0B．1C．1D．1

7．下列說法正確的是（）

1

A．RB．2ZC．QD．0N*

3

8．設(shè)集合Ax∣x25xm0，若1A，則A（）

A．1B．1,4

C．1,2D．1,4

9．集合xN*∣x32的另一種表示法是（）

A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2,3,4}D．{1,2,3,4,5}

10．已知集合Ax2mx30，若1A且3A，則實(shí)數(shù)m的取值范