13.1三角形中的邊角關系一、主要知識點知識點1三角形的認識三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．備注：（1）三角形的基本元素：三邊（線段AB、線段BC、線段AC）、三內角（、、）、三個頂點（點A、點B、點C）。（2）三角形定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.(3)三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義．【例1】如圖中都是由三條線段組成的圖形，其中是三角形的是（）A．B．C．D．【例2】如圖，三角形的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【例3】如圖，在△ABD中，∠A的對邊是（）A．BF B．BE C．BD D．BC知識點2三角形的分類(1)按角分類：(2)按邊分類：【例4】下列說法正確的是（）①等腰三角形是等邊三角形；②三角形按邊可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；③等腰三角形至少有兩邊相等；④三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④【例5】已知在△ABC中，∠A＝50°，則△ABC是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．等腰三角形D．以上都有可能【例6】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．動點P從點C出發(fā)，沿邊CB，BA向點A運動．在點P運動過程中，△PAC可能成為的特殊三角形依次是（）A．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等邊三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形知識點3三角形的三邊關系定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.備注：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關系.【例7】下列長度的三條線段首尾順次連接能組成三角形的是（）A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11【例8】定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫作“倍長三角形”．若△ABC是“倍長三角形”，有兩條邊的長分別為2和3，則第三條邊的長為．【例9】若a、b、c是三角形的三邊長，則化簡|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的結果為（）A．a(chǎn)+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c知識點4三角形內角和定理的應用三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．備注：應用三角形內角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個角的度數(shù)可以求出第三個角的度數(shù)；②已知三角形三個內角的關系，可以求出其內角的度數(shù)；③求一個三角形中各角之間的關系．【例10】一張三角形紙片如圖所示，已知∠B+∠C＝α，若沿著虛線剪掉陰影部分紙片，記∠1+∠2＝β，則下列選項正確的是（）A．α＝βB．α＞βC．α＜βD．無法比較α和β的大小【例11】如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠CAE和∠ACF的平分線交于點D，則∠ADC的度數(shù)為（）A．40° B．60° C．65° D．70°【例12】已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC中最大的角為度．知識點5與三角形有關的線段（1）從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．三角形的高的數(shù)學語言：如下圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.備注：三角形的高是線段；三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心；（2）三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．三角形的中線的數(shù)學語言：如下圖，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.備注：三角形的中線是線段；三角形三條中線交于三角形內部一點，這一點叫三角形的重心；中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.（3）三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學語言：如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.備注：三角形的角平分線是線段；三角形三條角平分線交于三角形內部一點，這一點叫做三角形的內心.【例13】在△ABC中，作BC邊上的高，以下選項中正確的是（）A．B．C．D．【例14】如圖，在△ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE中點，且△ABC的面積等于4cm2，則陰影部分圖形面積等于（）A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2【例15】如圖，在△ABC中，已知∠BAC＝50°，∠C＝60°，AD是△ABC的高，BE是∠ABC的平分線，則∠BEC的度數(shù)是（）A．75° B．80° C．85° D．90°二、鞏固練習1.下列說法正確的個數(shù)有（）①三角形的角平分線、中線和高都在三角形內；②直角三角形只有一條高；③三角形的高至少有一條在三角形內；④三角形的高是直線，角平分線是射線，中線是線段．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2.將一副三角尺按如圖所示的方式擺放（兩條直角邊在同一條直線上），連接另外兩個銳角頂點，并測得∠1＝40°．則∠2的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．65° D．75°3.如圖，將四根長度分別為3cm，5cm，7cm，8cm的木條釘成一個四邊形木架，扭動它，它的形狀會發(fā)生改變，在變化過程中，點B和點D之間的距離可能是（）A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm4.若一個三角形的三邊長分別為2，x，7，化簡|x﹣5|﹣2|x﹣12|的結果是（）A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣295.下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）A．B．C． D．6.如圖，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中線，則△ABD與△ADC的周長之差為（）A．0 B．1 C．2 D．37.如圖，已知點D是BC的中點，AE，AF分別是△ABC的角平分線、高線，則下列結論錯誤的是（）A．S△ABC＝2S△ABEB．BD＝CDC．∠AFC＝90°D．∠BAE＝∠CAE8.如圖所示，在△ABC中，D、E、F分別為BC、AD、CE的中點，且S△ABC＝48cm2，則△DEF的面積等于（）A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm29.如圖，共有個三角形．10.已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC中最大的角為度．11.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中線，若△ABD周長與△ADC的周長相差2cm，則BA＝cm．12.若三邊均不相等的三角形三邊a，b，c滿足a﹣b＞b﹣c（a為最長邊，c為最短邊），則稱它為“不均衡三角形”，例如，一個三角形三邊分別為7，5，4，因為7﹣5＞5﹣4，所以這個三角形為“不均衡三角形”．（1）以下兩組長度的小木棚能組成“不均衡三角形”的為（填序號）．①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm．（2）已知“不均衡三角形”三邊分別為2x+2，16，2x﹣6，直接寫出x的整數(shù)值為．13.過A、B、C、D、E五個點中任意三點畫三角形；（1）其中以AB為一邊可以畫出個三角形；（2）其中以C為頂點可以畫出個三角形．14.在△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，請通過計算判斷△ABC的形狀．15.如果一個三角形的一邊長為5cm，另一邊長為2cm，若第三邊長為xcm．（1）第三邊x的范圍為．（2）當?shù)谌呴L為奇數(shù)時，求出這個三角形的周長，并指出它是什么三角形（按邊分類）．16.分別在第（1）、（2）、（3）圖中，畫出△ABC的一條中線，一條角平分線和一條高，并用文字指出你所畫的中線、角平分線和高．17.如圖，在△ABC中，AD是中線，AB＝10cm，AC＝6cm．（1）△ABD與△ACD的周長差為cm．（2）點E在邊AB上，連接ED，若三角形ABC的周長被DE分成的兩部分的差是2cm，求線段AE的長．18.如圖，在長方形ABCD中，AD＝8，CD＝6，點E為AD邊上的動點，連接CE，隨著點E的運動，△DCE的面積也發(fā)生變化．（1）寫出△DCE的面積y與AE的長x（0＜x＜8）之間的關系式；（2）當x＝2時，求y的值．19.如圖，已知P是△ABC內一點，連結AP，PB，PC，是說明：12（AB+AC+BC）