統(tǒng)計(jì)概率與數(shù)列綜合經(jīng)典題(含詳解答案)某科技公司研發(fā)的投籃機(jī)器人A進(jìn)行投籃訓(xùn)練，設(shè)定每輪獨(dú)立進(jìn)行3次投籃，記第n輪的命中次數(shù)為\(X_n\)（\(n\in\mathbb{N}^\)）。已知訓(xùn)練規(guī)則如下：-第一輪（\(n=1\)）每次投籃的命中率固定為\(p_1=0.5\)；-從第二輪開(kāi)始（\(n\geq2\)），若前一輪（第\(n-1\)輪）的命中次數(shù)\(k\geq2\)，則本輪每次投籃的命中率提升為\(p_n=p_{n-1}+0.1\)；若前一輪命中次數(shù)\(k\leq1\)，則本輪命中率降低為\(p_n=p_{n-1}-0.05\)；-命中率設(shè)有上下限：最低不低于\(0.2\)，最高不超過(guò)\(0.8\)（即若計(jì)算出的\(p_n\)超出范圍，則取邊界值）。根據(jù)以上規(guī)則，回答以下問(wèn)題：（1）求第二輪（\(n=2\)）每次投籃命中率\(p_2\)的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率分析：要確定\(p_2\)的可能值，需先分析第一輪命中次數(shù)\(X_1\)的分布。由于第一輪每次投籃獨(dú)立且命中率為\(p_1=0.5\)，\(X_1\)服從二項(xiàng)分布\(B(3,0.5)\)，其概率質(zhì)量函數(shù)為：\[P(X_1=k)=\binom{3}{k}(0.5)^k(0.5)^{3-k}=\binom{3}{k}(0.5)^3,\quadk=0,1,2,3\]根據(jù)規(guī)則，當(dāng)\(X_1\geq2\)時(shí)，\(p_2=p_1+0.1=0.6\)；當(dāng)\(X_1\leq1\)時(shí)，\(p_2=p_1-0.05=0.45\)。需驗(yàn)證這兩個(gè)值是否在\([0.2,0.8]\)范圍內(nèi)：\(0.45>0.2\)，\(0.6<0.8\)，均有效。計(jì)算概率：-\(P(X_1\geq2)=P(X_1=2)+P(X_1=3)=\binom{3}{2}(0.5)^3+\binom{3}{3}(0.5)^3=3\times\frac{1}{8}+1\times\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=0.5\)；-\(P(X_1\leq1)=1-P(X_1\geq2)=0.5\)（或直接計(jì)算：\(P(X_1=0)+P(X_1=1)=\binom{3}{0}(0.5)^3+\binom{3}{1}(0.5)^3=1\times\frac{1}{8}+3\times\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=0.5\)）。因此，\(p_2\)的可能取值及對(duì)應(yīng)概率為：-\(p_2=0.6\)，概率為\(0.5\)；-\(p_2=0.45\)，概率為\(0.5\)。（2）記\(S_n\)為前\(n\)輪投籃的總命中次數(shù)，求\(E(S_3)\)（前3輪總命中次數(shù)的期望）分析：期望的線性性質(zhì)表明\(E(S_3)=E(X_1+X_2+X_3)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)\)，因此需分別計(jì)算\(E(X_1)\)、\(E(X_2)\)、\(E(X_3)\)。計(jì)算\(E(X_1)\)：\(X_1\simB(3,0.5)\)，故\(E(X_1)=3\times0.5=1.5\)。計(jì)算\(E(X_2)\)：\(X_2\)的分布依賴于\(p_2\)，而\(p_2\)由\(X_1\)決定。根據(jù)全期望公式：\[E(X_2)=E\left[E(X_2\midX_1)\right]\]已知在給定\(X_1\)的條件下，\(X_2\simB(3,p_2)\)，因此\(E(X_2\midX_1)=3p_2\)。結(jié)合（1）的結(jié)果，\(p_2\)有兩種可能：-當(dāng)\(X_1\geq2\)（概率0.5），\(p_2=0.6\)，此時(shí)\(E(X_2\midX_1\geq2)=3\times0.6=1.8\)；-當(dāng)\(X_1\leq1\)（概率0.5），\(p_2=0.45\)，此時(shí)\(E(X_2\midX_1\leq1)=3\times0.45=1.35\)。因此：\[E(X_2)=0.5\times1.8+0.5\times1.35=0.9+0.675=1.575\]計(jì)算\(E(X_3)\)：\(X_3\)的分布依賴于\(p_3\)，而\(p_3\)由\(X_2\)決定。需先分析\(X_2\)的可能取值及對(duì)應(yīng)的\(p_3\)。首先，\(X_2\)的分布分兩種情況（由\(p_2\)決定）：情況1：\(p_2=0.6\)（概率0.5）此時(shí)\(X_2\simB(3,0.6)\)，其概率質(zhì)量函數(shù)為：\[P(X_2=k\midp_2=0.6)=\binom{3}{k}(0.6)^k(0.4)^{3-k},\quadk=0,1,2,3\]計(jì)算各\(k\)的概率：-\(P(X_2=0\mid0.6)=0.4^3=0.064\)；-\(P(X_2=1\mid0.6)=3\times0.6\times0.4^2=0.288\)；-\(P(X_2=2\mid0.6)=3\times0.6^2\times0.4=0.432\)；-\(P(X_2=3\mid0.6)=0.6^3=0.216\)。根據(jù)規(guī)則，若\(X_2\geq2\)，則\(p_3=0.6+0.1=0.7\)；若\(X_2\leq1\)，則\(p_3=0.6-0.05=0.55\)（均在\([0.2,0.8]\)內(nèi)）。情況2：\(p_2=0.45\)（概率0.5）此時(shí)\(X_2\simB(3,0.45)\)，概率質(zhì)量函數(shù)為：\[P(X_2=k\midp_2=0.45)=\binom{3}{k}(0.45)^k(0.55)^{3-k}\]計(jì)算各\(k\)的概率：-\(P(X_2=0\mid0.45)=0.55^3\approx0.166375\)；-\(P(X_2=1\mid0.45)=3\times0.45\times0.55^2\approx3\times0.45\times0.3025=0.408375\)；-\(P(X_2=2\mid0.45)=3\times0.45^2\times0.55\approx3\times0.2025\times0.55=0.334125\)；-\(P(X_2=3\mid0.45)=0.45^3\approx0.091125\)。根據(jù)規(guī)則，若\(X_2\geq2\)，則\(p_3=0.45+0.1=0.55\)；若\(X_2\leq1\)，則\(p_3=0.45-0.05=0.4\)（均在范圍內(nèi)）。接下來(lái)，計(jì)算\(E(X_3)\)需分兩步：先計(jì)算\(p_3\)的期望，再利用\(E(X_3)=3E(p_3)\)（因\(X_3\simB(3,p_3)\)，期望為\(3p_3\)）。計(jì)算\(E(p_3)\)：\(p_3\)的取值由\(p_2\)和\(X_2\)共同決定，需用全概率公式：-當(dāng)\(p_2=0.6\)（概率0.5）：\(P(X_2\geq2\midp_2=0.6)=P(X_2=2)+P(X_2=3)=0.432+0.216=0.648\)，此時(shí)\(p_3=0.7\)；\(P(X_2\leq1\midp_2=0.6)=1-0.648=0.352\)，此時(shí)\(p_3=0.55\)；因此，\(E(p_3\midp_2=0.6)=0.648\times0.7+0.352\times0.55=0.4536+0.1936=0.6472\)。-當(dāng)\(p_2=0.45\)（概率0.5）：\(P(X_2\geq2\midp_2=0.45)=P(X_2=2)+P(X_2=3)\approx0.334125+0.091125=0.42525\)，此時(shí)\(p_3=0.55\)；\(P(X_2\leq1\midp_2=0.45)=1-0.42525=0.57475\)，此時(shí)\(p_3=0.4\)；因此，\(E(p_3\midp_2=0.45)\approx0.42525\times0.55+0.57475\times0.4\approx0.2338875+0.2299=0.4637875\)。綜上，\(E(p_3)=0.5\times0.6472+0.5\times0.4637875\approx0.3236+0.23189375\approx0.55549375\)。因此，\(E(X_3)=3\timesE(p_3)\approx3\times0.55549375\approx1.66648125\)。總期望\(E(S_3)\)：\[E(S_3)=1.5+1.575+1.66648125\approx4.74148125\]（3）若機(jī)器人持續(xù)訓(xùn)練至第\(m\)輪時(shí)，每次投籃命中率穩(wěn)定在\(0.7\)（即\(p_m=p_{m-1}=0.7\)），求最小的\(m\)值分析：命中率穩(wěn)定在\(0.7\)意味著\(p_{m-1}=0.7\)，且第\(m-1\)輪的命中次數(shù)\(X_{m-1}\)滿足“若\(X_{m-1}\geq2\)，則\(p_m=0.7+0.1=0.8\)（但需穩(wěn)定在0.7，矛盾）；若\(X_{m-1}\leq1\)，則\(p_m=0.7-0.05=0.65\)（也矛盾）”。這說(shuō)明“穩(wěn)定”的條件應(yīng)為：當(dāng)\(p_{m-1}=0.7\)時(shí)，無(wú)論\(X_{m-1}\)如何，\(p_m\)仍為0.7。但根據(jù)規(guī)則，只有當(dāng)\(p_{m-1}+0.1\leq0.7\)或\(p_{m-1}-0.05\geq0.7\)時(shí)才可能，但顯然不成立。因此題目中的“穩(wěn)定”應(yīng)理解為\(p_m=p_{m-1}=0.7\)，即第\(m-1\)輪的命中次數(shù)導(dǎo)致\(p_m=0.7\)，且第\(m\)輪的命中次數(shù)也導(dǎo)致\(p_{m+1}=0.7\)。遞推分析：從\(p_1=0.5\)開(kāi)始，逐步推導(dǎo)各輪\(p_n\)的可能值：-\(n=1\)：\(p_1=0.5\)，\(X_1\simB(3,0.5)\)；-\(n=2\)：\(p_2=0.6\)（概率0.5）或\(0.45\)（概率0.5）；-\(n=3\)：-若\(p_2=0.6\)（概率0.5），則\(X_2\simB(3,0.6)\)，\(p_3\)可能為\(0.7\)（當(dāng)\(X_2\geq2\)，概率0.648）或\(0.55\)（當(dāng)\(X_2\leq1\)，概率0.352）；-若\(p_2=0.45\)（概率0.5），則\(X_2\simB(3,0.45)\)，\(p_3\)可能為\(0.55\)（當(dāng)\(X_2\geq2\)，概率≈0.425）或\(0.4\)（當(dāng)\(X_2\leq1\)，概率≈0.575）；-\(n=4\)：關(guān)注\(p_3=0.7\)的情況（因目標(biāo)是\(p_m=0.7\)）：當(dāng)\(p_3=0.7\)時(shí)（來(lái)自\(p_2=0.6\)且\(X_2\geq2\)，概率\(0.5\times0.648=0.324\)），\(X_3\simB(3,0.7)\)，其命中次數(shù)概率為：\(P(X_3=k)=\binom{3}{k}(0.7)^k(0.3)^{3-k}\)，計(jì)算得：\(P(X_3\geq2)=P(X_3=2)+P(X_3=3)=3\times0.7^2\times0.3+0.7^3=0.441+0.343=0.784\)；\(P(X_3\leq1)=1-0.784=0.216\)。根據(jù)規(guī)則，若\(X_3\geq2\)，則\(p_4=0.7+0.1=0.8\)（上限，有效）；若\(X_3\leq1\)，則\(p_4=0.7-0.05=0.65\)。要使\(p_4=0.7\)，需\(p_3=0.7\)且\(X_3\)的結(jié)果使得\(p_4=0.7\)，但根據(jù)規(guī)則，無(wú)論\(X_3\)如何，\(p_4\)只能是0.8或0.65，無(wú)法直接得到0.7。因此需考慮\(p_3\)通過(guò)其他路徑達(dá)到0.7后，再通過(guò)后續(xù)輪次調(diào)整。另一種可能：當(dāng)\(p_n=0.7\)時(shí)，若前一輪\(p_{n-1}=0.6\)且\(X_{n-1}\geq2\)（因\(0.6+0.1=0.7\)），則\(p_n=0.7\)；此時(shí)若第\(n\)輪的\(X_n\)滿足\(X_n\leq1\)，則\(p_{n+1}=0.7-0.05=0.65\)；若\(X_n\geq2\)，則\(p_{n+1}=0.8\)。要使\(p_{n+1}=0.7\)，需\(p_n=0.75\)且\(X_n\leq1\)（因\(0.75-0.05=0.7\)），但\(p_n=0.75\)需由\(p_{n-1}=0.65\)且\(X_{n-1}\geq2\)（\(0.65+0.1=0.75\)），依此類推，形成遞推鏈。但更簡(jiǎn)單的路徑是：從\(p_1=0.5\)開(kāi)始，若每輪都滿足\(X_n\geq2\)，則\(p_n\)遞增：\(p_1=0.5\rightarrowp_2=0.6\rightarrowp_3=0.7\rightarrowp_4=0.8\)（上限，不再增加）。此時(shí)，當(dāng)\(p_3=0.7\)時(shí)，若第3輪\(X_3\geq2\)，則\(p_4=0.8\)；若\(X_3\leq1\)，則\(p_4=0.65\)。但題目要求\(p_m=p_{m-1}=0.7\)，即第\(m-1\)輪和第\(m\)輪的命中率均為0.7。觀察遞推：-\(p_3=0.7\)（來(lái)自\(p_2=0.6\)且\(X_2\geq2\)）；-若第3輪\(X_3\leq1\)，則\(p_4=0.65\)；-若第4輪\(X_4\geq2\)，則\(p_5=0.65+0.1=0.75\)；-若第5輪\(X_5\leq1\)，則\(p_6=0.75-0.05=0.7\)；-若第6輪\(X_6\leq1\)，則\(p_7=0.7-0.05=0.65\)；若\(X_6\geq2\)，則\(p_7=0.8\)。顯然，這種波動(dòng)無(wú)法穩(wěn)定在0.7。因此，題目中的“穩(wěn)定”應(yīng)指連續(xù)兩輪命中率均為0.7，即存在\(m\)使得\(p_{m-1}=0.7\)且\(p_m=0.7\)。重新考慮：\(p_m=0.7\)的條件是\(p_{m-1}=0.6\)且\(X_{m-1}\geq2\)（因\(0.6+