概率統(tǒng)計試題及答案(本科完整版)一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)事件A與B滿足P(A)=0.6，P(B)=0.5，且P(A∪B)=0.8，則P(AB)的值為（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.42.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E[(X-1)(X-2)]=1，則λ=（）A.1B.2C.3D.43.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=\[\begin{cases}kxy,&0<x<1,0<y<x\\0,&\text{其他}\end{cases}\]則常數(shù)k=（）A.2B.4C.6D.84.設(shè)隨機變量X~N(2,4)，Y~N(1,1)，且X與Y獨立，則P(X-Y>1)=（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.85.設(shè)X?,X?,…,X?是來自總體X~N(μ,σ2)的簡單隨機樣本，\(\bar{X}\)為樣本均值，S2為樣本方差，則下列統(tǒng)計量中服從t分布的是（）A.\(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{σ}\)B.\(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S}\)C.\(\frac{(n-1)S2}{σ2}\)D.\(\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\)6.設(shè)總體X的概率密度為f(x;θ)=\[\begin{cases}θx^{θ-1},&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\]其中θ>0為未知參數(shù)，X?,X?,…,X?為樣本，則θ的矩估計量為（）A.\(\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}\)B.\(\frac{1-\bar{X}}{\bar{X}}\)C.\(\frac{\bar{X}}{1+\bar{X}}\)D.\(\frac{1+\bar{X}}{\bar{X}}\)7.設(shè)總體X~N(μ,1)，μ未知，X?,X?,X?為樣本，取顯著性水平α=0.05，檢驗假設(shè)H?:μ=0vsH?:μ≠0，拒絕域為|Z|≥1.96，其中Z=\(\sqrt{3}\bar{X}\)。若實際μ=1，則此檢驗的功效為（）A.Φ(1.96-\(\sqrt{3}\))B.1-Φ(1.96-\(\sqrt{3}\))C.Φ(1.96+\(\sqrt{3}\))D.1-Φ(1.96+\(\sqrt{3}\))8.設(shè)隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ=0.5，D(X)=4，D(Y)=9，則D(X+Y)=（）A.13B.19C.25D.319.設(shè)總體X~U(0,θ)，θ>0未知，X?,X?,…,X?為樣本，則θ的極大似然估計量為（）A.\(\bar{X}\)B.2\(\bar{X}\)C.max{X?,X?,…,X?}D.min{X?,X?,…,X?}10.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的協(xié)方差Cov(X,Y)=-2，D(X)=4，D(Y)=9，則X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ=（）A.-1/3B.-2/3C.-1/2D.-3/4二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11.袋中有3個紅球，2個白球，不放回地取兩次，每次取一個，則第二次取到紅球的概率為______。12.設(shè)隨機變量X~B(2,p)，Y~B(3,p)，且P(X≥1)=5/9，則P(Y≥1)=______。13.設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=\[\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\]則E(X2)=______。14.設(shè)X?,X?,X?,X?是來自總體X~N(0,4)的樣本，記T=\(\frac{X?+X?}{\sqrt{X?2+X?2}}\)，則T服從的分布是______（需寫出自由度）。15.設(shè)總體X~N(μ,σ2)，σ2已知，μ未知，樣本容量為n，置信水平為1-α的置信區(qū)間長度為L，則n=______（用L,σ,α表示）。三、計算題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）16.某工廠有三條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的20%、30%、50%，各生產(chǎn)線的次品率分別為1%、2%、3%?，F(xiàn)從該廠產(chǎn)品中隨機抽取一件，求：（1）抽到次品的概率；（2）若抽到的是次品，求該次品來自第一條生產(chǎn)線的概率。17.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為：|Y\X|0|1||-----|---|---||0|0.1|0.3||1|0.2|0.4|（1）求X與Y的邊緣分布律；（2）判斷X與Y是否獨立；（3）計算Cov(X,Y)。18.設(shè)隨機變量X的概率密度為：\[f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}e^{-|x|},&-\infty<x<\infty\\0,&\text{其他}\end{cases}\]（1）求X的分布函數(shù)F(x)；（2）計算E(X)和D(X)；（3）求Y=|X|的概率密度f_Y(y)。19.設(shè)總體X的概率密度為：\[f(x;θ)=\begin{cases}\frac{1}{θ}e^{-x/θ},&x>0\\0,&\text{其他}\end{cases}\]其中θ>0為未知參數(shù)，X?,X?,…,X?為來自總體的簡單隨機樣本。（1）求θ的矩估計量\(\hat{θ}_1\)；（2）求θ的極大似然估計量\(\hat{θ}_2\)；（3）判斷\(\hat{θ}_1\)是否為θ的無偏估計量。20.某品牌手機電池的續(xù)航時間（單位：小時）服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2=4?，F(xiàn)隨機抽取16塊電池，測得平均續(xù)航時間為12.5小時。（1）求μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間；（2）若要使置信區(qū)間長度不超過1，至少需要抽取多少塊電池？（已知Z?.???=1.96）---答案一、單項選擇題1.C解析：由概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，得0.8=0.6+0.5-P(AB)，解得P(AB)=0.3。2.A解析：E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)=E(X2)-3E(X)+2。泊松分布中E(X)=D(X)=λ，E(X2)=λ+λ2，故λ+λ2-3λ+2=1，化簡得λ2-2λ+1=0，解得λ=1。3.C解析：由聯(lián)合密度積分等于1，計算\(\int_0^1\int_0^xkxy\,dydx=k\int_0^1x\cdot\frac{x2}{2}dx=\frac{k}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{k}{8}=1\)，得k=8？（注：此處原計算有誤，正確計算應(yīng)為\(\int_0^1\int_0^xkxydydx=k\int_0^1x\left[\frac{y2}{2}\right]_0^xdx=k\int_0^1\frac{x3}{2}dx=\frac{k}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{k}{8}=1\)，故k=8？但實際正確計算應(yīng)為：\(\int_0^1xdx\int_0^xydy=\int_0^1x\cdot\frac{x2}{2}dx=\frac{1}{2}\int_0^1x3dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\)，所以k=8，原題選項D正確？可能題目選項或解析有誤，需重新核對。正確步驟應(yīng)為：聯(lián)合密度積分\(\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=\int_0^1\int_0^xkxydydx=k\int_0^1x\left[\frac{y2}{2}\right]_0^xdx=k\int_0^1\frac{x3}{2}dx=\frac{k}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{k}{8}=1\)，故k=8，對應(yīng)選項D。但原題選項中D為8，可能之前解析錯誤，正確選項應(yīng)為D。）（注：經(jīng)重新計算，正確k值為8，故第3題正確選項為D。）（更正后繼續(xù)）3.D解析：聯(lián)合密度積分\(\int_0^1\int_0^xkxy\,dydx=k\int_0^1x\cdot\frac{x2}{2}dx=\frac{k}{8}=1\)，故k=8。4.A解析：X-Y~N(2-1,4+1)=N(1,5)，P(X-Y>1)=P(Z>0)=0.5（Z為標準正態(tài)變量）。5.B解析：t分布定義為\(\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\simt(n-1)\)，即\(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S}\simt(n-1)\)。6.A解析：一階矩E(X)=\(\int_0^1x\cdotθx^{θ-1}dx=θ\int_0^1x^θdx=\frac{θ}{θ+1}\)，令\(\frac{θ}{θ+1}=\bar{X}\)，解得θ=\(\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}\)。7.B解析：功效為P(拒絕H?|H?為真)=P(|Z|≥1.96|μ=1)。Z=\(\sqrt{3}\bar{X}\)，當μ=1時，\(\bar{X}\)~N(1,1/3)，故Z~N(\(\sqrt{3}\),1)。P(|Z|≥1.96)=1-P(-1.96<Z<1.96)=1-[Φ(1.96-\(\sqrt{3}\))-Φ(-1.96-\(\sqrt{3}\))]≈1-Φ(1.96-\(\sqrt{3}\))（因Φ(-a)≈0當a較大時）。8.B解析：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=4+9+2×0.5×2×3=13+6=19（因Cov(X,Y)=ρ√D(X)√D(Y)=0.5×2×3=3）。9.C解析：極大似然函數(shù)L(θ)=\[\begin{cases}θ^{-n},&0<X?,X?,…,X?<θ\\0,&\text{其他}\end{cases}\]L(θ)隨θ增大而減小，故θ的極大似然估計為樣本最大值。10.B解析：ρ=Cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))=-2/(2×3)=-1/3？（注：D(X)=4，故√D(X)=2；D(Y)=9，√D(Y)=3，Cov=-2，故ρ=-2/(2×3)=-1/3，對應(yīng)選項A。但原題選項B為-2/3，可能計算錯誤。正確計算應(yīng)為ρ=-2/(√4×√9)=-2/(2×3)=-1/3，故正確選項為A。）（更正：第10題正確選項為A。）二、填空題11.3/5解析：全概率公式，第二次取到紅球的概率=第一次取紅球且第二次取紅球的概率+第一次取白球且第二次取紅球的概率=\(\frac{3}{5}×\frac{2}{4}+\frac{2}{5}×\frac{3}{4}=\frac{6}{20}+\frac{6}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\)。12.19/27解析：P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=5/9，解得(1-p)2=4/9，1-p=2/3，p=1/3。則P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(2/3)3=1-8/27=19/27。13.2/5解析：E(X2)=\(\int_0^1x2·2xdx=2\int_0^1x3dx=2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)？（注：正確計算應(yīng)為\(\int_0^1x2·2xdx=2\int_0^1x3dx=2×[x?/4]_0^1=2×1/4=1/2=0.5\)，但可能題目有誤，或我計算錯誤。實際正確：f(x)=2x，0<x<1，E(X2)=\(\intx2·2xdx=2\intx3dx=2×(1/4)=1/2=0.5\)，但可能題目期望為2/5？需檢查。）（更正：正確計算應(yīng)為E(X2)=\(\int_0^1x2·2xdx=2\int_0^1x3dx=2×(1/4)=1/2=0.5=1/2\)，故答案為1/2。）14.t(2)解析：X?+X?~N(0,8)，標準化后為(X?+X?)/√8~N(0,1)；X?2+X?2~4χ2(2)（因X_i~N(0,4)，故X_i/2~N(0,1)，(X_i/2)2~χ2(1)，X?2+X?2=4[(X?/2)2+(X?/2)2]~4χ2(2)）。因此T=(X?+X?)/√(X?2+X?2)=[(X?+X?)/√8]/√[(X?2+X?2)/4/2]~t(2)（分子標準正態(tài)，分母√(χ2(2)/2)）。15.(4σ2Z2_{α/2})/L2解析：置信區(qū)間為\(\bar{X}±Z_{α/2}σ/\sqrt{n}\)，長度L=2Z_{α/2}σ/\sqrt{n}，解得n=(4σ2Z2_{α/2})/L2。三、計算題16.解：設(shè)A_i表示“產(chǎn)品來自第i條生產(chǎn)線”(i=1,2,3)，B表示“抽到次品”。（1）由全概率公式：P(B)=P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)=0.2×0.01+0.3×0.02+0.5×0.03=0.002+0.006+0.015=0.023。（2）由貝葉斯公式：P(A?|B)=P(A?)P(B|A?)/P(B)=0.002/0.023≈0.087。17.解：（1）X的邊緣分布：P(X=0)=0.1+0.2=0.3；P(X=1)=0.3+0.4=0.7。Y的邊緣分布：P(Y=0)=0.1+0.3=0.4；P(Y=1)=0.2+0.4=0.6。（2）檢查獨立性：P(X=0,Y=0)=0.1，而P(X=0)P(Y=0)=0.3×0.4=0.12≠0.1，故X與Y不獨立。（3）Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。E(X)=0×0.3+1×0.7=0.7；E(Y)=0×0.4+1×0.6=0.6；E(XY)=0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4=0.4；故Cov(X,Y)=0.4-0.7×0.6=0.4-0.42=-0.02。18.解：（1）分布函數(shù)F(x)=\(\int_{-\infty}^x\frac{1}{2}e^{-|t|}dt\)。當x<0時，F(xiàn)(x)=\(\int_{-\infty}^x\frac{1}{2}e^{t}dt=\frac{1}{2}e^x\)；當x≥0時，F(xiàn)(x)=\(\int_{-\infty}^0\frac{1}{2}e^tdt+\int_0^x\frac{1}{2}e^{-t}dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1-e^{-x})=1-\frac{1}{2}e^{-x}\)。故F(x)=\[\begin{cases}\frac{1}{2}e^x,&x<0\\1-\frac{1}{2}e^{-x},&x≥0\end{cases}\]（2）E(X)=\(\int_{-\infty}^{+\infty}x·\frac{1}{2}e^{-|x|}dx=0\)（奇函數(shù)積分）；E(X2)=\(\int_{-\infty}^{+\infty}x2·\frac{1}{2}e^{-|x|}dx=\int_0^{+\infty}x2e^{-x}dx=2!=2\)