廣東省部分學校2024-2025學年高二下學期4月期中聯考數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設數列的前項積，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】數列的前項積，即；所以.故選：A2.“楊輝三角”又稱“帕斯卡三角”，是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早出現在中國南宋數學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，觀察楊輝三角的相鄰兩行，可以發(fā)現，三角形的兩個腰上的數都是1，其余的數都等于它肩上的兩個數相加，其中楊輝三角的最上方的數字1表示第0行，則第9行第9個數是（）A.8 B.9 C.10 D.15【答案】B【解析】由楊輝三角知：第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，由此可得第行，第個數為，所以第9行第9個數是.故選：B.3.某高中足球場內有4條同心圓環(huán)步道，其長度依次構成公比為3的等比數列，若最長步道與最短步道之差為，則最長步道為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設最長步道為，由題意可得，則.故選：D.4.物理學上定義線密度為單位長度上的質量．某直魚竿的總長度為6米，設為魚竿上一點到魚鉤的距離（單位：米），表示該點到魚鉤這一整段魚竿的質量（單位：克），則該魚竿在處的線密度為（）A.8克每米 B.16克每米 C.24克每米 D.32克每米【答案】D【解析】根據題設，可知魚竿在處的線密度為，所以魚竿在處的線密度為．故選：D．5.已知數列滿足，設甲：存在正整數，使得；乙：存在正整數，滿足，則（）A.甲和乙都是真命題 B.甲是真命題但乙是假命題C.乙是真命題但甲是假命題 D.甲和乙都是假命題【答案】A【解析】對于，存在正整數，所以甲是真命題；對于，，，不妨令，故，，，又3是數列的一個周期，所以，故存在正整數，滿足，故乙是真命題，所以甲和乙都是真命題.故選：A6.已知函數在處取得極大值，則（）A.0 B.12 C.16 D.96【答案】A【解析】因為，由題意，所以或，經檢驗時，，可知時，取得極小值，不符合題意.所以，因此.故選：A.7.某高校的一個宿舍的6名同學被邀請參加校運動會的表演，要求必須有人去，其中甲和乙兩名同學關系要好，商量決定要么都去，要么都不去，則該宿舍同學的去法共有（）A.15種 B.28種 C.31種 D.63種【答案】C【解析】若甲和乙兩名同學都去，則去的人數可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以滿足條件的去法數為種；若甲和乙兩名同學都不去，則去的人數可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件的去法有種；故該宿舍同學的去法共有種．故選：C．8.函數在上的零點和極值點個數之和為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】令，所以或，又，所以，，即在區(qū)間有5個零點，，令，解得或，又，所以在區(qū)間上有2個解，設為，且，在區(qū)間上有2個解，設為，且，當時，，，故在上單調遞減，當時，，故在單調遞增，故在[0，上有4個變號零點，即在上有4個極值點，所以在上的零點和極值點個數之和為9.故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.2025年春節(jié)檔共上映6部電影全國電影票房達95.1億元，刷新了中國影史春節(jié)檔票房記錄.其中，《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》分居票房第一、第二的寶座.小數想要觀看這6部電影，則（）A.若將《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》放在相鄰次序觀看，則共有120種觀看順序B.若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分坝^看，則共有360種觀看順序C.若將6部電影每2部一組隨機分為3組，則共有90種分組方式D.若將6部電影隨機分為2組，則共有31種分組方式【答案】BD【解析】若將《哪吒之魔童鬧海》和《唐探1900》放在相鄰次序觀看，可將這兩部電影看作一個整體，與其余4部電影全排列，再將這兩部電影內部進行全排列，所以觀看順序為種，故A錯誤；若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分坝^看，則在6部電影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分暗那闆r占總情況的一半，故共有種觀看順序，故B正確；若將6部電影每2部一組隨機分為3組，則可以從6部電影中先選出2部，再從4部電影中選出2部，最后除以消除重復情況，故分組方式為，故C錯誤；若將6部電影隨機分為2組，則可按兩組分別有1和5部、2和4部、3和3部電影的三種情況分組，按1和5，有種分組方式；按2和4，有種分組方式；按3和3，有種分組方式，所以共有31種分組方式，故D正確.故選：BD.10.設函數，直線與曲線相切于點，則（）A.對于給定的，任意的恒過定點 B.對于給定的，存在一條直線，與的交點為定點C.與的交點的橫坐標存在最小值 D.與的交點的縱坐標存在最大值【答案】ABD【解析】對于A，，因此切線方程為，也即，恒過定點），故A正確；對于B，由A知存在一條直線，使得與交于點，故B正確；對于CD，根據定義域知，設，下面研究值域，因為，當單調遞增，當單調遞減，所以存在極大值（也就是最大值），且當，所以值域為，也就是橫縱坐標均存在最大值1，不存在最小值，故D正確，C錯誤．故選：ABD．11.已知前兩項均為1的數列滿足，記的前項和為，則（）A.B.C.和均為等比數列D.除以3的余數為1【答案】AC【解析】對于A，令可得，令可得，故A正確；對于B，因為，所以，所以，故，故B錯誤；對于C，由題意可得，所以數列是首項為、公比為2的等比數列，所以，①，同理可得，所以數列是首項為，公比為-1的等比數列，所以，②，故C正確；對于D，①-②得所以，，因為展開后最后一項為-1，其余各項均能被9整除，所以能被3整除，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數為15，則__________.【答案】6【解析】由題意可得，化簡得，解得；故答案為：.13.已知為首項和公差均為1的等差數列，則滿足的的最小值為_____.【答案】11【解析】由等差數列的定義可得，則，所以令，解得，所以滿足條件的的最小值為11.故答案為：11.14.已知是函數圖象上一點，函數滿足，則圖象上的點到在處的切線的距離為_________．【答案】【解析】，因為在上，且，可知與在處的切線平行或重合，又因為，即，解得，故在處的切線方程為，分別整理得切線方程為，直線為0，由平行直線間距離公式知，兩直線間距離為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術比賽，決出第1名到第5名的名次（無并列名次）．甲、乙兩名同學去詢問成績，請你根據下面老師的回答分析，分別求5人的名次排列可能有多少種不同情況？（1）老師對甲說：“很遺憾，你沒有得到第一名”，對乙說：“你當然不會是最差的．”（2）老師說：“你們都沒有得到第一名，你們也都不是最后一名，并且你們的名次相鄰．”解：（1）由題意得，甲的名次不是第一，乙的名次不是第五，所以5人的名次不同的排列情況有（種）．（2）由題意得，甲、乙兩人名次為2，3或3，4，所以5人的名次不同的排列情況有（種）．16.已知函數．（1）當時，求在上的最值；（2）求的單調區(qū)間．解：（1）當時，，,則，則在上單調遞減，所以，無最小值．（2），（i）若，則，所以在單調遞減；（ii）若，則由得．當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增．綜上所述，當時，的單調減區(qū)間為（）；無單調增區(qū)間．當時，的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為．17.已知數列滿足，（1）探究數列的單調性；（2）求數列的前n項和解：（1）因為，且，所以數列是首項為、公比為的等比數列，故，即，且，易得時，，即，數列單調遞增，時，，即，數列單調遞減.（2）由（1）可得，所以，，兩式相減得，所以18.已知函數其中，為曲線上不同的兩點.（1）時，求曲線在點處的切線方程；（2）時，討論的單調性；（3）若A，B關于點對稱，求b的取值范圍.解：（1）當時，，則，求導得，則，故曲線在點處的切線方程為，整理得：（2）當時，，求導得，記，則求導得，所以在單調遞增，又，所以當時，，則在區(qū)間上單調遞減，當時，，則在單調遞增.（3）由題意可得根據定義域為，則不妨設，則又，即記，，又，，所以，所以在區(qū)間上單調遞增，由于，當時，，所以有，從而可知的值域為，要使得，則，所以19.若一個數列由兩個變量和共同控制，則稱這樣的數列為“雙數列”，當時，可記為，在研究這樣的數列問題時，一般將一個變量視為固定值，已知數列中，，，給定雙數列（1）求數列的通項公式；（2）現固定的值且，求；（3）設雙數列，固定的值且滿足，，則當取何值時，取得最大值.（結果用含的表達式