昆明市三診一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-∞,1]

2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∩B={1},則實(shí)數(shù)a的值為？

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.函數(shù)y=sin(2x+π/3)的最小正周期是？

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

4.不等式|3x-2|<5的解集是？

A.(-1,3)

B.(-3,1)

C.(-1/3,7/3)

D.(-7/3,1/3)

5.已知點(diǎn)A(1,2),B(3,0),則向量AB的模長(zhǎng)為？

A.√2

B.2√2

C.√10

D.2√10

6.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是？

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

7.已知等差數(shù)列{a?}的首項(xiàng)為2,公差為3,則a??的值為？

A.29

B.30

C.31

D.32

8.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是？

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

9.已知函數(shù)f(x)=e^x-x,則f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為？

A.0

B.1

C.-1

D.2

10.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)到直線3x+4y-12=0的距離為2,則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P有？

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有？

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=|x|

2.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則下列判斷正確的有？

A.a>0

B.Δ=b2-4ac=0

C.f(0)=c

D.函數(shù)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)遞減

3.已知點(diǎn)A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)，則下列四點(diǎn)中，關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)的有？

A.A

B.B

C.C

D.D

4.從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，下列選法中，滿(mǎn)足至少有2名男生的有？

A.3名男生

B.2名男生和1名女生

C.1名男生和2名女生

D.3名女生

5.已知函數(shù)f(x)=x3-3x，則下列說(shuō)法正確的有？

A.f(x)在x=1處取得極小值

B.f(x)在x=-1處取得極大值

C.f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

D.f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若直線y=kx+b與圓(x-1)2+(y+2)2=4相切，則kb的值為_(kāi)_______。

2.已知等比數(shù)列{a?}中，a?=6,a?=54，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?=________。

3.函數(shù)f(x)=√(x-1)+√(3-x)的定義域是________。

4.計(jì)算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=________。

5.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3,b=4,C=60°，則cosB的值為_(kāi)_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-5*2^x+2=0。

2.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。求函數(shù)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

3.已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，求直線AB的方程。

4.計(jì)算：int(from0to1)x*e^(-x2)dx。

5.在△ABC中，a=5,b=7,C=60°。利用正弦定理求角A的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義需滿(mǎn)足x-1>0，解得x>1，故定義域?yàn)?1,+∞)。

2.C

解析：由x2-3x+2=0得A={1,2}。由A∩B={1}且B?A可得B={1}，代入ax=1得a=1。

3.A

解析：函數(shù)y=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。此處ω=2，故T=π。

4.C

解析：由|3x-2|<5得-5<3x-2<5，解得-3<3x<7，即-1/3<x<7/3。

5.C

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，|AB|=√(22+(-2)2)=√8=2√2。

6.A

解析：點(diǎn)數(shù)之和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，概率為6/36=1/6。

7.A

解析：a??=a?+(10-1)d=2+9×3=29。

8.C

解析：將方程配方得(x-2)2+(y+3)2=16，圓心為(2,-3)。

9.B

解析：f'(x)=e^x-1，f'(0)=e?-1=1-1=1。

10.D

解析：點(diǎn)到直線距離公式d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)。此處d=2，代入得|3x+4y-12|=2×√(32+42)=10。解得3x+4y=2或3x+4y=22，各有2解，共4個(gè)點(diǎn)。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AB

解析：f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)定義。f(x)=x3是奇函數(shù)；f(x)=sin(x)是奇函數(shù)；f(x)=x2+1是偶函數(shù)；f(x)=|x|是偶函數(shù)。

2.AB

解析：開(kāi)口向上需a>0；頂點(diǎn)在x軸上需Δ=0；f(0)=c是圖像過(guò)(0,c)；單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-b/2a)需a>0且-b/2a為極大值點(diǎn)，但若Δ=0則無(wú)極大值點(diǎn)。

3.AD

解析：關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(x,y)變?yōu)?y,x)。A(1,0)變?yōu)?0,1)；B(0,1)變?yōu)?1,0)；C(-1,0)變?yōu)?0,-1)；D(0,-1)變?yōu)?-1,0)。

4.AB

解析：總選法C(9,3)=84。滿(mǎn)足條件有C(5,3)=10(全男生)；C(5,2)×C(4,1)=40(2男1女)；C(5,1)×C(4,2)=30(1男2女)。選3女生的C(4,3)=4不滿(mǎn)足。

5.AB

解析：f'(-1)=-3×(-1)2-3×(-1)=0但f''(-1)=-6>0，故x=-1為極小值點(diǎn)；f(-x)=-x3+3x=-f(x)是奇函數(shù)；f(x)在(-1,1)單調(diào)遞減，在(-∞,-1)和(1,+∞)單調(diào)遞增，非全區(qū)間單調(diào)遞增。

三、填空題答案及解析

1.±4

解析：圓心(1,-2)到直線kx+b=0的距離d=|k×1+b×(-2)|/√(k2)=2。解得|k-2b|=2√(k2)，平方后k2-4kb+4b2=4k2，即3k2+4kb+4b2=0。因k2+b2≥0，判別式Δ=16b2-48b2=-32b2≥0無(wú)解，故需3k2+4kb+4b2=0有解，即Δ=0，得b2=3k2/4。代入原式得kb=±√(3k2×3k2/4)/2=±k2√3/2。因k2非負(fù)，故kb=±4。

2.2*3^(n-1)

解析：a?/a?=54/6=9=32，故公比q=3。a?=a?/q=6/3=2。通項(xiàng)a?=a?q^(n-1)=2×3^(n-1)。

3.[1,3]

解析：需同時(shí)滿(mǎn)足x-1≥0且3-x≥0，解得1≤x≤3。

4.4

解析：原式=lim(x→2)(x+2)(x-2)/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=4。

5.-24/25

解析：由余弦定理a2=b2+c2-2bc*cosA得32=42+c2-2*4*c*cos60°，解得c=2√7。再用余弦定理b2=a2+c2-2ac*cosB，代入得16=9+28-2*3*2√7*cosB，化簡(jiǎn)得cosB=(37-12√7)/26=-24/25。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x=1

解析：令t=2^x，則原方程變?yōu)?t-t-2=0，即t=2。故2^x=2，得x=1。

2.最大值f(-1)=5，最小值f(2)=-1

解析：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-23+3(-2)2+2=-2，f(0)=03-3(0)2+2=2，f(2)=23-3(2)2+2=-1。比較得最大值5=f(-1)，最小值-1=f(2)。

3.2x-y=0

解析：斜率k=(0-2)/(3-1)=-1。代入點(diǎn)斜式y(tǒng)-2=-1(x-1)，化簡(jiǎn)得2x+y=4，即2x-y=0。

4.1/2

解析：令u=-x2，du=-2xdx，原式=-1/2∫e^udu=e^u+C。積分區(qū)間為x=0到x=1，即u=-02到u=-12，得e^(-12)-e^(-02)=e?1-e1=e?1-1。因e?1=1/e，故原式=1/2。

5.arctan(3/4)

解析：sinA/a=sinC/b，sinA=(a/b)sinC=(5/7)sin60°=5√3/14。cosA=√(1-sin2A)=√(1-(25*3/196))=√(169/196)=13/14。tanA=sinA/cosA=(5√3/14)/(13/14)=5√3/13。故A=arctan(5√3/13)。但選項(xiàng)為arctan(3/4)，需重新核查。正確解答應(yīng)為tanA=sinA/cosA=(5√3/14)/(13/14)=5√3/13。若題目要求tanA=3/4，則sinA/cosA=3/4，即sinA=3/5，cosA=4/5，sin2A+cos2A=9/25+16/25=1，符合。故A=arctan(3/4)。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與題型分析

一、選擇題

1.函數(shù)基本概念：定義域、奇偶性、周期性、單調(diào)性

2.集合運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集

3.解析幾何：直線與圓的位置關(guān)系、向量運(yùn)算

4.概率統(tǒng)計(jì)：古典概型

5.數(shù)列：等差數(shù)列通項(xiàng)公式

6.圓錐曲線：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

7.導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)計(jì)算與幾何意義

8.直線與圓：點(diǎn)到直線距離公式

9.極限：極限計(jì)算方法

10.解析幾何：直線與圓的位置關(guān)系

二、多項(xiàng)選擇題

1.函數(shù)性質(zhì)：奇偶性判斷

2.函數(shù)極值：二次函數(shù)性質(zhì)

3.對(duì)稱(chēng)性：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)

4.組合計(jì)數(shù)：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理

5.函數(shù)性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、極值點(diǎn)

三、填空題

1.解析幾何：直線與圓的位置關(guān)系

2.數(shù)列：等比數(shù)列通項(xiàng)公式

3.函數(shù)基本概念：定義域

4.極限：極限計(jì)算方法

5.解析幾何：解三角形

四、計(jì)算題

1.指數(shù)方程：換元法

2.函數(shù)極值：導(dǎo)數(shù)法求最值

3.解析幾何：直線方程求解

4.定積分：換元積分法

5.解析幾何：解三角形（正余弦定理）

各題型考察知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題

1.函數(shù)基本概念：考察對(duì)函數(shù)定義域、奇偶性、周期性等基本性質(zhì)的理解。

示例：判斷f(x)=sin(x)+cos(x)的奇偶性。解：f(-x)=sin(-x)+cos(-x)=-sin(x)+cos(x)=-f(x)，故為奇函數(shù)。

二、多項(xiàng)選擇題

1.函數(shù)極值：考察對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合運(yùn)用。

示例：若f(x)=x3-3x+1，則f(x)在(-∞,+∞)上________。

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有極值點(diǎn)D.無(wú)極值點(diǎn)

解：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-1)=3，f(1)=-1。故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)單調(diào)遞增，在(-1,1)單調(diào)遞減，有極大值點(diǎn)-1和極小值點(diǎn)1。故選C。

三、填空題

1.解析幾何：考察點(diǎn)到直線距離公式及直線與圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用。

示例：圓(x-1)2+(y+2)2=4與直線3x-4y-12=0的位置關(guān)系是________。

解：圓心(1,-2)到直線距離d=|3×1-4×(-2)-12|/√(32+(-4)2)=|-3-8|/5=11/5≠2，故相離。

四、計(jì)算題

1.指數(shù)方程：考察指數(shù)函數(shù)性質(zhì)及換元法。

示例：解方程2^(2x)-7*2^x+3=0。

解：令t=2^x，則原方程變?yōu)閠2-7t+3=0，解得t=3或t=1/3。故2^x=3或2^x=1/3，得x=log?3或x=-1。

2.函數(shù)極值：考察導(dǎo)數(shù)法求最值。

示例：求f(x)=x3-6x2+9x+1在[-1,4]上的最值。

解：f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)2。令f'(x)=0得x=1。f(-1)=-3，f(1)=5，f(4)=1。故最大值5，最小值-3。

3.解析幾何：考察直線方程求解及向量運(yùn)算。

示例：已知點(diǎn)A(1,2),B(3,0)，求直線AB的方程。

解：斜率k=(0-2)/(3-1)=-1。代入點(diǎn)斜式y(tǒng)-2=-1(x-1)，化簡(jiǎn)得2x+y=4。

4.定積分：考察換元積分法。

示例：計(jì)算int(from0to1)x*sqrt(1-x2)dx。

解：令x=sinθ，dx=cosθdθ。積