了解數(shù)列極限的概念，掌握極限的四則運(yùn)算法則，會求某些數(shù)列的極限第65課時數(shù)列的極限1．?dāng)?shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列{an}的項an無限趨近于某個常數(shù)a(即|an－a|無限趨近于0)，那么就說數(shù)列{an}以a為極限，或者說a是數(shù)列{an}的極限．記作，讀作“當(dāng)n趨向于無窮大時，an的極限等于a”．2． 幾個重要極限 (1) (2)(C是常數(shù))； (3)無窮等比數(shù)列{qn}(|q|＜1)的極限是0，即(|q|＜1)．3．?dāng)?shù)列極限的運(yùn)算法則

如果，那么＝A＋B；lim(an－bn)＝A－B；lim(an·bn)＝A·B；lim＝(B≠0)．2． 若數(shù)列{an}滿足：a1＝，且對任意正整數(shù)m，n都有am＋n＝am·an， 則lim(a1＋a2＋…＋an)等于() A.B.C.D．2 解析：令m＝1，由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an， 則，lim(a1＋a2＋…＋an)＝ 答案：A3． 已知p和q是兩個不相等的正整數(shù)，且q≥2，則lim等于() A．0 B．1 C. D. 解析：

答案：C4． lim ＝________. 解析：lim＝ =lim ＝ ＝－1. 答案：－11.這類題型主要是應(yīng)用數(shù)列極限的定義和極限的四則運(yùn)算法則求某數(shù)列的極限，比較簡單的數(shù)列可以從其各項變化趨勢觀察出它們的極限，比較復(fù)雜的數(shù)列可以通過恒等變形、轉(zhuǎn)化變換等方法，運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則將其極限求出．2．對于無窮等比數(shù)列{an}，若公比為q，前n項和為Sn，且|q|＜1，則S＝limSn＝.【例1】求下列數(shù)列的極限： (1)lim (2)lim (3)lim ； (4)lim α∈[0，]．解答：(1)lim＝(2)(3)(4)當(dāng)α＝時，原式＝；當(dāng)0≤α＜時，則有0≤tanα<1，∴原式＝ ＝3；當(dāng)<α≤時，則有0≤cotα<1，∴原式＝ ＝2.兩個數(shù)列和差積商的極限等于其極限的和差積商，這一結(jié)論的前題條件是兩個數(shù)列的極限都存在，而這一結(jié)論也可以推廣到任意有限個．

【例2】(1)已知lim(an＋bn)＝4，lim(an－bn)＝2，求liman，limbn；(2)已知lim(3n＋2)an＝1，求limnan.解答：(1)liman＝＝lim(an＋bn)＋lim(an－bn)＝×4＋×2＝3，∴l(xiāng)imbn＝lim[(an＋bn)－an]＝lim(an＋bn)－liman＝4－3＝1.(2)limnan＝lim[·(3n＋2)an]＝limlim(3n＋2)an＝變式2.若lim(3an＋4bn)＝8，lim(6an－bn)＝1，則lim(3an＋bn)為() A．1 B．2C．3D．4 解析：設(shè)3an＋bn＝x(3an＋4bn)＋y(6an－bn)， 由可解得 ∴l(xiāng)im(3an＋bn)＝lim[(3an＋4bn)＋(6an－bn)]

＝[lim(3an＋4bn)＋lim(6an－bn)]＝3.答案：C數(shù)列極限是整個微積分內(nèi)容的基礎(chǔ)．積分的意義是：分割、求和、取極限，而極限就可達(dá)到“以直代曲”，用有限的過程解決無限的求和問題．【例3】下圖為函數(shù)f(x)＝x2在[0,1)上的圖象，將[0,1)n等分，分別以為

寬、f()為長作矩形(i＝1，2，…，n－1) (1)求上述n－1個矩形面積的和S(n)；(2)求limS(n)． 解答：(1)S(n)＝

= (2)limS(n)＝變式3.如下圖為半徑為R的半球的軸截面把垂直于底面的半徑OAn等分，經(jīng)過這n－1個分點(diǎn)，用一組平行于底面的平面把半球切割成n層，則以上述小圓為底面的圓柱的體積之和Vn為半球體積的近似值． (1)求Vn；(2)求limVn.解答：(1)Vn＝＝πR3[(n－1)n2－(12＋22＋…＋(n－1)2)]＝(2)limVn＝【方法規(guī)律】1．可通過對整式、分式或根式的變形，如利用“分子分母同除”和“根式有理化”等手段轉(zhuǎn)化為能夠使用四則運(yùn)算法則的情況，根據(jù)四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算．2．使用四則運(yùn)算法則中的首要條件是{an}與{bn}兩個數(shù)列的極限均存在，要先判斷再使用，如例2四則運(yùn)算法則中的數(shù)列，只適用于有限個數(shù)列的和、差、積、商．應(yīng)該先求“和”“積”再求極限．3．對于分子分母都是n的多項式的分式數(shù)列的運(yùn)算結(jié)果可進(jìn)行歸納總結(jié)；對于無窮等比數(shù)列各項和應(yīng)利用公式計算，簡化極限的運(yùn)算過程．4．利用數(shù)列極限，可解決無限循環(huán)小數(shù)化分子，求幾何圖形和幾何體的面積和體積等問題.

(本題滿分4分)如下圖，連結(jié)△ABC的各邊中點(diǎn)得到一個新的△A1B1C1，又連結(jié)△A1B1C1的各邊中點(diǎn)得到△A2B2C2，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，這一系列三角形趨向于一個點(diǎn)M.已知A(0,0)，B(3,0)，C(2,2)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是________.【答題模板】解析：設(shè)An(xn，yn)，n＝1,2,3，…，則x1＝，x2＝，xn＋1＝，n≥2.即xn＋1＋xn＝xn＋xn－1，∴為常數(shù)列．xn＋1＋xn＝x2＋x1＝設(shè)xn＋1－λ＝－(xn－λ)，即xn＋1＝－xn＋則 即

因此xn＝∴l(xiāng)imxn＝，同理可求limyn＝答案：

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