湖北高三元調(diào)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|1<x<3}

D.{x|2<x<4}

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(0,1)∪(1,+∞)

3.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且z+2i為純虛數(shù)，則z等于（）

A.1+i

B.-1+i

C.1-i

D.-1-i

4.從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，則選出的人數(shù)中男生多于女生的選法有（）種

A.20

B.30

C.40

D.60

5.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，且周期為π，則φ的值為（）

A.kπ

B.kπ+π/2

C.kπ+π/4

D.kπ+π/3

6.不等式3^x+3^(x+1)>6的解集為（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.(-1,1)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

7.已知直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0互相平行，則實數(shù)a的值為（）

A.-2

B.1

C.-2或1

D.2

8.已知圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，則圓C的圓心坐標(biāo)為（）

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

9.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a_3=5，a_7=9，則S_9等于（）

A.45

B.54

C.63

D.72

10.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+2在區(qū)間(-∞,1]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.a≤1

B.a≥1

C.a≤-1

D.a≥-1

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，則角B的大小可能是（）

A.π/6

B.π/4

C.π/3

D.π/2

3.已知函數(shù)f(x)=sin^2x+cos^2(x+π/4)，則f(x)的值域為（）

A.[0,1]

B.[1/2,3/2]

C.[1,2]

D.[3/2,2]

4.已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，則下列直線中過線段AB中點(diǎn)的直線有（）

A.x-y=1

B.x+y=3

C.2x-y=0

D.x-2y+3=0

5.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+n（n≥2），則數(shù)列{a_n}的通項公式為（）

A.a_n=n

B.a_n=n(n+1)/2

C.a_n=n^2

D.a_n=(n^2+n)/2

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x+1，則f(x)的反函數(shù)f^(-1)(x)的解析式為________。

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=5，c=7，則cosA的值為________。

3.已知圓C的方程為x^2+y^2-6x+8y-11=0，則圓C的半徑長為________。

4.已知等比數(shù)列{a_n}的首項a_1=2，公比q=3，則該數(shù)列的前3項和S_3等于________。

5.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)，則f(x)的最小正周期T等于________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解方程lg(x+1)-lg(x-1)=1。

2.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，直線l的方程為y=kx-1。求當(dāng)直線l與圓C相切時，k的值。

4.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_1=1，a_n=S_n/S_{n-1}(n≥2)。求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出其通項公式。

5.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=2，b=√7，c=3。求角B的正弦值和余弦值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}={x|1<x<3}，則A∩B={x|2<x<3}。

2.C

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，則a>1。

3.C

解析：設(shè)z=x+yi，|z|=√(x^2+y^2)=1，z+2i=(x+2i)+yi，為純虛數(shù)則x=0且y≠0，所以z=±i，結(jié)合|z|=1得z=1-i。

4.B

解析：記事件A為選出的人數(shù)中男生多于女生，則可分為選2男1女或3男，C(5,2)C(4,1)+C(5,3)=10*4+10=30種。

5.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，則sin(ωx+φ)=sin(-ωx-φ)，得ωx+φ=kπ+π/2，φ=kπ+π/2。

6.B

解析：3^x+3^(x+1)>6即3^x(1+3)>6，3^x>2，x>log_3(2)。

7.A

解析：直線l1:ax+2y-1=0與直線l2:x+(a+1)y+4=0互相平行，則a/a+1=1/2且-1/2a-4≠-1/2，解得a=-2。

8.C

解析：圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，即(x-2)^2+(y+3)^2=16，圓心坐標(biāo)為(2,-3)。

9.D

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_3=5，a_7=9，則4d=a_7-a_3=4，d=1，a_1=a_3-2d=3，S_9=9a_1+36d=9*3+36=63。

10.D

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=0，f(-1)=-4，f(3)=2，最大值為max{2,0,2,-4}=5。

二、多項選擇題答案及解析

1.AD

解析：f(x)=x^2-2ax+2，對稱軸x=a，在區(qū)間(-∞,1]上是增函數(shù)，則a≤1。又f'(x)=2x-2a，在(-∞,1]上f'(x)≥0，即2x-2a≥0對x∈(-∞,1]恒成立，得a≤x對x∈(-∞,1]恒成立，所以a≤-1。

2.AC

解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(4+9-7)/(2*2*3)=3/12=1/4，B為銳角，B=arccos(1/4)，又sin^2B=1-cos^2B=1-(1/4)^2=15/16，B在(0,π/2)內(nèi)，sinB>0，sinB=√(15/16)=√15/4≈0.968，故B在(π/3,π/2)內(nèi)，所以B可能是π/3或π/6。

3.B

解析：f(x)=sin^2x+cos^2(x+π/4)=sin^2x+cosxsin(π/4)+sinxsin(π/4)=sin^2x+√2/2(cosx+sinx)=sin^2x+√2/2sin(x+π/4)，sin(x+π/4)在[-π/4,3π/4]內(nèi)取值[-√2/2,√2/2]，sin^2x在[0,1]內(nèi)，故f(x)在[1/2,3/2]內(nèi)取值。

4.BC

解析：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)，將點(diǎn)(2,1)代入直線方程檢驗：

A.2-1=1≠0，不過中點(diǎn)。

B.2+1=3=3，過中點(diǎn)。

C.2*2-1=3=3，過中點(diǎn)。

D.2-2*1+3=3≠0，不過中點(diǎn)。

5.D

解析：a_n=S_n/S_{n-1}(n≥2)，則a_n*S_{n-1}=S_n，即S_n-S_{n-1}=S_n/S_{n-1}，得S_{n-1}/S_n=1，故S_n/S_{n-1}=1，所以數(shù)列{S_n/S_{n-1}}是首項為S_1/a_1=1，公比為1的等比數(shù)列，即S_n/S_{n-1}=1，所以S_n=S_{n-1}，這與S_1=a_1=1矛盾，故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則a_2=a_1*q=1*q=q，a_3=a_2*q=q*q=q^2，又a_3=S_3-S_2=a_1+a_2+a_3-S_2=a_1+a_2=a_1+a_1*q=1+q，所以q^2=1+q，解得q=1或q=-1。若q=1，則a_n=1，與a_3=9矛盾。若q=-1，則a_n=(-1)^(n-1)，a_3=-1，矛盾。故數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，a_n=1*2^(n-1)=2^(n-1)，即a_n=(n^2+n)/2。

三、填空題答案及解析

1.y=2^(x-1)(x>0)

解析：由f(x)=2^x+1得f^(-1)(x)=log_2(x-1)，定義域要求x-1>0即x>1。

2.-3/5

解析：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(25+9-9)/(2*5*3)=25/30=5/6，故sinA=√(1-cos^2A)=√(1-(5/6)^2)=√(1-25/36)=√(11/36)=√11/6，cosA=-3/5。

3.√15

解析：圓C的方程為(x-3)^2+(y+4)^2=25，圓心坐標(biāo)為(3,-4)，半徑r=√25=5。

4.8

解析：S_3=a_1+a_1*q+a_1*q^2=2+2*3+2*3^2=2+6+18=26。

5.2π

解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的最小正周期T=2π/ω=2π。

四、計算題答案及解析

1.x=10

解析：lg(x+1)-lg(x-1)=1即lg((x+1)/(x-1))=1，(x+1)/(x-1)=10，x+1=10(x-1)，x+1=10x-10，9x=11，x=11/9，檢驗x=11/9>1符合定義域，故x=11/9。

2.最大值4，最小值-2

解析：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得3x^2-6x+2=0，(x-1)^2=1/3，x=1±√(1/3)，x_1=1-√(1/3)，x_2=1+√(1/3)，區(qū)間[-1,3]上的駐點(diǎn)為x_1，端點(diǎn)為x=-1，x=3，f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)+1=-1-3-2+1=-5，f(1-√(1/3))=(1-√(1/3))^3-3(1-√(1/3))^2+2(1-√(1/3))+1≈-2.07，f(1+√(1/3))≈1.07，f(3)=27-27+6+1=1，故最大值為max{-5,-2.07,1.07,1}=4，最小值為min{-5,-2.07,1.07,1}=-2。

3.k=±2√3

解析：圓心(1,-2)，半徑r=2，直線l到圓心距離d=|k*(-2)-1|/√(1+k^2)=|-2k-1|/√(1+k^2)=2，平方得(4k^2+4k+1)/(1+k^2)=4，4k^2+4k+1=4+4k^2，4k=3，k=3/4，故k=±2√3。

4.證明：a_n=S_n/S_{n-1}(n≥2)，a_n=S_n/S_{n-1}=a_{n-1}/S_{n-2}(n≥3)，故a_n*S_{n-2}=a_{n-1}*S_{n-1}，即a_n*S_{n-2}=S_n-S_{n-1}=a_n，故S_{n-2}=1，與S_1=a_1=1矛盾，故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則a_n=a_1*q^(n-1)，S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)，S_{n-1}=a_1*(1-q^(n-1))/(1-q)，a_n=S_n/S_{n-1}=[a_1*(1-q^n)/(1-q)]/[a_1*(1-q^(n-1))/(1-q)]=1-q^(n-1)*q/(1-q^(n-1))=1-q，故數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列，其通項公式為a_n=q^(n-1)。

5.sinB=√15/4，cosB=1/4

解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(4+9-7)/(2*2*3)=3/12=1/4，B為銳角，sinB=√(1-cos^2B)=√(1-(1/4)^2)=√(1-1/16)=√(15/16)=√15/4，由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，sinA=b*sinB/2=√15/8，sinC=a*sinB/2=√15/6，cosA=√(1-sin^2A)=√(1-(√15/8)^2)=√(1-15/64)=√(49/64)=7/8，cosC=√(1-sin^2C)=√(1-(√15/6)^2)=√(1-15/36)=√(21/36)=√21/6。

知識點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分主要包括以下知識點(diǎn)：

1.集合論：集合的表示、運(yùn)算（并、交、補(bǔ)）、關(guān)系（包含、相等）等。

2.函數(shù)：基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、周期性、奇偶性）。

3.復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念、幾何意義、運(yùn)算（加減乘除）、模與輻角。

4.排列組合：排列與組合的概念、計算公式、簡單應(yīng)用。

5.數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式、性質(zhì)。

6.解析幾何：直線與圓的方程、位置關(guān)系（平行、垂直、相切）、距離公式、中點(diǎn)公式。

7.三角函數(shù)：三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理。

8.不等式：絕對值不等式、指數(shù)對數(shù)不等式、一元二次不等式的解法。

9.極限與導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、求導(dǎo)法則、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值。

各題型所考察學(xué)生的知識點(diǎn)詳解及示例

1.選擇題：主要考察學(xué)生對基本概念、性質(zhì)、公式的理解和記憶，以及簡單的計算能力。例如：

-示例：考察對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解，題目給出函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍。學(xué)生需要知道對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的關(guān)系，即底數(shù)a>1時函數(shù)為增函數(shù)，從而得出a>1的結(jié)論。

-示例：考察等差數(shù)列的性質(zhì)，題目給出a_3=5，a_7=9，求S_9。學(xué)生需要知道等差數(shù)列的通項公式a_n=a_1+(n-1)d和前n項和公式S_n=n/2(a_1+a_n)，