蘭州高三診斷數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+1)

2.若復(fù)數(shù)z滿足z2=i，則z等于（）

A.i

B.-i

C.1+i

D.1-i

3.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=3，d=2，則a?的值是（）

A.7

B.9

C.11

D.13

4.直線y=kx+4與圓(x-1)2+(y-2)2=5相切，則k的值是（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

5.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

6.若sinα+cosα=√2，則tanα的值是（）

A.1

B.-1

C.√3

D.-√3

7.拋擲兩個(gè)均勻的骰子，則兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

8.已知三角形ABC中，∠A=60°，a=5，b=7，則sinB的值是（）

A.3/7

B.4/7

C.5/7

D.6/7

9.函數(shù)f(x)=x3-3x+2的導(dǎo)數(shù)f'(x)等于（）

A.3x2-3

B.3x2+3

C.x2-3

D.x2+3

10.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，則線段AB的垂直平分線的方程是（）

A.y=x-1

B.y=-x+3

C.y=x+1

D.y=-x-1

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=tan(x)

2.若A是集合{1,2,3,4}的非空真子集，則集合A的可能個(gè)數(shù)有（）

A.4個(gè)

B.8個(gè)

C.14個(gè)

D.16個(gè)

3.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x+by+9=0平行，則a,b的值可以是（）

A.a=1,b=-3

B.a=2,b=-6

C.a=-3,b=9

D.a=-6,b=18

4.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的首項(xiàng)a?和公比q分別是（）

A.a?=2,q=3

B.a?=3,q=2

C.a?=-2,q=-3

D.a?=-3,q=-2

5.下列命題中，正確的有（）

A.若x>0，則x2>x

B.若sinα=sinβ，則α=β

C.若A?B，則?<0xE2><0x82><0x99>A??<0xE2><0x82><0x99>B

D.若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=√(x-1)，其定義域用區(qū)間表示為________。

2.復(fù)數(shù)z=2+3i的共軛復(fù)數(shù)是________。

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，d=2，則a?的值是________。

4.直線y=-x+1與圓(x+1)2+(y-2)2=5的位置關(guān)系是________（填“相離”、“相切”或“相交”）。

5.已知扇形的圓心角為120°，半徑為3，則該扇形的面積是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。

2.解方程sin(2x-π/4)=√2/2，其中0≤x<2π。

3.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，求函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值。

4.計(jì)算不定積分∫(x2+2x+1)/xdx。

5.在三角形ABC中，已知a=5，b=7，∠C=60°，求c的長(zhǎng)度以及三角形ABC的面積。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義，則x-1>0，解得x>1，所以定義域?yàn)?1,+∞)。

2.D

解析：z2=i，令z=a+bi，則(a+bi)2=a2-b2+2abi=i，比較實(shí)虛部得a2-b2=0且2ab=1，解得a=±1,b=±1/2，當(dāng)a=1,b=1/2時(shí)z=1-i；當(dāng)a=-1,b=-1/2時(shí)z=1-i。故z=1-i。

3.C

解析：等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+4d=3+4×2=11。

4.A

解析：直線y=kx+4可化為kx-y+4=0。圓心(1,2)，半徑r=√5。直線與圓相切，則圓心到直線的距離d=|k×1-1×2+4|/√(k2+1)=√5，即|k+2|/√(k2+1)=√5。兩邊平方得(k+2)2=5(k2+1)，即k2-4k-1=0。解得k=2±√5。選項(xiàng)中只有A符合。

5.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。此處ω=2，所以T=2π/2=π。

6.A

解析：sinα+cosα=√2。兩邊平方得(sinα+cosα)2=(√2)2，即sin2α+2sinαcosα+cos2α=2。利用sin2α+cos2α=1，得1+2sinαcosα=2，即2sinαcosα=1。所以sinαcosα=1/2。因?yàn)閟inα+cosα>0，所以sinα>0且cosα>0，即α在第一象限。tanα=sinα/cosα=(sinαcosα)/(cos2α)=(1/2)/cos2α=1/(2cos2α)>0。又因?yàn)閟inα+cosα=√2，所以(√2)2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+1+1=3，這里推導(dǎo)有誤，應(yīng)從sinα+cosα=√2，得sinαcosα=1/2。則tanα=sinα/cosα=(sinαcosα)/(sinαcosα+sin2α+cos2α)=(1/2)/(1/2+1)=(1/2)/(3/2)=1/3。這里tanα=1/3，選項(xiàng)有誤。重新考慮，sinα+cosα=√2，令t=tanα，則sinα=t/(√(1+t2)),cosα=1/(√(1+t2))。代入sinα+cosα=√2得t/(√(1+t2))+1/(√(1+t2))=√2，即(t+1)/(√(1+t2))=√2。兩邊平方得(t+1)2=2(1+t2)，即t2+2t+1=2+2t2，即t2-2t+1=0，即(t-1)2=0，解得t=1。故tanα=1。選項(xiàng)A正確。

7.A

解析：拋擲兩個(gè)骰子，基本事件總數(shù)為6×6=36。兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6個(gè)。所以概率P=6/36=1/6。

8.B

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB。已知∠A=60°，a=5，b=7。則5/sin60°=7/sinB。sin60°=√3/2。所以5/(√3/2)=7/sinB，即10/√3=7/sinB。解得sinB=7√3/10=7√3/(2√3×5/2)=7/(2×5)=7/10。因?yàn)閍<b，所以A<B，B為銳角。sinB=7/10。

9.A

解析：f(x)=x3-3x+2。根據(jù)求導(dǎo)法則，f'(x)=(x3)'-(3x)'+(2)'=3x2-3。

10.A

解析：點(diǎn)A(1,2)，B(3,0)。線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。線段AB的斜率k_AB=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。垂直平分線的斜率為其負(fù)倒數(shù)，即1。所以垂直平分線的方程為y-1=1(x-2)，即y=x-1。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。A.f(x)=x3，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。B.f(x)=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。C.f(x)=x2+1，f(-x)=(-x)2+1=x2+1≠-(x2+1)，不是奇函數(shù)。D.f(x)=tan(x)，f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

2.C,D

解析：集合{1,2,3,4}的真子集個(gè)數(shù)是2?-1=15個(gè)。非空真子集個(gè)數(shù)是15-1=14個(gè)。A.4個(gè)（錯(cuò)誤，是子集不是真子集）。B.8個(gè)（錯(cuò)誤，是子集不是真子集）。C.14個(gè)（正確）。D.16個(gè)（錯(cuò)誤，是集合個(gè)數(shù)不是真子集個(gè)數(shù)）。注意題目要求非空真子集。

3.B,C,D

解析：直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x+by+9=0平行，則它們的斜率相等。將直線方程化為斜截式：l?:y=(-a/3)x+2；l?:y=(-3/b)x-9/b。斜率分別為-a/3和-3/b。所以-a/3=-3/b，即ab=9。ab=9的解有(a,b)=(1,9),(-1,-9),(3,3),(-3,-3),(9,1),(-9,-1)。選項(xiàng)中B.(2,-6),C.(-3,9),D.(-6,18)都滿足ab=9。A.(1,-3),ab=1×(-3)=-3≠9（錯(cuò)誤）。

4.A,B

解析：等比數(shù)列{a?}中，a?=a?q=6，a?=a?q3=54。將a?除以a?得a?q3/a?q=54/6，即q2=9。解得q=3或q=-3。當(dāng)q=3時(shí)，a?=6/3=2。此時(shí)a?=2×33=2×27=54，符合。當(dāng)q=-3時(shí)，a?=6/(-3)=-2。此時(shí)a?=(-2)×(-3)3=(-2)×(-27)=54，符合。所以(a?,q)=(2,3)或(-2,-3)。選項(xiàng)A.(2,3)和B.(3,2)對(duì)應(yīng)的是(2,3)。選項(xiàng)C.(-2,-3)和D.(-3,-2)對(duì)應(yīng)的是(-2,-3)。題目問的是首項(xiàng)a?和公比q，(2,3)和(-2,-3)都是解，選項(xiàng)A和B分別給出了其中一種情況。

5.C,D

解析：A.若x>0，則x2>x。例如x=1/2，1/4>1/2，命題錯(cuò)誤。B.若sinα=sinβ，則α=β。例如sin30°=sin150°，但30°≠150°，命題錯(cuò)誤。C.若A?B，則?<0xE2><0x82><0x99>A??<0xE2><0x82><0x99>B。因?yàn)锳?B，對(duì)任意x∈A，則x?B，所以對(duì)任意x∈?<0xE2><0x82><0x99>B，則x??<0xE2><0x82><0x99>A。即?<0xE2><0x82><0x99>B包含于?<0xE2><0x82><0x99>A，命題正確。D.若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。這是偶函數(shù)的定義性質(zhì)，命題正確。

三、填空題答案及解析

1.(1,+∞)

解析：函數(shù)f(x)=√(x-1)有意義，則x-1≥0，解得x≥1，所以定義域?yàn)閇1,+∞)。

2.2-3i

解析：復(fù)數(shù)z=2+3i的共軛復(fù)數(shù)是將其虛部取相反數(shù)，即2-3i。

3.-4

解析：等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+4d=10。已知d=2，代入得a?+4×2=10，即a?+8=10。解得a?=2。

4.相切

解析：直線y=-x+1與圓(x+1)2+(y-2)2=5的位置關(guān)系取決于圓心(1,-2)到直線-x+y-1=0的距離d是否等于半徑r=√5。d=|-1×(-1)+1×(-2)-1|/√((-1)2+12)=|1-2-1|/√(1+1)=|-2|/√2=2/√2=√2。因?yàn)閐=√2=r，所以直線與圓相切。

5.3π

解析：扇形面積公式S=(θ/360°)×πr2。已知θ=120°，r=3。代入得S=(120/360)×π×32=(1/3)×π×9=3π。

四、計(jì)算題答案及解析

1.12

解析：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。直接代入得0/0型未定式。因式分解分子：x3-8=(x-2)(x2+2x+4)。所以原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12。

2.π/4,3π/4,9π/4,11π/4

解析：解方程sin(2x-π/4)=√2/2。令u=2x-π/4，則方程變?yōu)閟inu=√2/2。在[0,2π)內(nèi)，sinu=√2/2的解為u=π/4,3π/4,5π/4,7π/4。將u=2x-π/4代回，得2x-π/4=π/4,3π/4,5π/4,7π/4。分別解得x=π/8,π/4,3π/8,7π/8,3π/8,5π/8,7π/8,9π/8。其中x=3π/8與x=7π/8重復(fù)，x=7π/8與x=9π/8重復(fù)。在0≤x<2π范圍內(nèi)，解為x=π/8,π/4,3π/8,5π/8,7π/8,9π/8。這些解可以歸類為π/4+kπ/2(k=0,1,2,3)。或者更精確地寫出所有解：x=π/8,π/4,3π/8,5π/8,7π/8,9π/8。

3.最大值9，最小值-1

解析：f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1。函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值出現(xiàn)在端點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)處。求導(dǎo)f'(x)=2(x-2)。令f'(x)=0得x=2。x=2在區(qū)間[1,4]內(nèi)。計(jì)算函數(shù)值：f(1)=12-4×1+3=0；f(2)=22-4×2+3=4-8+3=-1；f(4)=42-4×4+3=16-16+3=3。比較f(1)=0,f(2)=-1,f(4)=3。所以最大值為3，最小值為-1。

4.x2+2x+ln|x|+C

解析：∫(x2+2x+1)/xdx=∫(x2/x+2x/x+1/x)dx=∫(x+2+1/x)dx=∫xdx+∫2dx+∫(1/x)dx=x2/2+2x+ln|x|+C。

5.c=√19,面積=7√3/4

解析：由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC。已知a=5，b=7，∠C=60°。cos60°=1/2。代入得c2=52+72-2×5×7×(1/2)=25+49-35=39。解得c=√39。由正弦定理a/sinA=c/sinC。sinC=√3/2。所以5/sinA=√39/(√3/2)，即sinA=(5√3)/(√39×2)=5√3/(2√39)。計(jì)算sinA=√(1-cos2A)。cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(49+39-25)/(2×7×√39)=63/(14√39)=9/(2√39)。sinA=√(1-(9/(2√39))2)=√(1-81/(4×39))=√((4×39-81)/(4×39))=√(156-81)/(4×39)=√(75)/(4×39)=5√3/(4×39)=5√3/(4×3√13)=5√3/(12√13)。三角形面積S=(1/2)absinC=(1/2)×5×7×(√3/2)=35√3/4。

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

1.**函數(shù)基本概念與性質(zhì)**：包括函數(shù)定義域、值域的求法，奇偶性判斷，單調(diào)性，周期性，以及基本初等函數(shù)（指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角、冪函數(shù)）的圖像和性質(zhì)。例如函數(shù)的復(fù)合、反函數(shù)等在本試卷中未直接涉及，但在高三診斷中可能考察。

2.**數(shù)列**：等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及相關(guān)的性質(zhì)（如中項(xiàng)公式、項(xiàng)間關(guān)系等）。需要掌握數(shù)列的遞推關(guān)系、通項(xiàng)與和的關(guān)系等。

3.**解析幾何**：直線方程（點(diǎn)斜式、斜截式、一般式），兩條直線的位置關(guān)系（平行、垂直、相交），點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到圓的距離，圓的弦長(zhǎng)等。

4.**三角函數(shù)**：任意角的概念，弧度制，三角函數(shù)定義（在單位圓上），同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系），誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性），兩角和與差的三角函數(shù)公式，倍角公式，半角公式，以及解三角形（正弦定理、余弦定理、面積公式）。

5.**極限與導(dǎo)數(shù)初步**：函數(shù)極限的概念與計(jì)算（包括利用定義和運(yùn)算法則），導(dǎo)數(shù)的概念（瞬時(shí)變化率），基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值。

6.**積分初步**：不定積分的概念，基本積分公式，不定積分的運(yùn)算法則（線性運(yùn)算法則、乘積法則），簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分計(jì)算。

7.**概率統(tǒng)計(jì)初步**：古典概型，幾何概型，概率的加法公式，條件概率，事件獨(dú)立性，隨機(jī)變量（離散型），分布列，期望與方差的概念。本試卷中的概率題屬于古典概型。

8.**集合