高中數(shù)學(xué)多選題100含答案一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題1.已知函數(shù)
,以下結(jié)論正確的是()A.
是偶函數(shù) B.
最小值為2C.
在區(qū)間
上單調(diào)遞減 D.
的零點個數(shù)為5【答案】ABD【分析】去掉絕對值,由函數(shù)的奇偶性及周期性,對函數(shù)分段研究,利用導(dǎo)數(shù)再得到函數(shù)的單調(diào)性,再對選項進行判斷.【詳解】∵
,
,∴
是偶函數(shù),A正確;因為
,由函數(shù)的奇偶性與周期性,只須研究
在
上圖像變化情況.
,當(dāng)
,
,則
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,此時
;當(dāng)
時,
,則
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,此時
,故當(dāng)
時,
,B正確.因
在
上單調(diào)遞減,又
是偶函數(shù),故
在
上單調(diào)遞增,故C錯誤.對于D,轉(zhuǎn)化為
根的個數(shù)問題.因
在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.當(dāng)
時,
,
,
無實根.
時,
,
無實根,
,顯然
為方程之根.
,
,
,單獨就這段圖象,
,
在
上變化趨勢為先快扣慢,故
在
內(nèi)有1個零點,由圖像知
在
內(nèi)有3個零點,又
,結(jié)合圖象,知D正確.故選:ABD.【點睛】方法點睛:研究函數(shù)性質(zhì)往往從以下方面入手:(1)分析單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性;（2）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形,進而構(gòu)造兩個容易畫出圖象的函數(shù),將兩個函數(shù)的圖象畫在同一個平面直角坐標(biāo)系中,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.2.已知函數(shù)
,若
,且
,則()A．B．C.
的取值范圍是
D.
的取值范圍是
【答案】ACD【分析】作出函數(shù)
的圖象,利用對數(shù)的運算性質(zhì)可判斷A選項的正誤,利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷B選項的正誤;利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項的正誤;利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項的正誤.【詳解】由
可得
,解得
.作出函數(shù)
的圖象如下圖所示:由圖象可得
,由
,可得
,即
,得
,A選項正確;令
,解得
,當(dāng)
時,令
,解得
,由于
,
,所以,函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
對稱,則點
、
關(guān)于直線
對稱,可得
,B選項錯誤;
,C選項正確;
,下面證明函數(shù)
在
上為減函數(shù),任取
、
且
,則

,
,則
,
,所以,
,所以,函數(shù)
在
上為減函數(shù),
,則
,D選項正確.故選:ACD.【點睛】方法點睛:已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;（2）分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形,進而構(gòu)造兩個函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.3.已知函數(shù)
,若存在實數(shù)a,使得
,則a的個數(shù)不是()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】ABD【分析】令
,即滿足
,對t進行分類討論,結(jié)合已知函數(shù)解析式代入即可求得滿足題意的t,進而求得a.【詳解】令
,即滿足
,轉(zhuǎn)化為函數(shù)
與
有交點,結(jié)合圖像由圖可知,
有兩個根
或
(1)當(dāng)
,即
,由
,得
時,經(jīng)檢驗均滿足題意;(2)當(dāng)
,即
,當(dāng)
時,
,解得:
;當(dāng)
時,
,解得:
;綜上所述:共有4個a.故選：ABD.【點睛】方法點睛:已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;（2）分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形,進而構(gòu)造兩個函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解4.下列函數(shù)求值域正確的是()A.
的值域為
B.
的值域為
C.
的值域為
D.
的值域為
【答案】CD【分析】
去絕對值結(jié)合單調(diào)性和圖象即可判斷選項A;
討論
和
,利用基本不等式求值域可判斷選項B;
利用單調(diào)性即可判斷選項C;
定義域為
,將
兩邊平方可得
,由于
,可得
,求出
的范圍即可求
值域,可判斷選項D.【詳解】對于選項A:原函數(shù)化為
,其圖象如圖,原函數(shù)值域為
,故選項A不正確,對于選項B:
,定義域為
,當(dāng)
時,
,此時
,所以
,當(dāng)且僅當(dāng)
即
時等號成立,當(dāng)
時,
,此時
,當(dāng)且僅當(dāng)
即
時等號成立,所以函數(shù)
值域為
,故選項B不正確;對于選項C：
的定義域為
,，因為
與
均在
上是增函數(shù),所以
在
上是增函數(shù),又
在
上恒不等于
,則
在
上是減函數(shù),則
的最大值為
,又因為
,所以
的值域為
,故選項C正確;對于選項D：
的定義域為
,，設(shè)
,則
,
,
,則
,
的值域為
,故選項D正確,故選:CD【點睛】方法點睛:求函數(shù)值域常用的方法(1)觀察法:一些簡單的函數(shù),值域可以通過觀察法得到;(2)利用常見函數(shù)的值域:一次函數(shù)值域為
;二次函數(shù)利用配方法,結(jié)合定義域求出值域;反比例函數(shù)的值域為
;指數(shù)函數(shù)的值域為
;對數(shù)函數(shù)值域為
;正、余弦函數(shù)的值域為
;正切函數(shù)值域為
;(3)單調(diào)性法:先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域;(4)分離常數(shù)法:將有理分式轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)類的形式,便于求值域;(5)換元法:對于一些無理函數(shù)如
,通過換元將他們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù),通過求有理函數(shù)的值域間接求原函數(shù)的值域;(6)不等式法:利用幾個重要的不等式及其推論來求最值,進而求得值域,如
,
,以及絕對值三角不等式等;(7）判別式法:把函數(shù)解析式化為關(guān)于
的一元二次方程,利用判別式求值域,形如
或
的函數(shù)適用;（8)有界性法:充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達式的有界性,求出值域;(9）配方法:求二次函數(shù)型函數(shù)值域的基本方法,形如
的函數(shù)求值域,均可使用配方法;（10）數(shù)形結(jié)合法:若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯,如距離、斜率等可使用數(shù)形結(jié)合法；（11）導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域時,一種是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,進而根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的值域；一種是利用導(dǎo)數(shù)與極值、最值的關(guān)系求函數(shù)的值域.5.對于函數(shù)
定義域中任意的
,有如下結(jié)論,當(dāng)
時,上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是()A.
B.
C.
＞0 D.
【答案】BC【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)判斷A,B,由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C,由對數(shù)的運算結(jié)合基本不等式判斷D.【詳解】對于A,
,即
,故A錯誤;對于B,
,故B正確;對于C,
在定義域中單調(diào)遞增,
,故C正確;對于D,
,利用基本不等式知
,又
,則
,故D錯誤;故選:BC【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查命題的真假判斷,考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查基本不等式的應(yīng)用,解決本題的關(guān)鍵點是將對數(shù)形式化為根式,即
,利用對數(shù)的運算結(jié)合基本不等式放縮得出答案,并驗證取等條件,考查了學(xué)生邏輯思維能力和計算能力,屬于中檔題.6.已知函數(shù)
(
為自然對數(shù)的底數(shù))有唯一零點,則
的值可以為()A.1 B.
C.2 D.
【答案】BC【分析】由已知,換元令
,可得
,從而
為偶函數(shù),
圖象關(guān)于
對稱,結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性分析可得結(jié)論.【詳解】∵，令
,則
,定義域為
,
,故函數(shù)
為偶函數(shù),所以函數(shù)
的圖象關(guān)于
對稱,要使得函數(shù)
有唯一零點,則
,即
,解得
或
①當(dāng)
時,
由基本不等式有
,當(dāng)且僅當(dāng)
時取得故
,當(dāng)且僅當(dāng)
取等號故此時有唯一零點②當(dāng)
時,
,同理滿足題意.故選：BC.【點睛】方法點睛:①函數(shù)軸對稱:如果一個函數(shù)的圖像沿一條直線對折,直線兩側(cè)的圖像能夠完全重合,則稱該函數(shù)具備對稱性中的軸對稱,該直線稱為該函數(shù)的對稱軸.②的圖象關(guān)于直線對稱7.函數(shù)
,以下四個結(jié)論正確的是()A.
的值域是
B.對任意
,都有
C.若規(guī)定
,則對任意的
D．對任意的
,若函數(shù)
恒成立,則當(dāng)
時,
或
【答案】ABC【分析】由函數(shù)解析式可得函數(shù)圖象即可知其值域、單調(diào)性;根據(jù)C中的描述結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法可推得結(jié)論成立;由函數(shù)不等式恒成立,利用變換主元法、一元二次不等式的解法即可求參數(shù)范圍.【詳解】由函數(shù)解析式可得
,有如下函數(shù)圖象:∴
的值域是
,且單調(diào)遞增即
(利用單調(diào)性定義結(jié)合奇偶性也可說明),即有AB正確;對于C,有
,若
,∴當(dāng)
時,
,故有
.正確.對于D,
上
,若函數(shù)
恒成立,即有
,
恒成立,令
,即
上
,∴
時,
,有
或
(舍去);
時,
故恒成立;
時,
,有
或
(舍去);綜上,有
或
或
;錯誤.故選:ABC【點睛】方法點睛:1.對于簡單的分式型函數(shù)式畫出函數(shù)圖象草圖判斷其值域、單調(diào)性.2.數(shù)學(xué)歸納法:當(dāng)
結(jié)論成立,若
時結(jié)論也成立,證明
時結(jié)論成立即可.3、利用函數(shù)不等式恒成立,綜合變換主元法、一次函數(shù)性質(zhì)、一元二次不等式解法求參數(shù)范圍.8.已知
是定義在
上的奇函數(shù),當(dāng)
時,
,下列說法正確的是()A．
時,函數(shù)解析式為
B.函數(shù)在定義域
上為增函數(shù)C.不等式
的解集為
D.不等式
恒成立【答案】BC【分析】對于A,利用奇函數(shù)定義求
時,函數(shù)解析式為
;對于B,研究當(dāng)
時,
的單調(diào)性,結(jié)合奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱,知
在
上的單調(diào)性;對于C,求出
,不等式
,轉(zhuǎn)化為
,利用單調(diào)性解不等式;對于D,分類討論
與
兩種情況是否恒成立.【詳解】對于A,設(shè)
,
,則
,又
是奇函數(shù),所以
,即
時,函數(shù)解析式為
,故A錯;對于B,
,對稱軸為
,所以當(dāng)
時,
單調(diào)遞增,由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱,所以
在
上為增函數(shù),故B對;對于C,由奇函數(shù)在
上為增函數(shù),則
時,
,解得
,
(舍去）,即
,所以不等式
,轉(zhuǎn)化為
,又
在
上為增函數(shù),得
,解得
,所以不等式的解集為
,故C對;對于D,當(dāng)
時,
，當(dāng)
時,

不恒大于0,故D錯;故選:BC【點睛】方法點睛:考查了解抽象不等式,要設(shè)法把隱性劃歸為顯性的不等式求解,方法是:(1)把不等式轉(zhuǎn)化為
的模型;(2)判斷函數(shù)
的單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式的函數(shù)符號"
"脫掉,得到具體的不等式(組)來求解,但要注意奇偶函數(shù)的區(qū)別.考查了利用奇偶性求函數(shù)解析式,求函數(shù)解析式常用的方法:(1)已知函數(shù)類型,用待定系數(shù)法求解析式;(2）已知函數(shù)奇偶性,用奇偶性定義求解析式;（3）已知
求
,或已知
求
,用代入法、換元法或配湊法;（4）若
與
或
滿足某個等式,可構(gòu)造另一個等式,通過解方程組求解；9.已知
是定義域為
的奇函數(shù),
是偶函數(shù),且當(dāng)
時,
,則()A.
是周期為2的函數(shù)B．C.
的值域為[-1,1]D.
的圖象與曲線
在
上有4個交點【答案】BCD【分析】對于A,由
為R上的奇函數(shù),
為偶函數(shù),得
,則
是周期為4的周期函數(shù),可判斷A;對于B,由
是周期為4的周期函數(shù),則
,
,可判斷B.對于C,當(dāng)
時,
,有
,又由
為R上的奇函數(shù),則
時,
,可判斷C.對于D,構(gòu)造函數(shù)
,利用導(dǎo)數(shù)法求出單調(diào)區(qū)間,結(jié)合零點存在性定理,即可判斷D．【詳解】根據(jù)題意,對于A,
為R上的奇函數(shù),
為偶函數(shù),所以
圖象關(guān)于
對稱,
即則
是周期為4的周期函數(shù),A錯誤;對于B,
定義域為R的奇函數(shù),則
,
是周期為4的周期函數(shù),則
;當(dāng)
時,
,則
,則，則
;故B正確.對于C,當(dāng)
時,
,此時有
,又由
為R上的奇函數(shù),則
時,
,
,函數(shù)關(guān)于
對稱,所以函數(shù)
的值域
．故C正確.對于D,
,且
時,
,，，，
是奇函數(shù),
,
的周期為
,
,，，設(shè)，當(dāng)，，設(shè)
在
恒成立,
在
單調(diào)遞減,即
在
單調(diào)遞減,且，存在，
單調(diào)遞增,
單調(diào)遞減,，所以
在
有唯一零點,在
沒有零點,即
,
的圖象與曲線
有1個交點,當(dāng)
時,,
,則
,
,則
,所以
在
上單調(diào)遞增,且，所以存在唯一的
,使得
,所以
,
,
在
單調(diào)遞減,
,
,
在
單調(diào)遞增,又
,所以
,又，所以
在
上有一個唯一的零點,在
上有唯一的零點,所以當(dāng)
時,
的圖象與曲線
有2個交點,,當(dāng)
時,同
,
的圖象與曲線
有1個交點,當(dāng)，
的圖象與曲線
沒有交點,所以
的圖象與曲線
在
上有4個交點,故D正確;故選：BCD.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、兩函數(shù)圖像的交點,屬于較難題.10.已知函數(shù)
,下列關(guān)于函數(shù)
的結(jié)論正確的為()A.
在定義域內(nèi)有三個零點 B.函數(shù)
的值域為
C.
在定義域內(nèi)為周期函數(shù) D.
圖象是中心對稱圖象【答案】ABD【分析】將函數(shù)變形為
,求出定義域,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性即可判斷BC,由零點存在定理結(jié)合單調(diào)性可判斷A,由
可求出函數(shù)的對稱點,即可判斷D.【詳解】解:由題意知,
,定義域為
,，所以函數(shù)在
定義域上單調(diào)遞增,C不正確;當(dāng)
時,
,則
上有一個零點,當(dāng)
時,
,所以在
上有一個零點,當(dāng)
時,
,所以在
上有一個零點,當(dāng)
,
,所以在定義域內(nèi)函數(shù)有三個零點,A正確;當(dāng)
,
時,
,當(dāng)
時,
,又函數(shù)在
遞增,且在
上有一個零點,則值域為R,B正確；，所以
,所以函數(shù)圖象關(guān)于
對稱,D正確;故選:ABD.【點睛】結(jié)論點睛:1.
與
圖象關(guān)于x軸對稱;2.
與
圖象關(guān)于y軸對稱;3.
與
圖象關(guān)于
軸對稱;4、
與
圖象關(guān)于
軸對稱;5.
與
圖象關(guān)于
軸對稱.二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題11.關(guān)于函數(shù)
,下列判斷正確的是()A.
是
的極大值點B.函數(shù)
有且只有1個零點C.存在正實數(shù)
,使得
恒成立D．對任意兩個正實數(shù)
,
,且
,若
,則
【答案】BD【分析】對于A,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
的極值點即可;對于B,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)
的單調(diào)性,再利用零點存在性定理即得結(jié)論;對于C,參變分離得到
,構(gòu)造函數(shù)
,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)
的最小值的情況;對于D,利用
的單調(diào)性,由
得到
,令
,由
得
,所以要證
,即證
,構(gòu)造函數(shù)即得．【詳解】A:函數(shù)
的定義域為
,
,當(dāng)
時,
,
單調(diào)遞減,當(dāng)
時,
,
單調(diào)遞增,所以
是
的極小值點,故A錯誤.B:
,
,所以函數(shù)在
上單調(diào)遞減.又
,
,所以函數(shù)
有且只有1個零點,故B正確.C：若
,即
,則
.令
,則
.令
,則
,當(dāng)
時,
,
單調(diào)遞增,當(dāng)
時,
,
單調(diào)遞減,所以
,所以
,所以
在
上單調(diào)遞減,函數(shù)無最小值,所以不存在正實數(shù)
,使得
恒成立,故C錯誤.D:因為
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,∴
是
的極小值點.∵對任意兩個正實數(shù)
,
,且
,若
,則
.令
,則
,由
,得
,∴
,即
,即
,解得
,
,所以
.故要證
,需證
,需證
,需證
.∵
,則
,∴證
.令
,
,
,所以
在
上是增函數(shù).因為
時,
,則
,所以
在
上是增函數(shù).因為
時,
,則
,所以
,∴
,故D正確．故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點,結(jié)合零點存在性定理判斷A.B的正誤;應(yīng)用參變分離,構(gòu)造函數(shù),并結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值;由函數(shù)單調(diào)性,應(yīng)用換元法并構(gòu)造函數(shù),結(jié)合分析法、導(dǎo)數(shù)證明D選項結(jié)論.12.設(shè)函數(shù)
,
,下列命題,正確的是()A．函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減B.不等關(guān)系
成立C.若
時,總有
恒成立,則
D．若函數(shù)
有兩個極值點,則實數(shù)
【答案】AC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項的正誤;由函數(shù)
在區(qū)間
上的單調(diào)性比較
、
的大小關(guān)系,可判斷B選項的正誤;分析得出函數(shù)
在
上為減函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出
的取值范圍,可判斷C選項的正誤;分析出方程
在
上有兩個根,數(shù)形結(jié)合求出
的取值范圍,可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項,函數(shù)
的定義域為
,則
.由
,可得
,由
,可得
.所以,函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減,A選項正確;對于B選項,由于函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減,且
,所以,
,即
,又
,所以,
,整理可得
,B選項錯誤;對于C選項,若
時,總有
恒成立,可得
,構(gòu)造函數(shù)
,則
,即函數(shù)
為
上的減函數(shù),
對任意的
恒成立,即
對任意的
恒成立,令
,其中
,
.當(dāng)
時,
,此時函數(shù)
單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
,此時函數(shù)
單調(diào)遞減.所以,
,
,C選項正確;對于D選項,
,則
,由于函數(shù)
有兩個極值點,令
,可得
,則函數(shù)
與函數(shù)
在區(qū)間
上的圖象有兩個交點,當(dāng)
時,
,如下圖所示：當(dāng)
時,即當(dāng)
時,函數(shù)
與函數(shù)
在區(qū)間
上的圖象有兩個交點.所以,實數(shù)
的取值范圍是
,D選項錯誤.故選:AC.【點睛】方法點睛:利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法:(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值,根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象,然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與
軸的交點問題,突出導(dǎo)數(shù)的工具作用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用;（2）構(gòu)造新函數(shù)法:將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題;（3）參變量分離法：由
分離變量得出
,將問題等價轉(zhuǎn)化為直線
與函數(shù)
的圖象的交點問題.13.若函數(shù)
滿足對于任意
,
,
,則稱函數(shù)
為"中點凸函數(shù)".則下列函數(shù)中為"中點凸函數(shù)"的是()A.
B.
C.
D.
【答案】ABD【分析】用計算
的正負值來解,運算量大,比較復(fù)雜.我們可分析"中點凸函數(shù)"的幾何特征,結(jié)合圖像作答.由已知“中點凸函數(shù)”的定義,可得“中點凸函數(shù)”的圖象形狀可能為：【詳解】由"中點凸函數(shù)"定義知:定義域內(nèi)
對應(yīng)函數(shù)值的平均值大于或等于
處的函數(shù)值,∴下凸函數(shù):任意連接函數(shù)圖象上不同的兩點所得直線一定在圖象上方或與圖象重合.設(shè)
,
為曲線
在
上任意兩點A、B、C、D選項對應(yīng)的函數(shù)圖象分別如下圖示:①符合題意②符合題意③放大局部圖像可見,在
段,并不滿足
對應(yīng)函數(shù)值的平均值大于或等于
處的函數(shù)值.不合題意④，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)作出圖像如下符合題意.故選:ABD【點睛】本題主要考查了函數(shù)的新定義及其應(yīng)用,其中解答中正確理解函數(shù)的新定義,以及結(jié)合函數(shù)的圖象求解是解答的關(guān)鍵,學(xué)生可利用數(shù)形結(jié)合求解,需要較強的推理與運算能力.14.已知
,
,
是
的導(dǎo)函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.
在
上單調(diào)遞增.B.
在
上兩個零點C.當(dāng)
時,
恒成立,則
D．若函數(shù)
只有一個極值點,則實數(shù)
【答案】ACD【分析】求出導(dǎo)函數(shù)
,由
確定增區(qū)間,判斷A,然后可得
,再利用導(dǎo)數(shù)確定
的單調(diào)性與極值,結(jié)合零點存在定理得零點個數(shù),判斷B,構(gòu)造函數(shù)
,由
在
上遞減,求得
范圍,判斷C,利用導(dǎo)數(shù)研究
的單調(diào)性與極值點,得
的范圍,判斷D.【詳解】
,令
,得
,故A正確，
,令
得
,
得
,故
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù).當(dāng)
時,
；當(dāng)
時,
且
的大致圖象為
只有一個零點,故B錯.記
,則
在
上為減函數(shù),對恒成立對恒成立．故C正確.，
,設(shè)
,
只有一個極值點,

只有一個解,即直線
與
的圖象只有一個交點．，
在
上為增函數(shù),令
,得
,當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
.
在
上為減函數(shù),在
上為增函數(shù),，
時,
,即
,且
時,
,又
時,
,因此
的大致圖象如下(不含原點):直線
與它只有一個交點,則
.故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),解題關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,得出函數(shù)的極值,對于零點問題,需要結(jié)合零點存在定理才能確定零點個數(shù).注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.15.設(shè)函數(shù)
,則下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)
時,
在
上的平均變化率為
B.當(dāng)
時,函數(shù)
的圖像與直線
有2個交點C.當(dāng)
時,
的圖像關(guān)于點
中心對稱D．若函數(shù)
有兩個不同的極值點
,
,則當(dāng)
時,
【答案】BCD【分析】運用平均變化率的定義可分析A,利用導(dǎo)數(shù)研究
的單調(diào)性和極值,可分析B選項,證明
可分析C選項,先得出
,
為方程
的兩個實數(shù)根,結(jié)合韋達定理可分析D選項．【詳解】對于A,當(dāng)
時,
,則
在
上的平均變化率為
,故A錯誤;對于B,當(dāng)
時,
,
,可得下表:1＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因為
,
,
,結(jié)合
的單調(diào)性可知,方程
有兩個實數(shù)解,一個解為
,另一個解在
上,故B正確;對于C,當(dāng)
時,
,則有
,故C正確;對于D,
,
,令
,可得方程
,因為
,且函數(shù)
有兩個不同的極值點
,
,所以
,
為方程
的兩個實數(shù)根,則有
,則因為
,所以
,故D正確;故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,平均變化率,極值等問題,本題的關(guān)鍵是選項D,利用根與系數(shù)的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為關(guān)于
的函數(shù),證明不等式.16.在單位圓O:
上任取一點
,圓O與x軸正向的交點是A,將OA繞原點O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角記為
,若x,y關(guān)于
的表達式分別為
,
,則下列說法正確的是()A.
是偶函數(shù),
是奇函數(shù);B．
在
上為減函數(shù),
在
上為增函數(shù);C.
在
上恒成立;D.函數(shù)
的最大值為
.【答案】ACD【分析】依據(jù)三角函數(shù)的基本概念可知
,
,根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷A.B;根據(jù)輔助角公式知
,再利用三角函數(shù)求值域可判斷C;對于D,
,先對函數(shù)
求導(dǎo),從而可知函數(shù)
的單調(diào)性,進而可得當(dāng)
,
時,函數(shù)
取得最大值,結(jié)合正弦的二倍角公式,代入進行運算即可得解.【詳解】由題意,根據(jù)三角函數(shù)的定義可知,
,
,對于A,函數(shù)
是偶函數(shù),
是奇函數(shù),故A正確;對于B,由正弦,余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可知,函數(shù)
在
上為減函數(shù),函數(shù)
在
為增函數(shù),在
為減函數(shù),故B錯誤;對于C,當(dāng)
時,

,故C正確;對于D,函數(shù)
,求導(dǎo)，令
,則
;令
,則
,
函數(shù)
在
和
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減,當(dāng)
即
,
時,函數(shù)取得極大值
,又當(dāng)
即
,
時,
,所以函數(shù)
取得最大值
,故D正確.故選:ACD.【點睛】方法點睛:考查三角函數(shù)的值域時,常用的方法:(1)將函數(shù)化簡整理為
,再利用三角函數(shù)性質(zhì)求值域;（2）利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最值.17.已知函數(shù)
有兩個零點
、
,且
,則下列結(jié)論不正確的是()A.
B.
的值隨
的增大而減小C.
D.
【答案】C【分析】由
得出
,構(gòu)造函數(shù)
,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)
的單調(diào)性與極值,數(shù)形結(jié)合可判斷ACD選項的正誤;任取
、
,且
,設(shè)
,其中
;設(shè)
,其中
,利用函數(shù)
的單調(diào)性結(jié)合不等式的基本性質(zhì)得出
,可判斷B選項的正誤.【詳解】令
,可得
,構(gòu)造函數(shù)
,定義域為
,
.當(dāng)
時,
,此時函數(shù)
單調(diào)遞增;當(dāng)
時,
,此時函數(shù)
單調(diào)遞減.所以,
,如下圖所示：由圖象可知,當(dāng)
時,直線
與函數(shù)
的圖象有兩個交點,A選項正確;當(dāng)
時,
,由圖象可得
,
,C選項錯誤,D選項正確;任取
、
,且
,設(shè)
,其中
;設(shè)
,其中
.由于函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,且
,
;函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減,且
,
.由不等式的基本性質(zhì)可得
,則
.所以,
的值隨
的增大而減小,B選項正確.故選:C.【點睛】在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題個數(shù)中,可轉(zhuǎn)化為判定
有兩個實根時實數(shù)
應(yīng)滿足的條件,并注意
的單調(diào)性、奇偶性、最值的靈活應(yīng)用.另外還可作出函數(shù)
的大致圖象,直觀判定曲線交點個數(shù),但應(yīng)注意嚴謹性,進行必要的論證.18.已知函數(shù)
有兩個零點,則
的可能取值是()A.
B.0 C.1 D.2【答案】CD【分析】求出
的導(dǎo)數(shù),討論
的范圍,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理可判斷求出.【詳解】解:∵函數(shù)
,∴，①若
,那么
,函數(shù)
只有唯一的零點2,不合題意;②若
,那么
恒成立,當(dāng)
時,
,此時函數(shù)為減函數(shù);當(dāng)
時,
,此時函數(shù)為增函數(shù);此時當(dāng)
時,函數(shù)
取極小值
,由
,可得:函數(shù)
在
存在一個零點;當(dāng)
時,
,
,∴，令
的兩根為
,
,且
,則當(dāng)
,或
時,
,故函數(shù)
在
存在一個零點;即函數(shù)
在
上存在兩個零點,滿足題意;③若
,則
,當(dāng)
時,
,，即
恒成立,故
單調(diào)遞增,當(dāng)
時,
,
,即
恒成立,故
單調(diào)遞減,當(dāng)
時,
,
,即
恒成立,故
單調(diào)遞增,故當(dāng)
時,函數(shù)取極大值,由得:函數(shù)
在
上至多存在一個零點,不合題意;④若
,則
,當(dāng)
時,
,
,即
恒成立,故
單調(diào)遞增,當(dāng)
時,
,
,即
恒成立,故
單調(diào)遞增,故函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,函數(shù)
在
上至多存在一個零點,不合題意;⑤若
,則
,當(dāng)
時,
,
,即
恒成立,故
單調(diào)遞增,當(dāng)
時,
,
,即
恒成立,故
單調(diào)遞減,當(dāng)
時,
,
,即
恒成立,故
單調(diào)遞增,故當(dāng)
時,函數(shù)取極大值,由
得:函數(shù)
在
上至多存在一個零點,不合題意;綜上所述,
的取值范圍為
,故選:CD.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題,屬于較難題.19.已知函數(shù)
,下列是關(guān)于函數(shù)
的零點個數(shù)的判斷,其中正確的是()A.當(dāng)
時,有3個零點 B.當(dāng)
時,有2個零點C．當(dāng)
時,有4個零點 D．當(dāng)
時,有1個零點【答案】CD【分析】令y＝0得
,利用換元法將函數(shù)分解為f(x)＝t和f(t)＝﹣1,作出函數(shù)f(x)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】令
,得
,設(shè)f(x)＝t,則方程
等價為f(t)＝﹣1,①若k＞0,作出函數(shù)f(x)的圖象如圖:∵f(t)＝﹣1,∴此時方程f(t)＝﹣1有兩個根其中t2＜0,0＜t1＜1,由f(x)＝t2＜0,此時x有兩解,由f(x)＝t1∈(0,1)知此時x有兩解,此時共有4個解,即函數(shù)y＝f[f(x)]+1有4個零點.②若k＜0,作出函數(shù)f（x)的圖象如圖:∵f（t)＝﹣1,∴此時方程f（t)＝﹣1有一個根t1,其中0＜t1＜1,由f(x）＝t1∈(0,1）,此時x只有1個解,即函數(shù)y＝f[f(x）]+1有1個零點．故選：CD.【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,考查復(fù)合函數(shù)的零點的判斷,利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.20.已知實數(shù)a,b,c,d滿足
,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),則
的值可能是()A.7 B.8 C.9 D.10【答案】BCD【分析】由題中所給的等式,分別構(gòu)造函數(shù)
和
,則
的表示
上一點
與
上一點
的距離的平方,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知當(dāng)
時,切點到直線的距離最小,再比較選項.【詳解】由
,令
,
由
,令
則
的表示
上一點
與
上一點
的距離的平方,設(shè)
上與
平行的切線的切點為
由
,
切點為
所以切點為到的距離的平方為的距離為與的距離的平方的最小值.故選:BCD.【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求兩點間距離的最小值,重點考查轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù),利用幾何意義求最值,屬于偏難題型.三、三角函數(shù)與解三角形多選題21.已知函數(shù)
(其中,
,
),
,
恒成立,且
在區(qū)間
上單調(diào),則下列說法正確的是()A．存在
,使得
是偶函數(shù) B．
C.
是奇數(shù) D.
的最大值為3【答案】BCD【分析】根據(jù)
得到
,根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到
,得到
或
,故CD正確,代入驗證知
不可能為偶函數(shù),A錯誤,計算得到B正確,得到答案.【詳解】
,
,則
,
,故
,
,
,
,則
,故
,
,
,當(dāng)
時,
,
,
在區(qū)間
上單調(diào),故
,故
,即
,
,故
,故
,綜上所述:
或
,故CD正確;
或
,故
或
,
,
不可能為偶函數(shù),A錯誤;當(dāng)
時,
,
,故
;當(dāng)
時,
,
,故
,綜上所述：
,B正確;故選:BCD.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)和參數(shù)的計算,難度較大,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.22.已知函數(shù)
(
,
)的部分圖像如圖所示,則()A.
B.點
是
圖像的一個對稱中心C.
D.直線
是
圖像的一條對稱軸【答案】ABD【分析】由圖知函數(shù)最大值為,最小值為,且函數(shù)圖像與軸的交點為,進而待定系數(shù)得,再整體換元討論B,D選項即可.【詳解】因為
,所以
,解得
,故A正確;
,則
.又
,所以
,故C錯誤；，令
,
,解得
,
,所以
圖像的對稱軸方程為
,令
,則
,D正確;令
,
,解得
,
,令
,則
且
,故B正確.故選:ABD【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像求解析式,三角函數(shù)的對稱軸,對稱中心等,考查運算求解能力,是中檔題.解題的過程中,需要注意形如
,
,
,
的求解通常采用待定系數(shù)法求解.23.將函數(shù)
的圖象向左平移
個單位長度后得到函數(shù)
的圖象,則下列說法正確的是()A．B.
是函數(shù)
圖象的一個對稱中心C.函數(shù)
在
上單調(diào)遞增D.函數(shù)
在
上的值域是
【答案】BC【分析】首先求得函數(shù)
,再根據(jù)選項,整體代入,判斷函數(shù)的性質(zhì).【詳解】，
,故A錯誤;
,故B正確;
時,
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,故C正確;
時,
,當(dāng)
時,函數(shù)取得最小值-1,當(dāng)
時,函數(shù)取得最大值
,所以函數(shù)的值域是
.故選:BC【點睛】思路點睛:本題考查
的解析式和性質(zhì)的判斷,可以整體代入驗證的方法判斷函數(shù)性質(zhì):(1)對于函數(shù)
,其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點,因此判斷直線
或點
是否是函數(shù)的對稱軸和對稱中心時,可通過驗證
的值進行判斷;(2)判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,也可以求
的范圍,驗證此區(qū)間是否是函數(shù)
的增或減區(qū)間.24.設(shè)
、
是函數(shù)
的圖象與直線
的交點,若
、
兩點距離的最小值為
,
是該函數(shù)圖象上的一個點,則下列說法正確的是()A.該函數(shù)圖象的一個對稱中心是
B．該函數(shù)圖象的對稱軸方程是
,
C.
在
上單調(diào)遞增D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)
的基本性質(zhì)求出函數(shù)
的解析式,可判斷D選項的正誤,利用余弦型函數(shù)的對稱性可判斷AB選項的正誤,利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項的正誤.【詳解】因為
、
是函數(shù)
的圖象與直線
的交點,若
、
兩點距離的最小值為
,則函數(shù)
的最小正周期為
,
,所以,
,將點
的坐標(biāo)代入函數(shù)
的解析式,可得
,則
.
,
,則
,
,
,D選項正確;對于A選項,
,A選項正確;對于B選項,由
,解得
,所以,函數(shù)
的圖象的對稱軸方程是
,
,B選項正確;對于C選項,當(dāng)
時,
,所以,函數(shù)
在區(qū)間
上不單調(diào),C選項錯誤.故選:ABD.【點睛】方法點睛:求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,首先化簡成
或
形式,再求
或
的單調(diào)區(qū)間,只需把
看作一個整體代入
或
的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可,注意要先把
化為正數(shù).25.已知函數(shù)
,則下列結(jié)論中正確的是()A.
的圖象是由y=2sin2
的圖象向左移
個單位得到的B.
在
上單調(diào)遞增C.
的對稱中心的坐標(biāo)是
D.函數(shù)
在
內(nèi)共有
個零點【答案】BCD【分析】A.化簡得
,利用函數(shù)的圖象變換得該選項錯誤;B.利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理分析得該選項正確;C.由
得該選項正確;D.解方程得該選項正確.【詳解】，把
的圖象向左平移
個單位,得到
,所以選項
不正確;設(shè)
,則
在
上單調(diào)增,,又
在
上單調(diào)遞增,
在
上單調(diào)遞增,所以選項B正確;由
得對稱中心為
,所以選項C正確；由得或解得
或
,又

時,
,共
個零點,所以選項D正確.故選:BCD【點睛】方法點睛:函數(shù)的零點問題的研究,常用的方法有:(1)方程法(解方程即得解);(2)圖象法(直接畫出函數(shù)的圖象得解);(3)方程+圖象法(令
得
,再分析函數(shù)
的圖象得解).要根據(jù)已知條件靈活選擇方程求解.26.已知函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
對稱,則()A.函數(shù)
為奇函數(shù)B.函數(shù)
在
上單調(diào)遞增C.函數(shù)
的圖象向右平移
個單位長度得到的函數(shù)的圖象關(guān)于
對稱,則
的最小值是
D．若方程
在
上有2個不同實根
,
,則
的最大值為
【答案】ACD【分析】由條件可得
,可得
從而得出
的解析式,選項A先得出
的表達式,可判斷;選項B求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可判斷;選項C根據(jù)圖象平移變換得出解析式,可得答案;選項D作出函數(shù)的圖像,根據(jù)圖象可判斷.【詳解】根據(jù)條件可得
,所以
則
,由
,所以
所以選項A.
為奇函數(shù),故A正確.選項B.由當(dāng)
時,
,所以函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,故選項B不正確.選項C.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到,根據(jù)條件可得當(dāng)
時,
所以,則由
,則當(dāng)
時,
有的最小值是
,故C正確.選項D.作出
的圖象,如圖當(dāng)
時,由
,可得
由
,當(dāng)
時,由
,可得
當(dāng)
時,方程
在
上有2個不同實根
,
,則

設(shè)

,則
,
如圖當(dāng)
時,
,
分別為
,
時,
最大,最大值為
,故D正確.故選:ACD【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查三角函數(shù)
的圖像性質(zhì),考查三角函數(shù)的圖象變換,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性求出
的值,根據(jù)三角函數(shù)的對稱性得到
,
,屬于中檔題.27.下列結(jié)論正確的是()A.在三角形
中,若
,則
B.在銳角三角形
中,不等式
恒成立C．若
,則三角形
為等腰三角形D.在銳角三角形
中,
【答案】ABD【分析】由正弦定理及三角形性質(zhì)判斷A,由余弦定理判斷B,由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷C,利用銳角△ABC這個條件,可得
,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性比較
與
大小即可判斷D.【詳解】
中,
,由
,得
,A正確;在銳角三角形
中,
,B正確;
中,若
,則
或
,即
或
,
為等腰三角形或直角三角形,C錯誤；在銳角三角形中,,,
,即
,同理:

,D正確.故選:ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查正弦定理,余弦定理,正弦函數(shù)的性質(zhì),誘導(dǎo)公式等,學(xué)會公式的靈活應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵.28.設(shè)函數(shù)
,已知
在
有且僅有5個零點,則下列結(jié)論成立的有()A.
在
有且僅有2個零點B.
在
單調(diào)遞增C.
的取值范圍是
D．將
的圖象先右移
個單位,再縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍,得到函數(shù)
【答案】BC【分析】首先利用圖象直接判斷A選項;再利用函數(shù)
在
有且僅有5個零點,求得
的范圍,并利用整體代入的方法判斷B選項;最后利用圖象的變換規(guī)律,求得變換之后的解析式,判斷D.【詳解】A.如圖,
上函數(shù)僅有5個零點,但有3個最小值點,這3個最小值點就是
在
上的3個零點;B.
時,
若函數(shù)
在
有且僅有5個零點,則
,得
,當(dāng)
時,
,此時函數(shù)單調(diào)遞增,故BC正確;D.函數(shù)
的圖象先右移
個單位后得到
,再將橫坐標(biāo)擴大為原來的2倍,得到
,故D不正確;故選:BC【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題的關(guān)鍵是求出
的取值范圍,首先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間
有5個零點,首先求
的范圍,再分析
的圖象,求得
的范圍.29.已知函數(shù)
,則()A.
的最小正周期是
B.
的圖像可由函數(shù)
的圖像向左平移
個單位而得到C.
是
的一條對稱軸D.
的一個對稱中心是
【答案】AB【分析】首先化簡函數(shù)
,再根據(jù)三角函數(shù)形式的公式,以及代入的方法判斷選項.【詳解】，A.函數(shù)的最小正周期
,故A正確;B.根據(jù)圖象的平移變換規(guī)律,可知函數(shù)
的圖像向左平移
個單位而得到
,故B正確;C.當(dāng)
時,
,不是函數(shù)的對稱軸,故C不正確;D.當(dāng)
時,
,此時函數(shù)值是2,故函數(shù)的一個對稱中心應(yīng)是
,故D不正確.故選:AB【點睛】思路點睛:本題考查
的解析式和性質(zhì)的判斷,可以整體代入驗證的方法判斷函數(shù)性質(zhì):(1)對于函數(shù)
,其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點,對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點,因此判斷直線
或點
是否是函數(shù)的對稱軸和對稱中心時,可通過驗證
的值進行判斷;(2)判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,也可以求
的范圍,驗證此區(qū)間是否是函數(shù)
的增或減區(qū)間.30.將函數(shù)
的圖象上所有點向左平移
個單位長度,再向下平移1個單位長度,得到函數(shù)
的圖象,則()A.
的圖象的對稱軸方程為
B.
的圖象的對稱中心坐標(biāo)為
C.
的單調(diào)遞增區(qū)間為
D.
的單調(diào)遞減區(qū)間為
【答案】AC【分析】首先根據(jù)圖象平移求函數(shù)
的解析式,再根據(jù)整體代入的方法判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)區(qū)間.【詳解】
的圖象上所有點向左平移
個單位長度,得到
,再向下平移1個單位長度后得到
,對于A,令
,解得
,函數(shù)的對稱軸是
,故A正確;對于B,令
,解得:
,所以函數(shù)的對稱中心
,故B不正確;對于C,令
,解得:
,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
,由于單點不具有單調(diào)性,所以
的單調(diào)遞增區(qū)間為
也正確,故C正確；對于D,令
,解得：
,所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是
,
,故D不正確.故選:AC【點睛】方法點睛:本題考查函數(shù)的圖象變換,以及
的性質(zhì),屬于中檔題型,
的橫坐標(biāo)伸長(或縮短)到原來的
倍,得到函數(shù)的解析式是
,若
向右(或左)平移
(
)個單位,得到函數(shù)的解析式是
或
.四、數(shù)列多選題31.已知數(shù)列
的首項
且滿足
,其中
,則下列說法中正確的是()A.當(dāng)
時,有
恒成立B.當(dāng)
時,有
恒成立C.當(dāng)
時,有
恒成立D．當(dāng)
時,有
恒成立【答案】AC【分析】題設(shè)中的遞推關(guān)系等價為
,根據(jù)首項可找到
的局部周期性,從而可得正確的選項.【詳解】因為
,故
,當(dāng)
即
時,
,
,
,故
為周期數(shù)列且
,故A正確.當(dāng)
即
時,
,同理
,
,
,
,
,故
,故B錯誤.當(dāng)
即
時,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可有
,
,
,
,故D錯誤.對于C,當(dāng)
時,數(shù)列
的前108項依次為：，，，，，，故
,
,
,
,
,所以對任意總成立.(備注:因為本題為多選題,因此根據(jù)A正確,BD錯誤可判斷出C必定正確,可無需羅列出前108項)故選:AC.【點睛】方法點睛:對于復(fù)雜的遞推關(guān)系,我們應(yīng)該將其化簡為相對簡單的遞推關(guān)系,對于數(shù)列局部周期性的研究,應(yīng)該從特殊情況中總結(jié)出一般規(guī)律,另外,對于多選題,可以用排除法來確定可選項.32.已知數(shù)列
均為遞增數(shù)列,
的前n項和為
的前n項和為
且滿足
,則下列結(jié)論正確的是()A.
B.
C.
D.
【答案】ABC【分析】利用數(shù)列單調(diào)性及題干條件,可求出
范圍;求出數(shù)列
的前2n項和的表達式,利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明其大小關(guān)系,即可得答案.【詳解】因為數(shù)列
為遞增數(shù)列,所以，所以
,即
,又
,即
,所以
,即
,故A正確;因為
為遞增數(shù)列,所以，所以
,即
,又
,即
,所以
,即
,故B正確；的前2n項和為=，因為
,則
,所以
,則的2n項和為=，當(dāng)n=1時,
,所以
,故D錯誤;當(dāng)時假設(shè)當(dāng)n=k時,
,即
,則當(dāng)n=k+1時,
所以對于任意
,都有
,即
,故C正確故選:ABC【點睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用,數(shù)列前n項和的求法,解題的關(guān)鍵在于,根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,得到項之間的大小關(guān)系,再結(jié)合題干條件,即可求出范圍,比較前2n項和大小時,需靈活應(yīng)用等差等比求和公式及性質(zhì),結(jié)合基本不等式進行分析,考查分析理解,計算求值的能力,屬中檔題.33.已知
是等差數(shù)列
的前
項和,
,設(shè)
,則數(shù)列
的前
項和為
,則下列結(jié)論中正確的是()A.
B.
C．
D．
時,
取得最大值【答案】ABC【分析】根據(jù)題設(shè)條件,得到
,進而求得
,

,再結(jié)合"裂項法"求得
,結(jié)合
,即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列
的公差為
,因為
,可得
,
,，即
,
,即
,所以

,
,即數(shù)列
遞減,且
,
,…,
,
,又由
,可得

,則

,由
,要使
取最大值,則
取得最小值,顯然
,而

,所以當(dāng)
時,
取得最小值.綜上可得,正確的選項為ABC.故選:ABC.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用,其中解答中熟練應(yīng)用通項
和
的關(guān)系式,數(shù)列的"裂項法"求和,以及數(shù)列的單調(diào)性進行求解是解答的關(guān)鍵,著重考查推理與運算能力.34.設(shè)
是公差為
的無窮等差數(shù)列
的前
項和,則下列命題正確的是()A.若
,則數(shù)列
有最大項B.若數(shù)列
有最大項,則
C.若對任意
,均有
,則數(shù)列
是遞增數(shù)列D．若數(shù)列
是遞增數(shù)列,則對任意
,均有
【答案】ABC【分析】由等差數(shù)列的求和公式可得
,可看作關(guān)于
的二次函數(shù),由二次函數(shù)的性質(zhì)逐個選項驗證可得.【詳解】由等差數(shù)列的求和公式可得
,選項
,若
,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列
有最大項,故正確;選項
,若數(shù)列
有最大項,則對應(yīng)拋物線開口向下,則有
,故正確;選項
,若對任意
,均有
,對應(yīng)拋物線開口向上,
,可得數(shù)列
是遞增數(shù)列,故正確;選項
,若數(shù)列
是遞增數(shù)列,則對應(yīng)拋物線開口向上,但不一定有任意
,均有
,故錯誤.故選:
.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用,
可看成是二次函數(shù),然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題,考查分析和轉(zhuǎn)化能力,屬于常考題.35.已知等差數(shù)列
的前
項和為
,若
,
,則()A．B.數(shù)列
是公比為8的等比數(shù)列C.若
,則數(shù)列
的前2020項和為4040D．若
,則數(shù)列
的前2020項和為
【答案】CD【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可判斷A;結(jié)合已知條件可求出等差數(shù)列的公差,從而可求出通項公式以及
,結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷B;寫出
,由定義寫出
的表達式,進行分組求和即可判斷C;
,裂項相消即可求和.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,
,故A錯誤;設(shè)
的公差為
,則有
,解得
,
,故
,
,則數(shù)列
是公比為
的等比數(shù)列,故B錯誤;若
,則
的前2020項
,故C正確;若
,則
的前2020項和
,故D正確．故選:CD.【點睛】方法點睛:求數(shù)列的前
項和常見思路有:1.對于等差和等比數(shù)列,直接結(jié)合求和公式求解;2.等差數(shù)列
等比數(shù)列時,常采取分組求和法;3.等差數(shù)列
等比數(shù)列時,常采取錯位相減法;4.裂項相消法.36.下列說法正確的是()A.若
為等差數(shù)列,
為其前
項和,則
,
,
,…仍為等差數(shù)列
B.若
為等比數(shù)列,
為其前
項和,則
,
,
,
仍為等比數(shù)列
C.若
為等差數(shù)列,
,
,則前
項和
有最大值D．若數(shù)列
滿足
,則
【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義,可判定A正確;當(dāng)
時,取
,得到
,可判定B錯誤;