第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第七章(DerivationofImplicitFunction)一、一個(gè)方程的情形二、方程組的情形三、小結(jié)與思考練習(xí)7/28/20251本節(jié)討論:1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,方程當(dāng)C<0時(shí),能確定隱函數(shù);當(dāng)C>0時(shí),不能確定隱函數(shù);2)在方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性、可微性

及求導(dǎo)方法問題.7/28/20252一、一個(gè)方程的情形定理1設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)7/28/20253在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)并求例1驗(yàn)證方程（補(bǔ)充題）解:令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且7/28/202557/28/20256兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩邊再對(duì)x求導(dǎo)令x=0,注意此時(shí)—利用隱函數(shù)求導(dǎo)（自行練習(xí)課本例1）導(dǎo)數(shù)的另一求法7/28/20257若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

,則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,

僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確定理27/28/20258兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則7/28/20259解法1

利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對(duì)x求導(dǎo)例2設(shè)（補(bǔ)充題）7/28/202510設(shè)則兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)（自行練習(xí)課本例2）解法2

利用公式7/28/202511二、方程組的情形隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即7/28/202512的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；定理37/28/202513定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：7/28/202514有隱函數(shù)組則兩邊對(duì)x求導(dǎo)得設(shè)方程組二元線性代數(shù)方程組解的公式在點(diǎn)P的某鄰域內(nèi)故得系數(shù)行列式7/28/202515同樣可得7/28/202516分析：此題可以直接用課本中的公式（6）求解，

但也可按照推導(dǎo)公式（6）的方法來求解.下面用后一種方法求解.7/28/2025177/28/202518解：7/28/202519內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法方法1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算;方法2.代公式課后練習(xí)習(xí)題7－51、3、5、7、10、11（1）（3）思考練習(xí)1.設(shè)求7/28/202520

解法1:7/28/202521由dy,dz的系數(shù)即可得解法2：利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).7/28/202522分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),2.

設(shè)解:

兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得(2001考研)解得因此7/28/202523是由方程和所確定的函數(shù),求解法1

分別在各方程兩端對(duì)x求導(dǎo),得

(99考研)3.設(shè)7/28/202524對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡得消去可得解法2微分法.7/28/202525雅可比(1804–1851)德國數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨(dú)地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ).他對(duì)行列式理論也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引進(jìn)了“雅可比行列式”,并應(yīng)用在微積分中.他的工作還包括代數(shù)學(xué),變分法,復(fù)變函數(shù)和微分方程