必刷小題22排列、組合與二項(xiàng)式定理一、單項(xiàng)選擇題1.C33＋C43＋C53＋…＋A.CC.C解析：B由題意，C33＋C43＋C53＋…＋C103＋C113＝C44＋C43＋C53＋…＋C103＋C113＝C54＋C53＋…＋2.從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（）A.48 B.72C.90 D.96解析：D由于甲不參加生物競(jìng)賽，則安排甲參加另外3場(chǎng)競(jìng)賽或甲不參加任何競(jìng)賽.①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)競(jìng)賽時(shí)，共有C31A43＝72（種）選擇方案；②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何競(jìng)賽時(shí)，共有A44＝24（種）選擇方案.綜上所述，所有參賽方案有72＋3.六名畢業(yè)生（其中4名男生、2名女生）被安排到A，B，C三所學(xué)校實(shí)習(xí)，每所學(xué)校2人，且2名女生不到同一學(xué)校，也不到C學(xué)校，男生甲不到A學(xué)校，則不同的安排方法共有（）A.9種 B.12種C.15種 D.18種解析：D第一步2名女生分配到A，B兩個(gè)學(xué)校，方法數(shù)為A22，第二步A學(xué)校選1名男生，方法數(shù)為C31（不含男生甲），第三步B學(xué)校從剩下的3名男生中選1名，方法為C31，最后還有2名男生到C學(xué)校，4.在（2＋x－x2）5的展開式中，含x4的項(xiàng)的系數(shù)為（）A.－120 B.－40C.－30 D.200解析：C（2＋x－x2）5＝[（2＋x）－x2]5，其展開式為：Tr＋1＝C5r（2＋x）5－r（－x2）r，r＝0，1，…，5，根據(jù)題意可得：r＝0，1，2，當(dāng)r＝0時(shí)，則T1＝（2＋x）5，（2＋x）5展開式為：T'k＋1＝C5k25－kxk，k＝0，1，…，5，∴k＝4，則x4的項(xiàng)的系數(shù)為2C54＝10；當(dāng)r＝1時(shí)，則T2＝C51（2＋x）4（－x2）＝－5x2（2＋x）4，（2＋x）4展開式為：T'k＋1＝C4k24－kxk，k＝0，1，…，4，∴k＝2，則x4的項(xiàng)的系數(shù)為－5×22×C42＝－120；當(dāng)r＝2時(shí)，則T3＝C52（2＋x）3（－x2）2＝10x4（2＋x）3，（2＋x）3展開式為：T'k＋1＝C3k23－kxk，k＝0，1，2，3，∴k＝0，則x4的項(xiàng)的系數(shù)為10×23×C305.某校畢業(yè)典禮上有6個(gè)節(jié)目，考慮到整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起.則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有（）A.120種 B.156種C.188種 D.240種解析：A記演出順序?yàn)?～6號(hào)，按甲的編排進(jìn)行分類：①當(dāng)甲在1號(hào)位置時(shí)，丙、丁相鄰的情況有4種，則有C41A22A33＝48（種）；②當(dāng)甲在2號(hào)位置時(shí)，丙、丁相鄰的情況有3種，共有C31A22A33＝36（種）；③當(dāng)甲在3號(hào)位置時(shí)，丙、丁相鄰的情況有3種，共有C316.將二項(xiàng)式（x＋124x）8的展開式中所有項(xiàng)重新排成一列，有理式項(xiàng)不相鄰的排法種數(shù)為A.AC.A解析：C根據(jù)題意，得Tk＋1＝C8k（x）8－k（124x）k＝C8kx8－k2（12）kx－k4＝（12）kC8kx16－3k4，因?yàn)?≤k≤8且k∈N，當(dāng)k＝0時(shí)，16－3k4＝4，即T1為有理式；當(dāng)k＝4時(shí)，16－3k4＝1，即T5為有理式；當(dāng)k＝8時(shí)，16－3k4＝－2，即T9為有理式；當(dāng)k∈{1，2，3，5，6，7}時(shí)，16－3k4?Z，即Tk＋1為無理式；所以（x＋1247.第18屆亞運(yùn)會(huì)召開前，某高校3位男同學(xué)和2位女同學(xué)通過篩選加入志愿者服務(wù)，通過培訓(xùn)，擬安排在游泳、籃球、射擊、體操四個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，這四個(gè)項(xiàng)目都有人參加，要求2位女同學(xué)不安排一起，且男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅由于專業(yè)需要必須分開，則不同的安排方法種數(shù)為（）A.144 B.150C.168 D.192解析：D由題可得，參與志愿服務(wù)的項(xiàng)目人數(shù)為：2，1，1，1，若沒有限制則共有C52·A44＝240種安排方法；當(dāng)兩個(gè)女同學(xué)在一起有A44＝24種安排方法；當(dāng)男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅在一起有A44＝24種方法，所以當(dāng)要求2位女同學(xué)不安排一起，且男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅由于專業(yè)需要必須分開，則不同的安排方法種數(shù)為240－8.有5列火車分別準(zhǔn)備停在某車站并行的5條軌道上，若快車A不能停在第3道上，貨車B不能停在第1道上，則5列火車不同的停靠方法數(shù)為（）A.56 B.63C.72 D.78解析：D若沒有限制，5列火車可以隨便停，則有A55種不同的?？糠椒?；快車A停在第3道上，則5列火車不同的?？糠椒锳44種；貨車B停在第1道上，則5列火車不同的?？糠椒锳44種；快車A停在第3道上，且貨車B停在第1道上，則5列火車不同的停靠方法為A33種，故符合要求的5列火車不同的?？糠椒〝?shù)為A55－2A二、多項(xiàng)選擇題9.已知二項(xiàng)式（2x－ax）7的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，則下列結(jié)論正確的是（A.a＝1B.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為256C.展開式中第5項(xiàng)為280D.展開式中x－5的系數(shù)為－14解析：AC對(duì)于A，令x＝1可得（2－a）7＝1，解得a＝1，故A正確；對(duì)于B，二項(xiàng)式系數(shù)和為27＝128，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，（2x－1x）7展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C7r27－r（－1）rx7－2r，第5項(xiàng)即r＝4，所以T5＝C74·23（－1）4x－1＝280x，故C正確；對(duì)于D，令7－2r＝－5，解得r＝6，所以展開式中x－5的系數(shù)為C7621（－1）6＝14，10.現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學(xué)專家到A，B，C，D，E五家醫(yī)院進(jìn)行交流學(xué)習(xí)，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（）A.所有可能的安排方法有125種B.若A醫(yī)院必須有專家去，則不同的安排方法有61種C.若專家甲必須去A醫(yī)院，則不同的安排方法有16種D.若三名專家所選醫(yī)院各不相同，則不同的安排方法有10種解析：AB對(duì)于A，每名專家有5種選擇方法，則所有可能的安排方法有53＝125種，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，所有可能的方法有53種，A醫(yī)院沒有專家去的方法有43種，所以A醫(yī)院必須有專家去的不同的安排方法有53－43＝61種，B正確；對(duì)于C，專家甲必須去A醫(yī)院，則專家乙、丙的安排方法有52＝25種，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，三名專家所選醫(yī)院各不相同的安排方法有A53＝60種，D錯(cuò)誤.故選A11.已知（3x－1）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，設(shè)（3x－1）n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為Sn，Tn＝a1＋a2＋…＋an，則（）A.a0＝1B.Tn＝2n－（－1）nC.n為奇數(shù)時(shí)，Sn＜Tn；n為偶數(shù)時(shí)，Sn＞TnD.Sn＝Tn解析：BC由題意知Sn＝2n，令x＝0，得a0＝（－1）n，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，所以Tn＝2n－（－1）n，故選B、C.12.將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)Cnr都換成1（n+1）Cnr，得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形.萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”兩個(gè)數(shù)之和，如果n≥2（第0行1第1行12第2行1316第3行141121……第n行1（n+1）CnA.第8行第2個(gè)數(shù)是1B.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最大值C.1（n+1）Cnr＝1（n+1）D.1（n+1）Cnr－1＋1（n+1）解析：AC對(duì)于A，第8行第2個(gè)數(shù)是1（8+1）C81＝172，A正確；對(duì)于B，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最小值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最小值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于組合數(shù)的性質(zhì)Cnr＝Cnn－r，所以1（n+1）Cnr＝1（n+1）Cnn三、填空題13.（1－x）（1＋2x）6展開式中x3的系數(shù)為.答案：100解析：因?yàn)椋?－x）（1＋2x）6＝（1＋2x）6－x（1＋2x）6，且（1＋2x）6展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C6r（2x）r＝2rC6rxr，故x3的系數(shù)為23C6314.某醫(yī)院從7名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師），6名女醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）中選派4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生支援抗震救災(zāi)工作，若要求選派的醫(yī)生中有主任醫(yī)師，則不同的選派方案數(shù)為.答案：550解析：若選派的主任醫(yī)師只有一名男主任醫(yī)師，此時(shí)再從剩余的6名男醫(yī)生中選派3名男醫(yī)生，從5名女醫(yī)生（主任醫(yī)師除外）中選派3名女醫(yī)生，有C63C53＝200種，若選派的主任醫(yī)師只有一名女主任醫(yī)師，此時(shí)再從剩余的6名男醫(yī)生（主任醫(yī)師除外）中選派4名男醫(yī)生，從5名女醫(yī)生中選派2名女醫(yī)生，有C64C52＝150種，若男、女主任醫(yī)師均選派，此時(shí)再從剩余的6名男醫(yī)生中選派3名，5名女醫(yī)生中選派2名，有C63C515.已知（ax2－1x）n（a＞0）的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則a＋n＝答案：13解析：由于展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，∴Cn3＝Cn7，即Cnn－3＝Cn7，解得n＝10