第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性課標(biāo)要求1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解函數(shù)的周期性及其幾何意義.2.會(huì)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D且f（－x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)且f（－x）＝－f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱提醒函數(shù)存在奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.2.函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D，都有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期；（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期.1.函數(shù)奇偶性常用結(jié)論（1）如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則一定有f（0）＝0；如果函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，那么f（x）＝f（｜x｜）；（2）奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f（x）定義域內(nèi)任一自變量x：（1）若f（x＋a）＝－f（x），則T＝2a（a＞0）；（2）若f（x＋a）＝1f（x），則T＝2a（（3）若f（x＋a）＝－1f（x），則T＝2a（1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函數(shù).（×）（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則一定有f（0）＝0.（×）（3）若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT（n∈Z，n≠0）也是函數(shù)的周期.（√）2.（人A必修一P84例6改編）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A.y＝x2sinx B.y＝x2cosxC.y＝ln｜x｜ D.y＝2－x解析：A根據(jù)奇函數(shù)的定義知奇函數(shù)滿足f（－x）＝－f（x），且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A選項(xiàng)為奇函數(shù)；B選項(xiàng)為偶函數(shù)；C選項(xiàng)為偶函數(shù)；D選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).3.（蘇教必修一P127習(xí)題5題改編）已知f（x）＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是（）A.－13 B.C.12 D.－解析：B顯然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝13，∴a＋b＝14.（人A必修一P203練習(xí)4題改編）已知函數(shù)f（x）滿足f（x＋3）＝f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）＝x2＋4，則f（2026）＝5.解析：因?yàn)閒（x＋3）＝f（x），所以f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，所以f（2026）＝f（675×3＋1）＝f（1）＝5.5.已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝2x＋m，則f（－3）＝－7.解析：由結(jié)論知f（0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f（x）＝2x－1（x≥0），則f（－3）＝－f（3）＝－（23－1）＝－7.函數(shù)奇偶性的判斷（師生共研過關(guān)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x2－1解：（1）f（x）的定義域?yàn)閧－1，1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0，所以f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜；解：（2）f（x）的定義域?yàn)镽，且f（－x）＝｜－x＋1｜－｜－x－1｜＝｜x－1｜－｜x＋1｜＝－f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù).（3）f（x）＝1－解：（3）由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2＞0，所以f（x）＝1－x2x，定義域?yàn)閇－1，0）∪（0，1又f（－x）＝1-(-x）2－所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù).（4）f（x）＝x解：（4）法一（圖象法）畫出函數(shù)f（x）＝x2＋x，x<0，x2－x，x法二（定義法）易知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，＋∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2－x，則當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝x2＋x，則當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函數(shù)是偶函數(shù).法三（性質(zhì)法）f（x）還可以寫成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）為偶函數(shù).解題技法函數(shù)奇偶性的判斷方法（1）定義法（2）圖象法（3）性質(zhì)法：設(shè)f（x），g（x）的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.提醒對(duì)函數(shù)奇偶性的判斷，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函數(shù)f（x）是奇函數(shù).1.（2024·天津高考4題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A.f（x）＝ex－x2x2+1 C.f（x）＝ex－xx+1 D.解析：B法一對(duì)于A，f（－x）＝e－x-(-x）2(-x）2+1＝e－x－x2x2+1≠f（x），故f（x）不是偶函數(shù)；對(duì)于B，f（－x）＝cos(-x）＋(-x）2(-x）2+1＝cosx＋x2x2+1＝f（x），故f（x）是偶函數(shù)；對(duì)于C，f（x）的定義域?yàn)榉ǘㄌ厥庵捣ǎ?duì)于A，f（1）＝e－11+1＝e－12，f（－1）＝e－1－11+1＝e－1－12，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函數(shù)；對(duì)于B，f（－x）＝cos(-x）＋(-x）2(-x）2+1＝cosx＋x2x2+1＝f（x），故f（x）是偶函數(shù)；對(duì)于C，f（x）的定義域?yàn)閧x｜x≠－1}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f（x）不是偶函數(shù)法三（性質(zhì)法）易知y＝x2＋1與y＝e｜x｜均為偶函數(shù)，且恒為正.對(duì)于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函數(shù)，所以f（x）也是非奇非偶函數(shù)；對(duì)于B，y＝cosx＋x2是偶函數(shù)，所以f（x）是偶函數(shù)；對(duì)于C，易知f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）是非奇非偶函數(shù)；對(duì)于D，y＝sinx＋4x是奇函數(shù)，所以f（x）是奇函數(shù)，故選B.2.設(shè)函數(shù)f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，則f（x）（）A.是偶函數(shù)，且在（12，＋∞）B.是奇函數(shù)，且在（－12，12C.是偶函數(shù)，且在（－∞，－12）D.是奇函數(shù)，且在（－∞，－12）解析：Df（x）的定義域?yàn)閧x｜x≠±12}，f（－x）＝ln｜－2x＋1｜－ln｜－2x－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），則f（x）為奇函數(shù).當(dāng)x∈（－12，12）時(shí)，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（－∞，－12）時(shí)，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（－2x＋1）＝ln（2x+12x－1）＝ln函數(shù)奇偶性的應(yīng)用（定向精析突破）考向1利用函數(shù)奇偶性求值（解析式）（1）已知偶函數(shù)f（x），當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）＝2sinx，當(dāng)x∈[2，＋∞）時(shí)，f（x）＝log2x，則f（－π3）＋f（4）＝（C）A.－3＋2 B.1C.3＋2 D.3解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）＝2sinx，所以f（－π3）＝f（π3）＝2sinπ3＝3.又因?yàn)楫?dāng)x∈[2，＋∞）時(shí)，f（x）＝log2x，所以f（4）＝log24＝2，所以f（－π3）＋f（4）＝（2）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝2x－2x＋a，則a＝－1；當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝－2－x－2x＋1.解析：（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝2x－2x－1，設(shè)x＜0，則－x＞0，所以f（－x）＝2－x－2（－x）－1＝2－x＋2x－1，又f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－2－x－2x＋1.解題技法函數(shù)奇偶性的應(yīng)用類型及解題策略（1）求解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f（x）的方程式（組），從而得到f（x）的解析式；（2）求函數(shù)值：將待求函數(shù)值利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；（3）求參數(shù)值：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f（x）±f（－x）＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性，得出參數(shù)的值.對(duì)于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f（x），可考慮列等式f（0）＝0求解.考向2利用函數(shù)奇偶性解不等式（2025·朔州高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x（x＋2）.若f（3＋m）＋f（3m－7）＞0，則m的取值范圍為（）A.（－∞，0） B.（0，＋∞）C.（－∞，1） D.（1，＋∞）解析：D當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）的對(duì)稱軸為x＝－1，故f（x）在[0，＋∞）上單調(diào)遞增.函數(shù)在x＝0處連續(xù)，又f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，故f（x）在R上是增函數(shù).因?yàn)閒（－x）＝－f（x），由f（3＋m）＋f（3m－7）＞0，可得f（3＋m）＞f（7－3m），又因?yàn)閒（x）在R上是增函數(shù)，所以3＋m＞7－3m，解得m＞1.故選D.解題技法利用函數(shù)的奇偶性解不等式的解題策略利用奇、偶函數(shù)的圖象特征或根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，將問題轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)求解，涉及偶函數(shù)時(shí)常用f（x）＝f（｜x｜），將問題轉(zhuǎn)化到區(qū)間[0，＋∞）上求解.1.（2024·開封第二次質(zhì)量檢測(cè)）若函數(shù)f（x）＝a2x－1，x<0A.0 B.－1C.1 D.±1解析：C法一（定義法）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（－x）＝－f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，f（－x）＝－a2x－1，－f（x）＝－x－a，則－a2x－1＝－x－a，可得a＝1，故選C.法二（特殊值法）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（－1）＝－f（1），即－a2－1＝－（1＋a），解得a＝0或a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)a＝1符合題意，故選C.2.已知偶函數(shù)f（x）在（－∞，0]上單調(diào)遞減，且f（1）＝0，則不等式xf（x－2）＞0的解集為（）A.（1，3） B.（3，＋∞）C.（－3，－1）∪（3，＋∞） D.（0，1）∪（3，＋∞）解析：D偶函數(shù)f（x）在（－∞，0]上單調(diào)遞減，則在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.因?yàn)閒（1）＝0，則當(dāng)x＞0時(shí)，xf（x－2）＞0即f（｜x－2｜）＞0＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以x∈（0，1）∪（3，＋∞）.當(dāng)x＜0時(shí)，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜0，f（｜x－2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以解集為空集.綜上，原不等式的解集為（0，1）∪（3，＋∞）.函數(shù)的周期性（師生共研過關(guān)）（1）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x都有f（x＋2）＝13f（x），且f（2）＝2，則f（2026）＝解析：（1）因?yàn)閒（x＋2）＝13f（x），所以f（x＋4）＝13f（x+2）＝1313f（x）＝f（x），所以f（x）的周期為4，所以f（2026）＝（2）已知偶函數(shù)f（x）滿足f（x＋2）＝f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝cosπ2x，則x∈[2025，2026]時(shí)，f（x）＝－cosπ2x解析：（2）因?yàn)閒（x＋2）＝f（x），所以f（x）的周期為2.設(shè)x∈[2025，2026]，則x－2026∈[－1，0]，因此2026－x∈[0，1]，因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝cosπ2x，所以f（2026－x）＝cos［π2（2026－x）］＝cos（1013π－π2x）＝－cosπ2x，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的周期為2，且為偶函數(shù)，所以f（2026－x）＝f（－x）＝f（x），故當(dāng)x∈[2025，2026]時(shí)，f（x）＝－cos解題技法函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用（1）判定：判斷函數(shù)為周期函數(shù)只需證明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）即可，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題；（2）應(yīng)用：根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上的功能.在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT（k∈Z且k≠0）也是函數(shù)的周期.1.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x＋1）＝f（x）－2，則下列是周期函數(shù)的是（）A.y＝f（x）－x B.y＝f（x）＋xC.y＝f（x）－2x D.y＝f（x）＋2x解析：D依題意，定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x＋1）＝f（x）－2，所以f（x＋1）＋2（x＋1）＝f（x）＋2x，所以y＝f（x）＋2x是周期為1的周期函數(shù).2.已知f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f（x）＝x3－x，則函數(shù)y＝f（x）的圖象在區(qū)間[0，4]上與x軸的交點(diǎn)有5個(gè).解析：當(dāng)0≤x＜2時(shí)，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1＝0，x2＝1.當(dāng)2≤x＜4時(shí)，0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期為2，所以f（x－2）＝f（x），所以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以當(dāng)2≤x＜4時(shí)，y＝f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3＝2，x4＝3.又f（4）＝f（2）＝f（0）＝0，綜上可知，共有5個(gè)交點(diǎn).1.已知函數(shù)f（x）滿足對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x＋3）＝1f（x），且f（3）＝13，則f（2A.－13 B.C.－1 D.1解析：B由f（x＋3）＝1f（x）得f（x）的周期T＝6，f（2025）＝f（337×6＋3）＝f（2.已知函數(shù)f（x）＝x3－1x3，則f（x）（A.是偶函數(shù)，且在（0，＋∞）上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在（0，＋∞）上單調(diào)遞增C.是偶函數(shù)，且在（0，＋∞）上單調(diào)遞減D.是奇函數(shù)，且在（0，＋∞）上單調(diào)遞減解析：Bf（x）的定義域?yàn)閧x｜x≠0}，f（－x）＝－（x3－1x3）＝－f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x3單調(diào)遞增，y＝－1x3單調(diào)遞增.故函數(shù)f（x）＝x3－1x3在x＞3.（2025·湛江一模）已知函數(shù)f（x）＝（2x－a2x）·cosx是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝（A.1 B.－1C.2 D.－2解析：B∵f（x）的定義域?yàn)镽，f（－x）＝（2－x－a2－x）·cos（－x）＝（－a·2x＋12x）cosx，f（x）為偶函數(shù)，∴f（－x）＝f（x），則－a＝1，解得a＝－4.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R都有f（x＋2）＝－f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）＝x2＋ax＋b，則a＋b＝（）A.0 B.－1C.－2 D.2解析：C因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且x∈[0，2]時(shí)，f（x）＝x2＋ax＋b，所以f（0）＝b＝0，f（－x）＝－f（x）.又對(duì)任意的x∈R，都有f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋2）＝f（－x），所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以－a2＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.故選C5.〔多選〕函數(shù)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f（x）－g（x）＝x3＋x2－1，則（）A.f（－1）＝－1 B.g（－1）＝－2C.f（1）＋g（1）＝1 D.f（1）＋g（1）＝2解析：AC法一由f（x）－g（x）＝x3＋x2－1得f（－x）－g（－x）＝－x3＋x2－1，又f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以－f（x）－g（x）＝－x3＋x2－1.由f（x)-g（x）＝x3＋x2－1，－f（x)-g（x）＝－x3＋x2－1，得f（x）＝x3，g（x）＝－x2＋1.對(duì)于A，f（－1）＝（－1）3＝－1，故A正確；對(duì)于B，g（－1）＝－（－1）法二因?yàn)閒（x）－g（x）＝x3＋x2－1，且f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，將x＝－1代入得f（－1）－g（－1）＝－1，所以－f（1）－g（1）＝－1，即f（1）＋g（1）＝1，故C正確，D錯(cuò)誤；將x＝1代入得f（1）－g（1）＝1，又f（1）＋g（1）＝1，所以f（1）＝1，g（1）＝0，所以f（－1）＝－1，g（－1）＝0，故A正確，B錯(cuò)誤.6.〔多選〕函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）與f（x＋1）都為奇函數(shù)，則（）A.f（x－1）為奇函數(shù) B.f（x）為周期函數(shù)C.f（x＋3）為奇函數(shù) D.f（x＋2）為偶函數(shù)解析：ABC由題意知：f（－x－1）＋f（x＋1）＝0且f（－x＋1）＋f（x＋1）＝0，∴f（1－x）＝f（－1－x），即f（x－1）＝f（x＋1），可得f（x）＝f（x＋2），∴f（x）是周期為2的函數(shù)，且f（x－1），f（x＋2）為奇函數(shù)，故A、B正確，D錯(cuò)誤；由上知：f（x＋1）＝f（x＋3），即f（x＋3）為奇函數(shù)，C正確.故選A、B、C.7.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8（a，b是常數(shù)），且f（－3）＝5，則f（3）＝－21.解析：令g（x）＝x5＋ax3＋bx，則g（－x）＝（－x）5＋a（－x）3＋b（－x）＝－g（x），即g（x）是奇函數(shù)，依題意，g（x）＝f（x）＋8，而g（－3）＋g（3）＝0，則f（－3）＋8＋f（3）＋8＝0，又f（－3）＝5，所以f（3）＝－21.8.（2025·中山模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f（x）＝2x－sin2x，則不等式f（x2）＋f（3x－4）＜0的解集為（－4，1）.解析：由f（x）＝2x－sin2x得f'（x）＝2－2cos2x＝2（1－cos2x）≥0，所以函數(shù)f（x）＝2x－sin2x是R上的增函數(shù)，又由f（－x）＝－2x－sin（－2x）＝－（2x－sin2x）＝－f（x）得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則由f（x2）＋f（3x－4）＜0得f（x2）＜－f（3x－4）＝f（4－3x），所以x2＜4－3x?x2＋3x－4＜0?（x－1）（x＋4）＜0，解得－4＜x＜1.9.設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）＝2x－x2.（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；解：（1）證明：因?yàn)閒（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.所以f（x）是周期為4的周期函數(shù).（2）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f（x）的解析式.解：（2）因?yàn)閤∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，所以4－x∈[0，2]，所以f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8.因?yàn)閒（4－x）＝f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝－x2＋6x－8，即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，4].10.已知函數(shù)f（x）（x∈R，且x≠0）對(duì)任意不等于0的實(shí)數(shù)x1，x2都有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2），則f（x）為（）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù) D.既為奇函數(shù)也為偶函數(shù)解析：B令x1＝x2＝1得f（1）＝f（1）＋f（1），即f（1）＝0，令x1＝x2＝－1得f（1）＝f（－1）＋f（－1），即f（－1）＝0，令x1＝－1，x2＝x得f（－x）＝f（－1）＋f（x），即f（－x）＝f（x），所以f（x）是偶函數(shù)，故選B.11.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，y＝f（x）＋ex是偶函數(shù)，y＝f（x）－3ex是奇函數(shù)，則函數(shù)f（x）的最小值為（）A.e B.22C.23 D.2e解析：B因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）＋ex是偶函數(shù)，則f（－x）＋e－x＝f（x）＋ex，即f（x）－f（－x）＝e－x－ex①，又因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）－3ex是奇函數(shù)，則f（－x）－3e－x＝－f（x）＋3ex，即f（x）＋f（－x）＝3ex＋3e－x②，聯(lián)立①②可得f（x）＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f（x）＝ex＋2e－x≥2ex·2e－x＝22，當(dāng)且僅當(dāng)ex＝2e－x，即x＝12ln2時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)f（x）12.〔多選〕（2024·九省聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（12）≠0，若f（x＋y）＋f（x）f（y）＝4xy，則（A.f（－12）＝0 B.f（12）C.函數(shù)f（x－12）是偶函數(shù) D.函數(shù)f（x＋12解析：ABD當(dāng)x＝0，y＝12時(shí)，f（12）＋f（0）f（12）＝0，f（12）（1＋f（0））＝0，而f（12）≠0，所以f（0）＝－1，當(dāng)x＝－12，y＝12時(shí)，f（0）＋f（－12）f（12）＝－1，f（－12）f（12）＝0，所以f（－12）＝0，故A正確；f（x）過（0，－1），（－12，0），令f（x）＝kx＋b，則b＝－1，－12k＋b=0，解得b＝－1，k＝－2，所以f（x）＝－2x－1，f（x＋y）＋f（x）f（y）＝－2（x＋y）－1＋（－2x－1）（－2y－1）＝4xy，符合題意，所以f（12）＝－2，故B正確；f（x－12）＝－2（x－12）13.已知定義在R上的函數(shù)y＝f（x）滿足：①對(duì)于任意的x∈R，都有f（x＋1）＝1f（x）；②函數(shù)y＝f（x）是偶函數(shù)；③當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＝x＋ex，則f（－32），f（214），f（223）從小到大的排列是：f（－32）＜f（22解析：由f（x＋1）＝1f（x），得f（x＋2）＝1f（x+1）＝f（x），故函數(shù)y＝f（x）的周期為2，f（－32）＝f（12），f（223）＝f（8－23）＝f（－23）＝f（23），f（214）＝f（6－34）＝f（34），∵當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＝x＋ex單調(diào)遞增，∴f（12）＜f（23）＜f（14.已知函數(shù)f（x）是定義在[－3，3]上的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x≤3時(shí)，f（x）＝12x2＋x（1）求當(dāng)－3≤x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式；解：（1）設(shè)－3≤x＜0，則0＜－x≤3，所以f（－x）＝12（－x）2－x＝12