第四屆北京高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽試題及參考答案

試題

1.（滿分20分）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前沒行一段距離才干

停住。我們稱這段距離為“剎車距離”。剎車距離是分析事故的一個重要的因素。在一個限

速為40千米/時的路段上：先后有A.B兩輛汽車發(fā)生交通事故。事故后，交通警察現(xiàn)場測得

A車的剎車距離超過12米，局限性15米，B車的剎車距離超過11米，局限性12米。又知

A.B兩種車型的剎車距離S（米）與車速x（千米/時）之間有如下關(guān)系：假如僅僅考慮

汽車的車速因素，哪輛車應(yīng)負(fù)責(zé)任？

2.（滿分20分）北京電視臺每星期六晚播出《東芝動物樂園》，在這個節(jié)目中曾經(jīng)有這樣

一個搶答題：小晰蜴體長15cm,體重15g,問：當(dāng)小晰蜴長到體長為20cm時，它的體重大約

是多少（選擇答案：2（）g,25g,35g,40g）?嘗試用數(shù)學(xué)分析出合理的解答。

3.（滿分20

分）受日月

的引力，海

水會發(fā)生漲

落，這種現(xiàn)

象叫做潮

汐。在通常

的情況下，

船在漲潮時

駛進(jìn)航道，水深（米）時刻水深（米）時刻水深（米）

靠近船塢；

卸貨后落潮

時返回海

洋。下面是

某港1」順某

季節(jié)天天的

時間與水深

關(guān)系表.

時刻

0:005.08:003.116:007.4

1:006.29:002.517:006.9

2:007.110:002.418:005.9

3:007.511:003.519:004.4

4:007.312:004.420:003.3

5:006.513:005.621:002.5

6:005.314:006.722:002.7

7:004.115:007.223:003.8

（1）請在坐標(biāo)紙上，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用連續(xù)曲線描出時間與水深關(guān)系的函數(shù)圖像;

（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5的安

全間隙（船底與洋底的距離），問該船何時能進(jìn)入港口？在港II能呆多久？

（3）若某船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以每

小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？

4.（滿分20分）2023年末，某商家迎來店慶，為了吸引顧客，采用“滿一百送二十,

連環(huán)送”的酬賓方式，即顧客在店內(nèi)花錢滿100元（這10。元可以是鈔票，也可是獎勵券，或

兩者合計），就送20元獎勵券；滿200元，就送40元獎勵券，滿300元，就送60元獎勵

券；……當(dāng)天，花錢最多的一顧客用鈔票70000元，假如按照酬賓方式，他最多能得到多

少優(yōu)惠呢？相稱十商家打了幾折銷售？

5.（滿分20分）某城市準(zhǔn)備舉行書畫展覽，為了保證展品安全，展覽的保衛(wèi)部門準(zhǔn)

備安排保安員值班。情況如下：

①展覽大廳是長方形，內(nèi)設(shè)均勻頒的mXn個長方形展區(qū)，如圖所示（下圖是一個3X4個展

區(qū)的示意圖）。在展廳中，展覽的書畫被掛在每個展區(qū)的外墻上，參觀者在通道上瀏覽書畫。

n^~iu?【匚1

?城區(qū)―??展區(qū)】

?疆區(qū)一??展區(qū)I

?展區(qū)—1?展區(qū)11

②保安員站在固定的位置上，不允許轉(zhuǎn)身，只能監(jiān)視他的左右兩側(cè)和正前方，形如“T”形

的區(qū)域。且一個保安員的正前方不安排其它保安員。

③不考慮保安員的輪崗、換班問題。

④展口的安全意味著每一個展區(qū)的四周外墻都在保安員的監(jiān)視范圍內(nèi)。

問題：（1）對于如上圖所示的展廳中，最少需要幾個保安員能使展品安全？在圖中標(biāo)明

保安員的位置（不規(guī)定證明）。

（2）假如展要有nXm個展區(qū)，最少需要多少個保安員能使展品安全？請證明你的結(jié)論。

競賽參考答案

1.解法一：由題意得這兩輛汽車的剎車距離分別滿足如下的關(guān)系式：

12<<15,

11<<12,

分別求解這兩個不等式，得

30<<<35,

12<一5+A/1525<與<-5+J1525<45.

可見，A車無責(zé)任，B車應(yīng)付責(zé)任。

解法二：假如==40km/h,則可以算得=20m,=10m。由于A車實際剎車距離沒有超

過它按限速行駛的剎車距離=20m；而B車實際剎車距離超過了它按限速行駛時的剎車距離

=10mo

可見A車無責(zé)任，B車應(yīng)付責(zé)任。

2.解：假設(shè)小晰蜴從15cm長到20cm,體形是相似的。這時晰蜴的體重正比于它的

體積，而體積與體長的立方成正比。

記體長為1的晰蜴的體重為，因此有

2Q3

?。?嗎5評=35.56（g）

合理的答案應(yīng)當(dāng)是35g。

3.解：（1）描點作圖，設(shè)x表達(dá)時間，y表達(dá)水深。

（2）由題目條件，水深至少為5.5米時才干保證貨船駛?cè)敫劭诘陌踩?。為此在上圖中

做一條y=5.5的水平直線a。圖象在a止方時，其相應(yīng)的x范圍為貨船駛?cè)敫劭诘陌踩珪r間

段，從圖中可以看出，這個時間段約為0:30到5:40分，或13:00到18:20（有10分鐘左

右的偏差可以算對?），在港口停留的時間大約為5小時。

也可以用線性插值方法，在已知點中，若相鄰兩點在直線a的異側(cè)，設(shè)加在它們中間且

過直線a的點與它們共線，于是

運用點（0,5）和（1,6.2）,得=（5.5-5）/（6.2-5）=0.417,相應(yīng)的時間為0:25；

運用點（5,6.5）和（6,5.3）,得=5.83,相應(yīng)的時間為5:50。由此得到第一個滿足條

件的時間段約為0:25-5:￡0。

同理，運用點（12,4.4）和（13,5.6）,得=12.92,相應(yīng)的時間為12:55；運用點（18,5.9）

和（19,4.4）,得:18.27：相應(yīng)的時間為18:16。由此得到第二個滿足條件的時間段約為

12:55-18:160

（3）2:00時水深為7.1米，船需要的安全水深隨著卸貨時間的變化公式為：

y=5.5-0.3（x-2）;

其中2QC5.83,此處運用了插值的結(jié)果。在上面的函數(shù)圖象中畫出該圖象，看出與原

圖象的交點大約在7:00左右（有10分鐘左右上午偏差可以算對的），故知在7:00以前該

貨船一定要離開碼頭駛到較深的安全水域。

注：此處也可運用也5.3）,（7,4.1）做線性插值,得y=T.2x+12.5與y=5.5-0.（x-2）,

聯(lián)立可求得x=7.1,即7:06;若運用（7,4.1）,（8,3.1）做線性插值，得y=-x+ll.1與

y=5.5-0.3（x-2）聯(lián)立可求得x=7,即7:00.這些做法與看圖得到的結(jié)果一致。

4.解：購物價值;所用人民幣值+優(yōu)惠值，將最多購物價值記作。

按下列方法購物

第一次用鈔票購物70000元,獲得獎勵券70000X12%=14000（元）；

第二次用鈔票購物14000元，獲得獎勵券14000X20%=2800（元）；

第三次用鈔票購物2800元，獲得獎勵券2800X20%=560（元）；

第四次用鈔票購物500元，獲得獎勵券500X20臟100（元）；

第五次用鈔票購物100元，獲得獎勵券100X20%=20（元）；

第六次用鈔票購物8（）元，獲得獎勵券80（60+20）,獲得獎勵券0元。

至此，鈔票及獎勵券所有用完，共計購物（記作a）

a=70000+14000+2800+500+100+80=87480（元）。而=80。018%,近似于八折。

下面證明4Mx=a.

設(shè)分k次將700co花掉，第i次購物獲得的獎勵券為元，剩下的錢為元（不涉

及第i次獲得的獎勵券），則0WW，并可依次得=（70000-）20%W14000；

=（7000-）20%+[（7000-）20%+-]20即7000020S+70000--20%;

++x3=7000020%+70000儂％）-（20盼2必-20%必+{[70000-丁1）20$+必

-^2]20%+^2-^3）20%

=7000020%+70000（2。%）'+70000（20%）3_（20%）3

2

-（20%）y2-20%*^3；

一般地=7000020%+70000十...+70000--???--20%,

即/+叼+藥+…+&<700（）0[20%+（20%）'+（20%）3+...+（20%）\（i75D0。

則總共購物價值為70000+々+叼+勺+'''+^<70000+17500=87500.

即以a—87480元。接近八折。

5.解：（1）對如圖所示的3X4個展區(qū)，至少要5個保安員才干保證展覽的書畫是安全

的。

保安員站位的方案有多種，其中一個如下圖所示:

(2)對nxm個展區(qū)，至少要m+n-2個保安員才干保證展覽的書畫是安全的。

證明：我們把模型進(jìn)行抽象，把nXm個展區(qū)抽象成一個nXm“格陣”，它有

n+m+2條邊(相應(yīng)待監(jiān)視的走廊),且用字母標(biāo)記如下：

由于保安員監(jiān)視范圍是型區(qū)域，所以稱保安員的位置對慶的“格隈”中的格

點為“T形點v”

這樣，我們把一個實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)模型：在nXm“格陣”中至少取幾人“T”

形點可以用這些T形區(qū)域覆蓋nXm“格陣”的所有n+m+2條邊。

一方面，“T”型點放在nXm“格陣”的外邊框的格點上才干發(fā)揮最大作用，荒蓋

兩條邊。否則，假如在中間某一格點處放一“T”形點P：那么這一“『'形點P的另一邊的

一部分，而另一部分還需要此外的“T”形點去覆蓋，這