第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河北省雄安新區(qū)高一（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=?2+3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.樣本數(shù)據(jù)3，6，9，8，4，5的中位數(shù)為(

)A.5.5 B.6 C.6.5 D.73.若sin(5π?α)=23，則A.73 B.23 C.4.已知事件A，B互斥，P(A∪B)=35，且P(A)=3P(B)，則P(AA.1720 B.1120 C.9205.已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，體積為28，則該正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為(

)A.7 B.10 C.116.已知x，y，z的平均數(shù)與方差均為3，則x2，y2，z2的平均數(shù)為A.9 B.12 C.15 D.207.已知圓O為△ABC的外接圓，且AB+AC=2AO，∠AOB=π3，A.1 B.2 C.23 8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C，的對(duì)邊分別為a，b，c，內(nèi)角A的平分線AD交BC邊于點(diǎn)D.若b=2，c=1，(b+c+a)(b+c?a)=bc，則BD=(

)A.73 B.377 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某AI機(jī)器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率為37.若它連續(xù)嘗試投送兩次，則(

)A.事件“兩次都成功投放”與“恰好成功一次”是互斥事件

B.事件“兩次都未成功投放”與“至少成功一次”是對(duì)立事件

C.事件“第一次成功投放”與“兩次都成功投放”相互獨(dú)立

D.該機(jī)器人至少成功投放一次的概率為3310.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，且函數(shù)f(x)過(guò)點(diǎn)(0,3)，則(

)A.ω=1

B.φ=π3

C.f(x)在區(qū)間[?5π12,11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)A.三棱錐P?A1BD的體積為定值

B.AD1與平面PA1D所成角的正弦值隨著點(diǎn)P從B1移動(dòng)到C越來(lái)越大

C.C1P+AP的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(m,3)，b=(?1,2)，若a⊥b，則m=13.已知復(fù)數(shù)z=5i2+i，則|z|=______．14.已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為33，側(cè)棱長(zhǎng)2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=3sin2x?12cos2x?cos2x+12．

(1)求函數(shù)16.(本小題15分)

某學(xué)校為保障校園科創(chuàng)社團(tuán)成員以良好身體素質(zhì)開(kāi)展創(chuàng)新實(shí)踐，對(duì)“航模社”和“建模社”進(jìn)行專項(xiàng)體能訓(xùn)練.學(xué)期末，從兩個(gè)社團(tuán)各隨機(jī)抽取100人進(jìn)行“障礙跑”成績(jī)測(cè)試(成績(jī)單位：秒)，依據(jù)測(cè)試結(jié)果得到如下頻率分布直方圖．

(1)分別計(jì)算航模社測(cè)試的平均成績(jī)、建模社測(cè)試成績(jī)的72%分位數(shù)(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似代替)；

(2)若測(cè)試成績(jī)?cè)?0秒以內(nèi)(含70秒)為“體能合格”，從兩社團(tuán)“體能合格”成員中按分層隨機(jī)抽樣選5人分享“科創(chuàng)+體能”訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，再?gòu)倪@5人中選2人擔(dān)任經(jīng)驗(yàn)分享會(huì)主持人，求2人都來(lái)自“建模社”的概率．17.(本小題15分)

如圖，在圓錐PO中，AB為底面圓O的直徑，C，D為圓O上不與A，B重合的點(diǎn)，且PO=AB=2，BD=3，AB⊥CD．

(1)求證：BD⊥平面POC；

(2)求異面直線AD與BP所成角的余弦值．18.(本小題17分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若cosAcosCcosB=c2+b2?a22b2．

(1)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)若19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PO=3，點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)EM//平面PCD時(shí)，DE=1．

(1)求AD；

(2)求點(diǎn)D到平面PBC的距離；

(3)設(shè)DEAD=λ，探究當(dāng)λ為何值時(shí)，直線PE

答案解析1.【答案】B

【解析】解：復(fù)數(shù)z=?2+3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)(?2,3)，位于第二象限，

故選：B．

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，比較基礎(chǔ)．2.【答案】A

【解析】解：已知據(jù)樣本數(shù)據(jù)3，6，9，8，4，5，

則小到大排列為3，4，5，6，8，9，共5個(gè)數(shù)，

所以所求中位數(shù)是5+62=5.5．

故選：A．

將給定數(shù)據(jù)由小到大排列，利用中位數(shù)的定義求解．3.【答案】B

【解析】解：sin(5π?α)=sinα=23．

故選：B．4.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，事件A，B互斥，P(A∪B)=35，則有P(A)+P(B)=35，

而P(A)=3P(B)，

解可得P(A)=920，故P(A?)=1?P(A)=5.【答案】C

【解析】解：如圖，

作A1E⊥AC于E，則A1E即為正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的高，

由棱臺(tái)的體積為28，得V=13(22+42+6.【答案】B

【解析】解：已知x，y，z的平均數(shù)與方差均為3，

s2=1n(i=1nxi2?nx?2)=13(x2+y27.【答案】D

【解析】解：已知圓O為△ABC的外接圓，且AB+AC=2AO，AO=2，

則O為BC中點(diǎn)，

則AB⊥AC，BC=2AO=4，

又∠AOB=π3，

所以∠ACB=π6，∠ABC=π3，AB=BCcos∠ABC=4cosπ3=2，

所以BA?BC=|BA||BC|8.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?b+c+a)(b+c?a)=bc，所以(b+c)2?a2=bc，

所以b2+2bc+c2?a2=bc，即b2+c2?a2=?bc，

由余弦定理得：cosA=b2+c2?a22bc=?bc2bc=?12，

又因?yàn)?<A<π，所以A=2π3，

在△ABC中，因?yàn)锳D為角A的平分線，b=2，c=1，9.【答案】ABD

【解析】解：某AI機(jī)器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率為37，它連續(xù)嘗試投送兩次，

對(duì)于A，“兩次都成功投放”與“恰好成功一次”不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故A正確；

對(duì)于B，“兩次都未成功投放”與“至少成功一次”不可能同時(shí)發(fā)生，

但必有一個(gè)發(fā)生，是對(duì)立事件，故B正確；

對(duì)于C，設(shè)“第一次成功投放”為事件A，“兩次都成功投放”為事件B，

則P(A)=37,P(B)=37×37=949，

P(AB)=949≠P(A)P(B)，∴兩個(gè)事件相互不獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，“至少成功一次”的對(duì)立事件是“兩次都未成功投放”，

“兩次都未成功”的概率為(1?37)2=10.【答案】BC

【解析】解：由題意得f(x)的周期T滿足T2=7π12?π12=π2，

可得T=2πω=π，解得ω=2，可知A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)楫?dāng)x=π12時(shí)，f(x)取得最大值，

所以2×π12+φ=π2+2kπ(k∈Z)，結(jié)合0<φ<π，解得φ=π3，故B選項(xiàng)正確；

可得f(x)=Asin(2x+π3)，其中A>0，

由?5π12≤x≤π12，可得?π211.【答案】ACD

【解析】解：選項(xiàng)A，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，△A1BD的面積為定值，而B(niǎo)1C/?/A1D，

A1D?平面A1BD，B1C?平面A1BD，則B1C/?/平面A1BD，

即點(diǎn)P到平面A1BD的距離為定值，

因此三棱錐P?A1BD的體積為定值，故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B，由CD⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，

所以CD⊥AD1，因?yàn)锳1D⊥AD，A1D∩CD=D，A1D，CD?平面PA1D，

所以AD1⊥平面PA1D，

所以AD1與平面PA1D所成角為π2，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C，將正△AB1C與等腰Rt△B1C1C置于同一平面，連接AC1∩12.【答案】6

【解析】解：向量a=(m,3)，b=(?1,2)，

若a⊥b，

則a?b=?m+6=0，解得m=6．

13.【答案】5【解析】解：z=5i2+i=5i(2?i)(2+i)(2?i)=1+2i，

則|z|=1214.【答案】48π

【解析】解：在正三棱錐P?ABC中，正△ABC的邊長(zhǎng)為33，

取線段AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，

則PD⊥AB，CD⊥AB，CD=ACsin60°=92，

設(shè)點(diǎn)P在底面ABC的射影為點(diǎn)O，

則O為正△ABC的中心，OC=23CD=3，

則PO=PC2?OC2=(33)2?32=3，

設(shè)正三棱錐P?ABC的外接球球心為H，

則H在直線PO上，設(shè)球H的半徑為R，

則15.【答案】[kπ?π6,kπ+π3](k∈Z)【解析】(1)因?yàn)閒(x)=3sin2x?12cos2x?cos2x+12

=3sin2x?12cos2x?1+cos2x2+12

=3sin2x?cos2x

=2sin(2x?π6)，

由2kπ?π2≤2x?π6≤2kπ+π2,(k∈Z)，

即kπ?π6≤x≤kπ+π3，k∈Z16.【答案】73；75；

310．【解析】(1)(0.016+0.024+0.032+a+0.008)×10=1，解得a=0.020，

(0.002+0.058+0.024+b+0.006)×10=1，解得b=0.010，

則航模社測(cè)試的平均成績(jī)x?=0.16×55+0.24×65+0.32×75+0.20×85+0.08×95=73，

設(shè)建模社測(cè)試成績(jī)的72%分位數(shù)為x，又[50,60)的頻率為0.02，

[60,70)的頻率為0.58，[70,80)的頻率為0.24，

其中0.02+0.58=0.6<0.7，0.02+0.58+0.24=0.84>0.7，

∴x在[70,80)之間，

則(x?70)×0.024=0.72?0.02?0.58=0.12，解得x=75，

∴建模社測(cè)試成績(jī)的72%分位數(shù)為75；

(2)根據(jù)題意，航模社“體能合格”的人數(shù)為(0.16+0.24)×100=40人，

建模社“體能合格”的人數(shù)為(0.02+0.58)×100=60人，

故航模社“體能合格”與建模社“體能合格”的人數(shù)之比為40：60=2：3，

則按分層隨機(jī)抽樣從航模社抽取2人，分別為(A1,A2)，建模社抽取3人，分別為(B1,B2,B3)，

再?gòu)倪@5人中選2人擔(dān)任經(jīng)驗(yàn)分享會(huì)主持人共有：

(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)17.【答案】證明見(jiàn)解析；

510【解析】(1)證明：連接BC，延長(zhǎng)CO交BD于點(diǎn)F，

因?yàn)锳B為底面圓O的直徑，所以AD⊥BD，

又AB=2,BD=3，所以AD=1，∠ABD=30°，∠BAD=60°，

又AB⊥CD，所以AB平分CD，∠CBD=2∠ABD=60°，

又BD=BC，則△BCD為正三角形，O是其中心，

所以F是BD中點(diǎn)，CF⊥BD，

又PO⊥平面BCD，所以PO⊥BD，又CF∩PO=O，

所以BD⊥平面POC；

(2)由(1)知，F(xiàn)是BD中點(diǎn)，取PD的中點(diǎn)E，

則EF/?/PB，OF//AD，

所以異面直線AD與BP所成的角為∠EFO或其補(bǔ)角，

又PD=PB=PO2+OB2=5，OE=12PD=52,EF=12PB=52,OF=1218.【答案】等腰三角形或直角三角形，理由見(jiàn)解答；

321【解析】(1)因?yàn)閏osAcosCcosB=c2+b2?a22b2，

所以由余弦定理c2+b2?a2=2bccosA，得cosAcosCcosB=2bccosA2b2=ccosAb，

即bcosAcosC=ccosAcosB，由正弦定理得sinBcosAcosC=sinCcosAcosB，

即cosA(sinBcosC?sinCcosB)=0，即cosAsin(B?C)=0，

所以cosA=0或sin(B?C)=0：，所以A=π2或B=C，

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形；

(2)因?yàn)椤鰽BC是斜三角形，由(1)知B=C，即AB=AC，

設(shè)CD=x，由題意可得AB=AC=2x，

在△BCD中，由余弦定理可得：cosC=CD2+BC2?BD22BC?CC=16+x2?362×4×x=x2?208x，

在△ABC19.【答案】2；

2155；

【解析】(1)在四棱錐P?ABCD中，取PC中點(diǎn)N，連接MN，DN，由點(diǎn)M為PB的中點(diǎn)，

得MN//BC,MN=12BC，點(diǎn)E在菱形ABCD邊AD上，

則DE//BC//MN，

平面DEMN∩平面PCD=DN，而EM/?/平面PCD，EM?平面DEMN，

因此EM//DN，四邊形DEMN為平行四邊形，12BC=MN=DE=1，

所以AD=BC=2．

(2)在菱形ABCD中，∠BAD=60°，則AO=CO=3=PO，

由PO⊥平面ABCD，AC，BD?平面ABCD，