第16講指數(shù)及其指數(shù)運(yùn)算

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點強(qiáng)知識：5大核心考點精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識點1根式

(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

(2)性質(zhì)：(na)n＝a(a＞0使na有意義)；

當(dāng)n為奇數(shù)時，nan＝a，

a,a0,

當(dāng)n為偶數(shù)時，nan＝|a|＝

a,a0

知識點2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

n

(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是am＝nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)；

n

1*

正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是am＝(a>0，m，n∈N，且n>1)；

nam

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；

0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.

(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：

aras＝ar+s；

(ar)s＝ars；

(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

知識點3指數(shù)的運(yùn)算和逆運(yùn)算

1.指數(shù)冪的運(yùn)算中常用的乘法公式

（1）完全平方公式：（a-b）2a22abb2；（a+b）2a22abb2；

（2）平方差公式：a2b2（a+b）（a-b）；

（3）立方差公式：a3b3（a-b）（a2+ab+b2）；

（4）立方和公式：a3b3（a+b）（a2-ab+b2）；

（5）完全立方公式：（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

2.指數(shù)的運(yùn)算和逆運(yùn)算，遇到多重根號問題，需要先寫成指數(shù)形式：

11111171215

例：aaaa2a4a8a248a8；4a3a2a4a34a12.

3.指數(shù)的逆運(yùn)算過程：

1

111

1813234（-）4

（5）2（）2（）4（）2.

1616229

解題方法

因為xy12,xy9，

教材習(xí)題01

112

11

x2y2xy2xy12291

x2y2所以，

已知xy12，xy9，求的11

11xy2xy12293

22

x2y2xy

值．11

x2y23

故可得.

113

x2y2

3

【答案】

3

解題方法

1111

1231

23233

（）2583523

10.1250.5

教材習(xí)題0242723

計算：

1

525313

110.5.

1

23232222

2583；

(1)0.125

1022

427411113

（2）22218323

12

40122221

(2)222183．

22221

222214223

222121

.

3

【答案】(1)

2

(2)223

解題方法

1

1

（1）b332，b3323；

教材習(xí)題0332

把下列各式中的bb0寫成負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：

（2）b43327，

3

；13

(1)b3211

b4()434；

(2)b433；2727

2n3m

2n3m（3）bπ，

(3)bπm,nN．

3m

1

b2nπ2n(m,nN)．

π3m

1

【答案】

(1)b323

3

(2)b34

3m

(3)2n

bπ(m,nN)

考點一指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1．填空：

（1）27的3次方根表示為；

（2）a6的3次方根表示為；

（3）16的4次方根表示為．

2．計算：

1

；

(1)83

2

(2)273.

3．已知xx13x0，求下列各式的值：

11

；

(1)x2x2

11

；

(2)x2x2

33

；

(3)x2x2

33

(4)x2x2

4．化簡（式中的字母均為正實數(shù)）：

11

22

1a2a；

(1)1

a1

1a2

b22b2

(2)．

b2b2

5．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式（式中的字母均為正實數(shù)）：

(1)3m2；

3

(2)mnmn；

(3)a3a．

考點二根式的化簡求職

1．化簡：4(ab)8.

2．計算：532.

1

622

3．計算：32(3)23160.7552(45)2．

273

4．化簡：

（1）4(a4)4（a4）；

（2）3(2a)3；

（3）a22a1（a1）；

（4）(a1)23a3（a1）.

5．求下列各式的值：

3242

（1）38；（2）10；（3）43；（4）ab.

考點三無理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算

1．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（a0）：

(1)a3a；

(2)a24a3；

(3)a3a．

2．求下列各式的值（式中字母都是正數(shù)）：

2

；

(1)83

3

164；

(2)

81

x2

(3)x2x；

x

x1y1

(4)；

xy

423375

(5)x5y34x4y23x5y8．

3．已知0a1，h0，對任意的實數(shù)u，求證：auhau2hauauh．

axax

4．設(shè)a0，a1，求證：函數(shù)f(x)（xR）是奇函數(shù).

2

5．設(shè)a，b是正數(shù)，下列各題中的兩個代數(shù)式是否恒等？為什么？

n11

（）m與nm；（）與；

1aaa2nn

aa

m

m

annn

（3）n與；（4）(ab)與ab.

aan

考點四分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化

m

m

0n1

1．設(shè)a0，m，n是正整數(shù)，且n1，則下列各式nnm；；a；正確的個數(shù)是（）

aaa1nm

a

A．3B．2C．1D．0

2．利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計算：(3a3b)3a23ab3b2.

3．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式：

（1）a（a0）；（2）3x2；

1

（3）；（4）x3（x0）；

3a

m2

（5）x4y3（y0）；（6）（m0）；

m

（7）3(ab)2；（8）(mn)2（mn）.

4．用根式的形式表示下列各式（a0）：

113733

（）；（）；（）；（）；（）；（）

1a22a53a44a55a56a2.

5．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（a0）：

（1）a2a；

1

（2）；

a3

（3）aa.

考點五指數(shù)冪的化簡求值

1．求下列各式的值：

1；

(1)1002

2

；

(2)83

3

；

(3)92

3

14

(4).

81

y2xy2x

2．已知yx31，求的值．

yxyx

3．化簡下列各式：

32

(1)532；

(2)42．

1

4．若2x2x5，求4x的值．

4x

1

5．已知a3，求下列各式的值：

a

（1）aa1；

（2）a2a2；

aa1

（）11

3.

a2a2

知識導(dǎo)圖記憶

知識目標(biāo)復(fù)核

1．根式的定義

2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算

3．實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

4.無理數(shù)指數(shù)冪

一、單選題

x,x0

．已知函數(shù)fx，則（）

1xff4

21,x0

33

A．3B．C．3D．

44

2．下列各式正確的是（）

4

A．382B．12333

2

31

33n2

C．4xyxy4D．nm2

m

125

3．若3m5，3n6，則下列式子值為的是（）

36

mn1

325m6n3m2n32

A．B．3C．3D．3mn

2

4．3aa(a0)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示為（）

．1．3．3．都不對

Aa2Ba2Ca4D

5．設(shè)m12b,n12b，那么n（）

m1m1m1m

A．B．C．D．

m1mm1m1

2

0.5

3

．計算：7210037（）

620.123

92748

A．0B．1C．100D．5

123

7．滿足axbycz，0x,y,zR的有序?qū)崝?shù)組a,b,c可以是（）

xyz

A．4,3,2B．4,2,3C．3,9,2D．18,12,2

二、多選題

8．已知a3a33，下列各式正確的是（）

A．a(chǎn)23a237B．a(chǎn)33a3324

332331

C．22D．a(chǎn)a25

aa5a23a3

9．下列說法正確的是（）

A．481的運(yùn)算結(jié)果是3

B．16的4次方根是2

C．當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時，na只有當(dāng)a0時才有意義

D．當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時，na對任意aR都有意義

10．已知f2x1x，則下列函數(shù)值計算正確的有（）

A．f(1)2B．f(2)3C．f(3)1D．f(5)2

三、填空題

x

1

,x13

11．設(shè)函數(shù)f(x)2，則f．

2