一元二次函數(shù)、方程和不等式（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】因，則，則，等號(hào)成立時(shí).故的最小值是.故選：C2．不等式的解集為（

）A． B．C． D．或【答案】A【詳解】不等式可化為，則解集為，故選：A.3．不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】即為即，故，故解集為，故選：C.4．設(shè)、、，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，不妨取，，，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，不妨設(shè)，，，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，由不等式的基本性質(zhì)可得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，不妨設(shè)，，，則，D錯(cuò).故選：C.5．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.由，可得，所以.所以.故選：C.6．“不等式在R上恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】不等式在R上恒成立，∴，解得，這是其充要條件，是的真子集，其充分不必要條件可以是.故選：D.7．已知，且，則的最小值為（

）A． B．7 C． D．8【答案】B【詳解】由題意，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即目標(biāo)式最小值為7.故選：B.8．記表示實(shí)數(shù)a，b中的較大的數(shù)，已知x，y，z均為正數(shù)，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．6【答案】C【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，等式成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，等式成立.綜上可知，t的最小值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．若，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】用替代中的，得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；取，則，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：ACD10．使關(guān)于的不等式成立的充分不必要條件是（

）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】ABC【詳解】不等式等價(jià)于，則與同正或同負(fù)，即或，對(duì)于A，由且能推出或，但由或不能推出且，故A符合題意；對(duì)于B，由且能推出或，反之不能，故B符合題意；對(duì)于C，且等價(jià)于且，故且能推出或，反之不能，故C符合題意；對(duì)于D，且等價(jià)于或且或，故且不能推出或，故D不符合題意.故選：ABC.11．已知，，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C． D．的最小值為【答案】ACD【詳解】由得，，由得，，整理得，解得或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，選項(xiàng)A正確.由得，，即，解得（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.由得，，所以，解得，選項(xiàng)C正確.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，且，則的最小值為.【答案】1【詳解】由，，得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1.故答案為：113．已知，，且，若不等式恒成立，則的最大值為.【答案】8【詳解】由，因?yàn)?，，所以有，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以有，故答案為：.14．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為．【答案】/【詳解】因?yàn)?，為正?shù)，且，兩邊平方得：，所以.設(shè)，則，解得，，整理得：，即.所以.當(dāng)且僅當(dāng)：即時(shí)取“”.即的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）設(shè)全集，集合，集合，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由得：，解得：，即，當(dāng)時(shí)，，解得：，即；故；（2）由（1）知：；由得：，即，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以為的真子集.或，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．（15分）若正數(shù)滿足：，(1)求的取值范圍；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由條件等式與基本不等式，得，即，即，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍為．（2）由條件等式與基本不等式，得，令，得，解得或（舍去），即，所以的取值范圍為.17．（15分）某廠家擬2024年舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用萬(wàn)元滿足(為常數(shù))，如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬(wàn)件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來(lái)計(jì)算）.(1)求的值；(2)將2024年該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù)；(3)該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？【答案】(1)(2)(3)3萬(wàn)元【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)件），則，解得；（2）由（1）可得.所以每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為（元），2024年的利潤(rùn).（3）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，當(dāng)且僅當(dāng)，即萬(wàn)元時(shí)，（萬(wàn)元）.故該廠家2024年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大為29萬(wàn)元.18．（17分）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足.(1)求的值；(2)求的最小值；(3)若，求的最小值.【答案】(1)1(2)(3)【詳解】（1）∵，∴，∵x，y為正數(shù)，∴，∴．（2）∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．（3）∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．19．（17分）（1）已知，，均為正實(shí)數(shù)，且滿足．證明：①．②．（2）已知，若，且對(duì)任意，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（2）．【詳解】（1）①，，均為正實(shí)數(shù)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”），同理可得：，（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立），故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”），又，故；②（當(dāng)