25.2.3列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果第25章

隨機(jī)事件的概率【2025-2026學(xué)年華東師大版】數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********25.2.3列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果學(xué)習(xí)目標(biāo)理解機(jī)會(huì)均等的結(jié)果的含義，知道在隨機(jī)試驗(yàn)中，當(dāng)每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相同時(shí)，這些結(jié)果就是機(jī)會(huì)均等的（重點(diǎn)）。掌握列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果的方法，如列表法、樹狀圖法等（重點(diǎn)）。能運(yùn)用列舉法解決實(shí)際問(wèn)題，計(jì)算相關(guān)隨機(jī)事件的概率（難點(diǎn)）。經(jīng)歷列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果的過(guò)程，培養(yǎng)有序思考和分析問(wèn)題的能力。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)機(jī)會(huì)均等的結(jié)果的概念。列表法和樹狀圖法的運(yùn)用。教學(xué)難點(diǎn)準(zhǔn)確、不重復(fù)、不遺漏地列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果。結(jié)合列舉的結(jié)果計(jì)算隨機(jī)事件的概率。情境引入在前面的學(xué)習(xí)中，我們知道可以用頻率估計(jì)概率，但對(duì)于一些簡(jiǎn)單的隨機(jī)試驗(yàn)，其所有可能的結(jié)果是明確且有限的，并且每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的。例如，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果，且這兩種結(jié)果發(fā)生的可能性相等。那么，如何準(zhǔn)確地列舉出這些機(jī)會(huì)均等的結(jié)果呢？本節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果的方法。機(jī)會(huì)均等的結(jié)果的概念在隨機(jī)試驗(yàn)中，如果每種結(jié)果發(fā)生的可能性都相同，那么這些結(jié)果就稱為機(jī)會(huì)均等的結(jié)果。例如：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1、2、3、4、5、6，共6種結(jié)果，且每種結(jié)果發(fā)生的可能性相等，因此這6種結(jié)果是機(jī)會(huì)均等的結(jié)果。從裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球的不透明袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，雖然球的顏色不同，但每個(gè)球被摸到的可能性是相等的，因此摸到每個(gè)球都是機(jī)會(huì)均等的結(jié)果。列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果的方法列表法適用情況：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為了不重復(fù)、不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法。操作步驟：列出表格的行和列，分別表示兩個(gè)因素的所有可能情況。在表格的單元格中填寫相應(yīng)的結(jié)果。示例：同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，用列表法列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果。第一枚硬幣可能出現(xiàn)的結(jié)果：正面（正）、反面（反）。第二枚硬幣可能出現(xiàn)的結(jié)果：正面（正）、反面（反）。列表如下：|第一枚硬幣|第二枚硬幣|結(jié)果||----|----|----||正|正|（正，正）||正|反|（正，反）||反|正|（反，正）||反|反|（反，反）|所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果有4種：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。樹狀圖法適用情況：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)或多個(gè)因素時(shí)，采用樹狀圖法可以清晰地列出所有可能的結(jié)果。操作步驟：畫出樹狀圖的第一個(gè)分支，表示第一個(gè)因素的所有可能情況。在每個(gè)分支下畫出第二個(gè)分支，表示第二個(gè)因素的所有可能情況，以此類推。在每個(gè)分支的末端寫出相應(yīng)的結(jié)果。示例：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，用樹狀圖法列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果。第一次拋擲：1

├─第二次拋擲：1→（1，1）

├─第二次拋擲：2→（1，2）

├─第二次拋擲：3→（1，3）

├─第二次拋擲：4→（1，4）

├─第二次拋擲：5→（1，5）

└─第二次拋擲：6→（1，6）2

├─第二次拋擲：1→（2，1）

├─第二次拋擲：2→（2，2）

├─第二次拋擲：3→（2，3）

├─第二次拋擲：4→（2，4）

├─第二次拋擲：5→（2，5）

└─第二次拋擲：6→（2，6）...（3、4、5、6的樹狀圖類似）第一次拋擲骰子可能出現(xiàn)的結(jié)果：1、2、3、4、5、6。第二次拋擲骰子可能出現(xiàn)的結(jié)果：1、2、3、4、5、6。樹狀圖如下：所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果共有36種。利用列舉的結(jié)果計(jì)算概率當(dāng)我們列舉出所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果后，要計(jì)算某個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，可以按照以下公式：\(P(A)=\frac{?o????A?????????????????°}{????????o???????-???????????????°}\)例如，在同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗(yàn)中，所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果有4種，其中“兩枚硬幣都正面朝上”的結(jié)果有1種，因此該事件發(fā)生的概率\(P(??¤???é???-￡é?￠??????)=\frac{1}{4}\)。典例講解例1一個(gè)不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球（分別記為紅1、紅2）和1個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同。從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)球。用列表法列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，并計(jì)算兩次摸出的球都是紅球的概率。分析：由于是有放回地摸球，第一次摸出的球放回后，袋子中球的情況不變，因此兩次摸球是相互獨(dú)立的事件，適合用列表法列舉所有結(jié)果。解答：列表如下：|第一次摸球|第二次摸球|結(jié)果||----|----|----||紅1|紅1|（紅1，紅1）||紅1|紅2|（紅1，紅2）||紅1|白|（紅1，白）||紅2|紅1|（紅2，紅1）||紅2|紅2|（紅2，紅2）||紅2|白|（紅2，白）||白|紅1|（白，紅1）||白|紅2|（白，紅2）||白|白|（白，白）|所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果有9種。兩次摸出的球都是紅球的結(jié)果有4種，即（紅1，紅1）、（紅1，紅2）、（紅2，紅1）、（紅2，紅2）。因此，兩次摸出的球都是紅球的概率\(P=\frac{4}{9}\)。例2同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用樹狀圖法列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，并計(jì)算向上一面的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率。分析：拋擲兩枚骰子，涉及兩個(gè)因素，適合用樹狀圖法列舉所有結(jié)果，再找出點(diǎn)數(shù)之和為7的結(jié)果數(shù)，計(jì)算概率。解答：樹狀圖如前面的示例所示，所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果有36種。向上一面的點(diǎn)數(shù)之和為7的結(jié)果有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共6種。因此，向上一面的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率\(P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)。課堂練習(xí)從1、2、3三個(gè)數(shù)字中，隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)字（不放回），用列表法列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，并計(jì)算抽取的兩個(gè)數(shù)字之和為4的概率。解答：列表如下：|第一次抽取|第二次抽取|結(jié)果||----|----|----||1|2|（1，2）||1|3|（1，3）||2|1|（2，1）||2|3|（2，3）||3|1|（3，1）||3|2|（3，2）|所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果有6種，其中兩個(gè)數(shù)字之和為4的結(jié)果有（1，3）、（3，1），共2種。概率\(P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)。一個(gè)不透明的盒子中裝有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球（分別記為黃1、黃2），這些球除顏色外完全相同。從盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，不放回，再隨機(jī)摸出一個(gè)球。用樹狀圖法列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，并計(jì)算兩次摸出的球中有一個(gè)紅球和一個(gè)黃球的概率。解答：第一次摸球：紅

├─第二次摸球：黃1→（紅，黃1）

└─第二次摸球：黃2→（紅，黃2）

黃1

├─第二次摸球：紅

→（黃1，紅）

└─第二次摸球：黃2→（黃1，黃2）

黃2

├─第二次摸球：紅

→（黃2，紅）

└─第二次摸球：黃1→（黃2，黃1）樹狀圖如下：所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果有6種，其中有一個(gè)紅球和一個(gè)黃球的結(jié)果有4種。概率\(P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)。課堂總結(jié)機(jī)會(huì)均等的結(jié)果是指在隨機(jī)試驗(yàn)中，每種結(jié)果發(fā)生的可能性相同的結(jié)果。列舉所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果的常用方法有列表法和樹狀圖法，列表法適用于涉及兩個(gè)因素的試驗(yàn)，樹狀圖法適用于涉及兩個(gè)或多個(gè)因素的試驗(yàn)。列舉結(jié)果時(shí)要做到不重復(fù)、不遺漏，這是準(zhǔn)確計(jì)算概率的前提。計(jì)算隨機(jī)事件的概率時(shí)，可利用公式\(P(A)=\frac{?o????A?????????????????°}{????????o???????-???????????????°}\)，其中分子是事件A發(fā)生的結(jié)果數(shù)，分母是所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果總數(shù)。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解新課導(dǎo)入拋擲一枚普通硬幣3次.有人說(shuō)“連續(xù)擲出三個(gè)正面”和“先擲出兩個(gè)正面，再擲出一個(gè)反面”的概率是一樣的.你同意嗎？例4分析3次拋擲，每次可能出現(xiàn)的結(jié)果都是正面或反面，而且每次出現(xiàn)正面或反面的概率相等，樹狀圖中每一條路徑就是一種可能的結(jié)果.正反正反正反正反正反正反正反第①枚②③樹狀圖解拋擲一枚普通硬幣3次，共有以下8種機(jī)會(huì)均等的結(jié)果：正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反.P(正正正)=

P(正正反)=所以，例題中的說(shuō)法正確.思考有的同學(xué)認(rèn)為：拋擲三枚普通硬幣，硬幣落地后只可能出現(xiàn)4種結(jié)果：(1)全是正面；(2)兩正一反；(3)兩反一正；(4)全是反面.因此這四個(gè)事件出現(xiàn)的概率相等.你同意這種說(shuō)法嗎？為什么？不同意；四種情況出現(xiàn)的概率并不均等，(1)(4)出現(xiàn)的幾率要小于(2)(3).問(wèn)題口袋中裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，攪勻后從中摸出1個(gè)球，放回?cái)噭颍倜龅?個(gè)球，兩次摸球就可能出現(xiàn)3種結(jié)果：(1)都是紅球；(2)都是白球；(3)一紅一白.這三個(gè)事件發(fā)生的概率相等嗎?思考一位同學(xué)畫出如圖的樹狀圖.紅白紅白紅白第1次摸出球第2次摸出球從而得到，“摸出兩個(gè)紅球”和“摸出兩個(gè)白球”的概率相等，“摸出一紅一白”的概率最大.他的分析有道理嗎?為什么?把兩個(gè)白球分別記作白1和白2，畫出如下的樹狀圖.第1次摸出球第2次摸出球從圖中可以看出，一共有9種等可能的結(jié)果.分析紅白2白1紅白2紅紅白1白1白2白1白2在“摸出兩紅”、“摸出兩白”、“摸出一紅一白”這三個(gè)事件中，“摸出_____”的概率最小，等于______，“摸出________”和“摸出_________”的概率相等，都是______.兩紅一紅一白兩白結(jié)論問(wèn)題投擲兩枚普通的正方體骰子.擲得的點(diǎn)數(shù)之積有多少種可能？點(diǎn)數(shù)之積為多少的概率最大，其概率是多少?用列舉法來(lái)得出所有可能的點(diǎn)數(shù)之積.分析×1234561123456224681012336912151844812162024551015202530661218243036由上表可以看出積為_(kāi)_____的概率最大，其概率等于_______.6或12結(jié)論問(wèn)題“石頭、剪刀、布”的游戲中，假定甲乙兩人每次都是等可能地做這三種手勢(shì)，那么一次比賽兩人做同種手勢(shì)(即不分勝負(fù))的概率是多少?分析畫出如圖的樹狀圖：甲乙結(jié)果石頭剪刀布石頭剪刀布石頭剪刀布石頭剪刀布(石頭，石頭)(石頭，剪刀)(石頭，布)(剪刀，石頭)(剪刀，剪刀)(剪刀，布)(布，石頭)(布，剪刀)(布，布)結(jié)論所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果有9種，其中的3種——(石頭，石頭)、(剪刀，剪刀)、(布，布)是我們關(guān)注的結(jié)果.所以P(同種手勢(shì))=隨堂演練1.同時(shí)投擲兩枚普通的正四面體骰子，求下列事件的概率:(1)所得點(diǎn)數(shù)之和恰為偶數(shù)；(2)所得點(diǎn)數(shù)之和恰為奇數(shù)；(3)所得點(diǎn)數(shù)之和恰為質(zhì)數(shù)；＋123412345234563456745678(1)P(和為偶數(shù))=(2)P(和為奇數(shù))=(3)P(和為質(zhì)數(shù))=2.在九九乘法表的45個(gè)運(yùn)算結(jié)果中隨意抽取1個(gè)，將下列事件的概率從小到大排序：(1)恰為偶數(shù)；(2)恰為奇數(shù)；(3)小于10；(4)大于100；(5)個(gè)位數(shù)是0；(6)3的倍數(shù).(1)P(恰為偶數(shù))=(2)P(恰為奇數(shù))=(3)P(小于10)=(4)P(大于100)=(5)P(個(gè)位數(shù)是0)=(6)P(3的倍數(shù))=C返回A返回返回3．在拼圖游戲中，從圖①的四張紙片中，任取兩張紙片，能拼成“小房子”(如圖②)的概率是________．4．[2024德州中考]衣櫥中掛著3套不同顏色的服裝，同一套服裝的上衣與褲子的顏色相同，若從衣櫥中各任取一件上衣和一條褲子，它們?nèi)∽酝惶椎母怕适莀_______．返回5.不透明的袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的4個(gè)球，其中1個(gè)黃球、1個(gè)白球和2個(gè)紅球．(1)從袋中任取2個(gè)球，恰為2個(gè)紅球的概率是________；(2)從袋中先任取1個(gè)球，放回?fù)u勻后再任取1個(gè)球，兩球是1紅1黃的概率為_(kāi)_______．返回返回6．甲、乙兩人猜拳(各出一只手)，每人每次至少出一個(gè)手指，兩人出手指數(shù)之和為偶數(shù)時(shí)甲獲勝，則甲獲勝的概率為_(kāi)_______．7．4張相同的卡片上分別寫有數(shù)0、1、－2、3，將卡片背面朝上，洗勻后任意抽取1張，將卡片上的數(shù)記下；再?gòu)挠嘞碌目ㄆ腥我獬槿?張，同樣將卡片上的數(shù)記下．(1)第一次記下的數(shù)是非負(fù)數(shù)的概率為_(kāi)_______；(2)若第一次記下的數(shù)減去第二次記下的數(shù)所得結(jié)果為非負(fù)數(shù)時(shí)，甲獲勝；否則，乙獲勝．這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？為什么？解：這個(gè)游戲規(guī)則公平，理由如下：列表如下：第一次第二次01－230

1－231－1

－32－223

53－3－2－5

返回返回8.

現(xiàn)對(duì)由三個(gè)小正方形組成的“”進(jìn)行涂色，每個(gè)小正方形隨機(jī)涂成黑色或白色，恰好是兩個(gè)黑色小正方形和一個(gè)白色小正方形的概率為_(kāi)_______．9．甲、乙、丙三人到淮海戰(zhàn)役烈士紀(jì)念塔園林游覽，若每人分別從紀(jì)念塔、紀(jì)念館這兩個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè)參觀，且選擇每個(gè)景點(diǎn)的機(jī)會(huì)相等，則三人選擇相同景點(diǎn)的概率為多少？返