第一單元分?jǐn)?shù)乘法

（一）分?jǐn)?shù)乘法意義：

1.分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義：（與整數(shù)乘法的意義相似）就是求幾種相似加數(shù)附和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

?“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”指的是第二個(gè)因數(shù)必須是整數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)。

例如:回X7表達(dá)：求7個(gè)團(tuán)歐|和是多少？或表達(dá):回的7倍是多少？

2.一種數(shù)乘分?jǐn)?shù)口勺意義：就是求一種數(shù)口勺幾分之幾是多少。

?“一種數(shù)乘分?jǐn)?shù)”指的是第二個(gè)因數(shù)必須是分?jǐn)?shù)，不能是整數(shù)。第一種因數(shù)是什么都可以。

例如：口乂□表達(dá)：求□日勺□是多少？AX□表達(dá)：求AH勺口是多少？

（二）分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算法則：

1.分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的運(yùn)算法則是：分子與整數(shù)相乘，分母不變。

2、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。勺運(yùn)算法則是：用分子相乘日勺積做分子，分母相乘的積做分母。

?為了計(jì)算簡(jiǎn)便，能約分口勺先約分再計(jì)算。

3.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分子、分母同步乘或者除以一種相似日勺數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

（三）積與因數(shù)的關(guān)系：

1.一種數(shù)（0除外）乘不小于1日勺數(shù)，積不小于這個(gè)數(shù)。aXb=c,當(dāng)b>1時(shí)，c>a.

2.一種數(shù)（0除外）乘不不小于1日勺數(shù)，積不不小于這個(gè)數(shù)。aXb=c,當(dāng)b<l時(shí),c<a（bWO）.

3.一種數(shù)（0除外）乘等于1的數(shù)，積等于這個(gè)數(shù)。aXb=c,當(dāng)b=l時(shí),c=a.

?在進(jìn)行因數(shù)與積口勺大小比較時(shí)，要注意因數(shù)為0時(shí)的特殊狀況。

（四）分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算

1.分?jǐn)?shù)合運(yùn)算次序:（與整數(shù)相似），先乘、除后加、減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。

2.整數(shù)乘法運(yùn)算定律對(duì)分?jǐn)?shù)乘法同樣合用；運(yùn)算定律可以使某些計(jì)算簡(jiǎn)便。

乘法互換律:aXbnbXa

乘法結(jié)合律:（aXb）Xc=aX（bXc）

乘法分派律:aX（b±c）=aXb=aXc

（五）分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題一一用分?jǐn)?shù)乘法處理問(wèn)題

?已知單位“1”的量，求它的幾分之幾是多少，用單位“1”日勺量與分?jǐn)?shù)相乘。

1.求一種數(shù)的幾分之幾是多少？（用乘法）

例如：求25%|國(guó)是多少？列式:25X（3=15

甲數(shù)的團(tuán)等于乙數(shù)，已知甲數(shù)是25,求乙數(shù)是多少？歹IJ式：25X0=15

2.求比一種數(shù)多（少）幾分之兒日勺數(shù)是多少？

例如：甲數(shù)比乙數(shù)多（少）0，乙數(shù)是25,求甲數(shù)是多少？

甲數(shù)=乙數(shù)+乙數(shù)X。即25+25X3=25X（1+-）=40（或10）

—5—5—5

?巧找單位“1”的量：W前“比”后，"。勺”字相稱于“X”，“是”字相稱

于“=”

3.求甲比乙多（少）幾分之幾？

多：（甲一乙）;乙

少：（乙一甲）?乙

第二單元位置和方向

1.確定位置的條件：

當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)（中心）確定后來(lái)，確定物體位置是條件是（方向）和（距離）。

2.在平面圖上標(biāo)出物體位置的措施：

先確定（中心或觀測(cè)點(diǎn)），然后確定（方向），再以圖例選定的單位長(zhǎng)度為基準(zhǔn)來(lái)確定（距

離）；最終在詳細(xì)位置標(biāo)出（名稱）。

3.描述并繪制簡(jiǎn)樸的路線圖：

先按路線確定每一種觀測(cè)點(diǎn)，然后以每一種觀測(cè)點(diǎn)建立（方向標(biāo)），描述到下一種目的地的

（方向）和（距離）。

4.位置關(guān)系的相對(duì)性；

（1）描述物體的位置與（觀測(cè)點(diǎn)）有關(guān)系，觀測(cè)點(diǎn)不一樣，物體位

置的描述就（不一樣）。

（2）兩地的位置具有（相對(duì)性），觀測(cè)點(diǎn)不一樣，論述的（方向）

恰好相反，（角度）和（距離）不變。

第三單元分?jǐn)?shù)除法

（一）倒數(shù)

1.意義：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

?倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)日勺關(guān)系，它們互相依存，不能單獨(dú)存在。單獨(dú)一種數(shù)不能稱為倒數(shù)。（必須

說(shuō)清誰(shuí)是誰(shuí)的倒數(shù)）

2.判斷兩個(gè)數(shù)與否互為倒數(shù)日勺唯一原則是：兩數(shù)相乘的積與否為“1”。

例如:aXb=l則a、b互為倒數(shù)。

3.求倒數(shù)H勺措施：

①求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：互換分子、分母的位置。（加勺倒數(shù)是回）

②求整數(shù)的倒數(shù)：整數(shù)分之一。（非零整數(shù)a（a#O）,它日勺倒數(shù)為加

③求帶分?jǐn)?shù)口勺倒數(shù)：先化成假分?jǐn)?shù)，再互換分子和分母的位置。

④求小數(shù)的倒數(shù)：先化成分?jǐn)?shù)再求倒數(shù)。

4.特殊數(shù)的倒數(shù):

2.分?jǐn)?shù)應(yīng)用題基本數(shù)量關(guān)系

（1）甲是乙日勺幾分之幾？

甲=乙義幾分之兒乙=甲士幾分之兒兒分之兒=甲?乙

（2）甲比乙多（少）幾分之幾？

A.措施1:差一乙=回（例：9比15少幾分之幾？（15—9）:15=回=團(tuán)=團(tuán)）

B.措施2：先求甲是乙的幾分之幾，再與1相比。

①多幾分之幾是：一1（例：15比9多幾分之幾？15+9=-1=-1=）

②少幾分之幾是：1一（例：9比15少幾分之幾？1—9+15=1—=1—=）

（3）甲比乙多（少）幾分之幾，求乙是多少？

乙二甲+（1土白）

例:9比乙少田，求乙是多少？94-（1-0）=94-0=15

例：15比乙多回，求乙是多少？154-（1+團(tuán)）=15?團(tuán)=9

?畫(huà)線段圖：

（1）找出單位“1”日勺量，先畫(huà)出單位“1”，標(biāo)出已知和未知。

（2）分析數(shù)量關(guān)系。

（3）找等量關(guān)系。

（4）列方程。

兩個(gè)量的關(guān)系畫(huà)兩條線段圖，部分和整體口勺關(guān)系畫(huà)一條線段圖。

第四單元比

（一）比的意義：兩個(gè)數(shù)的比表達(dá)兩個(gè)數(shù)相除。

1.比式中，比號(hào)（：）前面口勺數(shù)叫比。勺前項(xiàng)，比號(hào)背面日勺項(xiàng)叫做比的后項(xiàng)，比號(hào)相稱于除號(hào)，比

日勺前項(xiàng)除后來(lái)項(xiàng)H勺商叫做比值。

?連例如：3：4：5讀作:3比4比5

2.比表達(dá)的是兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，可以用分?jǐn)?shù)表達(dá)，寫(xiě)成分?jǐn)?shù)日勺形式，讀作兒比兒。

例：1力：20=團(tuán)=124-20=0=0.612：20讀作：12比20

Q

3.辨別比和比值：

（1）比值是一種數(shù)，一般用分?jǐn)?shù)表達(dá)，也可以是整數(shù)、小數(shù)。

（2）

比是

一種

式子,

表達(dá)

兩個(gè)

數(shù)的

關(guān)系，

可以

寫(xiě)成

比，也

可以被除數(shù)除號(hào)除數(shù)（不能為0）商不變性質(zhì)是一種運(yùn)算

寫(xiě)成

分?jǐn)?shù)

H勺形

式。

4、比

和除

法、分

數(shù)的

區(qū)別：

除法

分?jǐn)?shù)分子分?jǐn)?shù)線分母（不能為0）基本性質(zhì)是一種數(shù)

比前項(xiàng)比號(hào)后項(xiàng)（不能為0）基本性質(zhì)兩個(gè)數(shù)的關(guān)系

（二）比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同步乘或除以相似的數(shù)（0除外），比值不變。

（三）化簡(jiǎn)比：化簡(jiǎn)之后成果還是一種比，不是一種數(shù)。

1、根據(jù)比H勺基本性質(zhì)，可以把比化成最簡(jiǎn)樸的整數(shù)比。

2.措施:

（1）整數(shù)比：用比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同步除以它們的最大公約數(shù)。

（2）分?jǐn)?shù)比：用前項(xiàng)后項(xiàng)同步乘分母的最小公倍數(shù)，再按化簡(jiǎn)整數(shù)比的措施來(lái)化簡(jiǎn)。

（3）小數(shù)比：向右移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)日勺位置，把小數(shù)比先化成整數(shù)比，再化簡(jiǎn)。

?也可以先求出比口勺比值，再將成果寫(xiě)成比H勺形式。

（四）按比例分派：把一種量按一定的比分派的措施叫做按比例分派。

例如：已知甲是21,甲、乙日勺比3：5,求乙是多少？

措施一：21+3=7乙：5X7=35

措施二：甲乙日勺和214■團(tuán)=56乙：56義回=35

措施三：甲小乙=乙=甲?=214-=35

第五單元圓

（一）圓的認(rèn)識(shí)

1.定義：圓是平面內(nèi)封閉曲線圍成口勺平面圖形。

2.有關(guān)概念：

（1）圓心0：圓中心的點(diǎn)叫做圓心。圓心一般用字母0表達(dá)。圓多次對(duì)折之后，折痕的相交

于圓日勺中心即圓心。圓心確定圓區(qū)）位置。

（2）半徑r:連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。在同一種圓里，有無(wú)數(shù)條半徑，且所有的

半徑都相等。半徑確定圓日勺大小。

（3）直徑d:通過(guò)圓心且兩端都在圓上的線段叫做直徑。在同一種圓里，有無(wú)數(shù)條直徑，且所有

日勺直徑都相等。直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的I線段。

(4)等圓：半徑相等的圓叫做等圓，等圓通過(guò)平移可以完全重疊。

(5)同心圓：圓心重疊、半徑不等日勺兩個(gè)圓叫做同心圓。

3、圓是軸對(duì)稱圖形：假如一種圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形可以完全重疊，這個(gè)圖

形是軸對(duì)稱圖形。折痕所在的直線叫做對(duì)稱軸。

?有1條對(duì)稱軸的圖形：半圓、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角

有2條對(duì)稱軸H勺圖形：長(zhǎng)方形

有3條對(duì)稱軸H勺圖形：等邊三角形

有4條對(duì)稱軸口勺圖形：正方形

有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸日勺圖形：圓，圓環(huán)

4.畫(huà)圓

(1)圓規(guī)兩腳間日勺距離是圓的半徑。

(2)畫(huà)圓環(huán)節(jié)：定半徑、定圓心、旋轉(zhuǎn)一周。

(二)圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，周長(zhǎng)用字母C表達(dá)。

1、圓周率：圓的周長(zhǎng)與直徑日勺比值是一種固定值，叫做圓周率，用字母元表達(dá)。

即：圓周率n=回=周長(zhǎng)+直徑處3.14

因此，圓的周長(zhǎng)(c)=直徑(d)X圓周率(Ji)——周長(zhǎng)公式：C=nd或C=2n「

?圓周率兀是一種無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，3.14是近似值，n>3.14o

2、周長(zhǎng)的變化的規(guī)律：半徑擴(kuò)大多少倍，直徑也擴(kuò)大多少倍，周長(zhǎng)擴(kuò)大日勺倍數(shù)與半徑、直徑

擴(kuò)大的倍數(shù)相似。假如rl：r2：r3=dl：d2:d3=Cl：C2：C3

3.半圓周長(zhǎng)=圓周長(zhǎng)二分之一十直徑=13X2兀r=nr+d

(三)圓的面積

1.圓的面積=冗X圓的半徑（r）日勺平方S/=nrXr=nr2

2.幾種圖形，在面積相等的狀況下，圓日勺周長(zhǎng)最短，而長(zhǎng)方形日勺周長(zhǎng)最長(zhǎng)；反之，在周長(zhǎng)相等

日勺狀況下，圓的面積則最大，而長(zhǎng)方形的面積則最小。

周長(zhǎng)相似時(shí)，圓面積最大，運(yùn)用這一特點(diǎn)，蒙古包、籃子、盤子等做成圓形。

3、圓面積的變化口勺規(guī)律：半徑擴(kuò)大多少倍，直徑、周長(zhǎng)也同步擴(kuò)大多少倍；圓面積擴(kuò)大日勺倍數(shù)是

半徑、直徑擴(kuò)大的倍數(shù)的平方倍。

假如：ri：r2：r3=di：d2:d3=Ci:C2:C3=2：3：4

則：SI：S2：S3=4：9：16

4.環(huán)形面積=大圓面積一小圓面積=冗r大2—冗r小2=n（R大2-r小2）

（四）扇形

1.定義：圓上任意兩點(diǎn)（如點(diǎn)A.B）之間的部分叫做?。ㄗx作弧AB）,一條弧和通過(guò)這條弧兩

端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

2、圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。（在同一圓內(nèi)，扇形H勺大小與圓心用H勺大小有關(guān)）

3.扇形面積=nr2XI3（n表達(dá)扇形圓心角的度數(shù)）

特殊扇形的面積（90°、180°）:S=l2nr2S=（3nr2

（五）圓周長(zhǎng)與圓面積的實(shí)際應(yīng)用

1.跑道：每條跑道的周長(zhǎng)等于兩半圓跑道合成日勺圓日勺周長(zhǎng)加上兩條直跑道的和。由于兩條直

跑道長(zhǎng)度相等，因此，起跑線不一樣，相鄰兩條跑道起跑線也不一樣，間隔日勺距離是：2XJi義跑

道寬度。

2、任意一種正方形的內(nèi)切圓的直徑是正方形的邊長(zhǎng)，它們的面積比是4：五即4：3.14。

3.外方內(nèi)圓日勺間隙面積=正方形日勺面積一圓日勺面積S=0.86r2

外圓內(nèi)方的間隙面積=圓的面積一正方形的面積S=1.14r2

4.常用數(shù)據(jù)

兀=3.142Ji=6.283Ji=9.424n:=12.565Ji=15.7

6n=18.847JI=21.988n=25.129Ji:=28.26

l2n=3.1422Ji=12.5632n=28.2642JI=50.24523T=78.5

62n=113.0472Ji=153.8682n=200.9692n=254.34

1至10的平方數(shù)

12=122=432=942=1652=2562=36

72=4982=6492=81102=100ll2=121122=144

第六單元、百分?jǐn)?shù)

（一）百分?jǐn)?shù)的意義：表達(dá)一種數(shù)是另一種數(shù)的百分之幾。

?百分?jǐn)?shù)是專門用來(lái)表達(dá)一種特殊的倍比關(guān)系的，表達(dá)兩個(gè)數(shù)的比，因此，百分?jǐn)?shù)又叫比

例或百分率，百分?jǐn)?shù)不能帶量位。

1.百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的區(qū)別和聯(lián)絡(luò)：

（1）聯(lián)絡(luò)：都可以用來(lái)表達(dá)兩個(gè)量的倍比關(guān)系。

（2）區(qū)別：意義不一樣：百分?jǐn)?shù)只表達(dá)倍比關(guān)系，不表達(dá)詳細(xì)數(shù)量，因此不能帶單位。分?jǐn)?shù)

不僅表達(dá)倍比關(guān)系，還能帶單位表達(dá)詳細(xì)數(shù)量。

百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)，分?jǐn)?shù)的分子只以是整數(shù)。

2.小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)之間的互化

（1）百分?jǐn)?shù)化小數(shù)：小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，去掉“％”。

（2）小數(shù)化百分?jǐn)?shù)：小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，添上“％”。

（3）百分?jǐn)?shù)化分?jǐn)?shù)：先把百分?jǐn)?shù)寫(xiě)成分母是100日勺分?jǐn)?shù)，然后再化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

（4）分?jǐn)?shù)化百分?jǐn)?shù)：分子除以分母得到小數(shù)，（除不盡歐I保留三位小數(shù)）然后化成百分?jǐn)?shù)。

（5）小數(shù)化分?jǐn)?shù)：把小數(shù)成分母是10、100、1000等的分?jǐn)?shù)再化簡(jiǎn)。

（6）分?jǐn)?shù)化小數(shù)：分子除以分母。

（二）百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

1.求常見(jiàn)的百分率如：達(dá)標(biāo)生、及格率、成活率、發(fā)芽率、出勤率等求百分率就是求一種數(shù)是另

一種數(shù)的百分之幾。

?由于求率日勺特殊規(guī)定，不要忘掉在算式背面“X100%”

2.求一種數(shù)比另一種數(shù)多（或少）百分之幾，實(shí)際生活中，人們常用增長(zhǎng)了百分之幾、減少

了百分之幾、節(jié)省了百分之幾等來(lái)表達(dá)增長(zhǎng)、或減少日勺幅度。

?措施同求一種數(shù)比另一種數(shù)多（少）幾分之幾，只不過(guò)成果用百分?jǐn)?shù)表達(dá)而已。

求甲比乙多百分之幾（甲一乙）?乙1相差數(shù)4"單位“1”

求乙比甲少百分之幾（甲一乙）小甲

3.求一種數(shù)日勺百分之幾是多少-一種數(shù)（單位“1”）X百分率

4、已知一種數(shù)口勺百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)量+百分率=一種數(shù)（單位"1”）

5.百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題型分類

（1）一種數(shù)是另一種數(shù)的百分之幾

①甲是50,乙是40,甲是乙的百分之幾？（50是40的百分之幾？）50+40=125%

②甲是50,甲是乙的125%,乙數(shù)是多少？（一種數(shù)的125%是50,這個(gè)數(shù)是多少？）50?125%

=40

（2）一種數(shù)比另一種數(shù)多（少）百分之幾

①甲是50,乙是40,甲比乙多百分之幾？（50比40多百分之幾?)(50-40)4-40=25%

②乙比甲少20%,少10,乙是多少？104-20%-10=40

（3）比一種數(shù)多（少）百分之幾的數(shù)

①乙是40,甲比乙多25%,甲數(shù)是多少？（什么數(shù)比40多25%?)40X(1+25%)=50

②甲是50,比乙多25%,乙數(shù)是多少？（50比什么數(shù)多25%?）40+(1+25%)=40

分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化

9=0.5=50%31=0.2=20%9

-=0.25=25%4=°-75咻%-=0.4=40%

4□5

343

-=0.6=60%-=0.8=80%-=0.125=12.5%-=0.375=37.5%-=0.625=62.5%

5□